一、自由落體運動的多物體問題
1．自由落體運動是初速度為0的勻加速直線運動。
2．自由落體的規(guī)律
(1)v＝gt；
(2)h＝eq \f(1,2)gt2；
(3)v2＝2gh。
例1 在離地面7.2 m處手提2.2 m長的繩子的上端，如圖所示，在繩子的上下兩端各拴一小球A、B，放手后小球自由下落(繩子的質(zhì)量不計，不計空氣阻力，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)，求：
(1)兩小球落地的時間差；
(2)B球落地時A球的速度大小。
答案 (1)0.2 s (2)10 m/s
解析 (1)設(shè)B球落地所需時間為t1，A球落地所需時間為t2，因為h1＝eq \f(1,2)gt12，
所以t1＝eq \r(\f(2h1,g))＝eq \r(\f(2×?7.2－2.2?,10)) s＝1 s，
由h2＝eq \f(1,2)gt22得t2＝eq \r(\f(2h2,g))＝eq \r(\f(2×7.2,10)) s＝1.2 s
所以兩小球落地的時間差為Δt＝t2－t1＝0.2 s。
(2)當(dāng)B球落地時，A球的速度與B球的速度相等，即vA＝vB＝gt1＝10×1 m/s＝10 m/s。
在研究自由落體運動的多物體問題時，首先利用自由落體運動規(guī)律，分別計算每個物體落地時間、速度等物理量，再對相關(guān)物理量進行分析、比較。
二、自由落體運動中的滴水問題
從屋檐上每隔相同時間下落一雨滴，當(dāng)?shù)?滴雨滴剛要下落時，第一滴雨滴下落時間為t0。當(dāng)?shù)?滴雨滴剛下落時，
(1)第1滴雨滴下落的時間為多少？
(2)第1滴雨滴與第2滴雨滴的距離為多少？
答案 (1)第1滴雨滴下落的時間為2t0。
(2)h2＝eq \f(1,2)gt02，h1＝eq \f(1,2)g(2t0)2，Δh＝h1－h(huán)2＝eq \f(3,2)gt02。
例2 小敏在學(xué)過自由落體運動規(guī)律后，對自家屋檐上下落的雨滴產(chǎn)生了興趣，她坐在窗前發(fā)現(xiàn)從屋檐每隔相等時間滴下一滴水，當(dāng)?shù)?滴正欲滴下時，第1滴剛好落到地面，而第3滴與第2滴分別位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同學(xué)在自己的作業(yè)本上畫出了如圖所示的雨滴下落同自家房子的關(guān)系，其中2點和3點之間的小矩形表示小敏正對的窗子，不計空氣阻力，g取10 m/s2，求：(嘗試用多種方法求解)
(1)滴水的時間間隔是多少？
(2)此屋檐離地面多高？
答案 (1)0.2 s (2)3.2 m
解析 方法一 公式法
(1)設(shè)屋檐離地面高為h，滴水時間間隔為T。如圖所示。
由公式h＝eq \f(1,2)gt2得
第2滴雨滴下落的位移h2＝eq \f(1,2)g(3T)2
第3滴雨滴下落的位移h3＝eq \f(1,2)g(2T)2
且h2－h(huán)3＝1 m
解得T＝0.2 s
(2)則屋檐高h＝eq \f(1,2)g(4T)2＝3.2 m。
方法二 比例法
(1)(2)由于初速度為零的勻加速直線運動從開始運動起，在連續(xù)相等的時間間隔內(nèi)的位移之比為1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相鄰兩雨滴之間的間距從上到下依次是s、3s、5s、7s，
由題意知，窗高為5s，則5s＝1 m，s＝0.2 m，
屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2 m。
由h＝eq \f(1,2)gt2得滴水的時間間隔T＝eq \r(\f(2s,g))＝0.2 s。
方法三 平均速度法
(1)設(shè)滴水時間間隔為T，則雨滴經(jīng)過窗戶過程中的平均速度為eq \x\t(v)＝eq \f(h,T)，其中h＝1 m。
雨滴在2.5T時的速度v2.5＝2.5gT，
由于v2.5＝eq \x\t(v)，所以eq \f(h,T)＝2.5gT，解得T＝0.2 s
(2)屋檐高H＝eq \f(1,2)g(4T)2＝3.2 m。
方法四 速度—位移關(guān)系法
(1)設(shè)滴水時間間隔為T，則第2滴水滴的速度v2＝g·3T，
第3滴水滴的速度v3＝g·2T，h＝1 m，
由v2－v02＝2ax得v22－v32＝2gh
解得T＝0.2 s
(2)由v2＝2gH，v＝gt得v＝g·4T＝8 m/s
H＝eq \f(v2,2g)＝3.2 m。
“水滴下落”類問題
像水滴下落這樣從同一位置開始、間隔相等時間、依次做自由落體運動的物體在空間形成不同間距的問題，可將若干個物體在某一時刻的排列情形等效成一個物體在不同時刻的位置，這就類似于研究勻變速直線運動時打點計時器打下的紙帶上的點，由此可以用Δx＝aT2、初速度為零的勻變速直線運動的比例關(guān)系或者平均速度法進行求解。
三、桿過窗問題
例3 木桿長5 m，上端固定在屋檐處豎直懸掛，由靜止放開后讓其自由下落(不計空氣阻力，下落過程中始終保持豎直)，木桿通過屋檐正下方20 m處的窗子，窗子高為5 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)木桿通過窗子上端所用時間是多少？
(2)木桿通過窗子所用時間是多少？
答案 (1)(2－eq \r(3)) s (2)(eq \r(5)－eq \r(3)) s
解析 (1)木桿由靜止開始做自由落體運動，木桿下端到達窗子上端用時由h下上＝eq \f(1,2)gt下上2，得
t下上＝eq \r(\f(2h下上,g))＝eq \r(\f(2×15,10)) s＝eq \r(3) s
木桿上端到達窗子上端用時
t上上＝eq \r(\f(2h上上,g))＝eq \r(\f(2×20,10)) s＝2 s
則木桿通過窗子上端所用時間
t＝t上上－t下上＝(2－eq \r(3)) s
(2)木桿的上端到達窗子的下端用時為
t上下＝eq \r(\f(2h上下,g))＝eq \r(\f(2×25,10)) s＝eq \r(5) s
則木桿通過窗子的時間為
t′＝t上下－t下上＝(eq \r(5)－eq \r(3)) s。
“落桿”類問題
由于物體有一定的長度，故物體經(jīng)過某一點不是一個瞬間，而是一段時間，解決這類問題的關(guān)鍵是選準研究過程，找準與這段研究過程的起點和終點相對應(yīng)的位移，解答過程中應(yīng)借助示意圖，搞清楚物體運動的過程，從而達到解決問題的目的。
四、自由落體多過程問題
例4 跳傘運動員做低空跳傘表演，他離開飛機后先做自由落體運動，當(dāng)距離地面125 m時打開降落傘，傘張開后運動員就以大小為14.3 m/s2的加速度做勻減速直線運動，到達地面時的速度為5 m/s，取g＝10 m/s2。問：
(1)運動員離開飛機時距地面的高度為多少？
(2)離開飛機后，運動員經(jīng)過多長時間才能到達地面？(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)
答案 (1)305 m (2)9.85 s
解析 (1)設(shè)運動員自由下落的高度為h1，打開傘前瞬間的速度為v1，以向下為正方向有v12＝2gh1
打開降落傘后做勻減速運動時滿足：
v22－v12＝2ah2，又a＝－14.3 m/s2
解得v1＝60 m/s，h1＝180 m
所以總高度為H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m
(2)設(shè)第一過程經(jīng)過的時間是t1，有h1＝eq \f(1,2)gt12
設(shè)第二過程經(jīng)過的時間是t2，則有t2＝eq \f(v2－v1,a)
所以總時間為t＝t1＋t2≈9.85 s。
分析多過程中物體的運動情況
1．找出交接處速度與各段間位移—時間關(guān)系。
2．多過程的轉(zhuǎn)折點處速度是聯(lián)系兩個運動的紐帶，往往是解題的關(guān)鍵。
專題強化練
1．(2023·武漢部分重點高中高一期中)兩個小球從兩個不同高度處自由下落，結(jié)果同時到達地面，選項四幅圖中，能正確表示它們的運動的是( )
答案 D
解析 由題意，兩個小球從兩個不同高度處自由下落，初速度為0，同時到達地面，說明兩球不是同時開始下落，且高度大的小球先開始下落；在下落過程，兩者的加速度相同，都做勻加速直線運動，則圖線斜率相同，故兩直線應(yīng)平行，故A、B錯誤；兩小球同時落地，則兩直線右端橫坐標應(yīng)相同，故C錯誤，D正確。
2．在同一地方做自由落體運動的甲、乙兩物體，所受重力之比為2∶1，下落高度之比為1∶4，則甲、乙兩物體( )
A．下落時間之比是1∶2
B．末速度之比是1∶4
C．下落過程中的加速度之比為1∶2
D．下落過程的平均速度之比為1∶1
答案 A
解析 因為在同一地方做自由落體運動，可知甲、乙的重力加速度相同，故加速度之比為1∶1，由自由落體運動的規(guī)律知h＝eq \f(1,2)gt2
得到t＝eq \r(\f(2h,g))
即下落時間之比是1∶2，故A正確，C錯誤；
由v＝gt得，落地速度之比為eq \f(v1,v2)＝eq \f(1,2)，故B錯誤；由eq \x\t(v)＝eq \f(h,t)得，下落過程的平均速度之比為eq \f(\x\t(v),\x\t(v)′)＝eq \f(1,2)，故D錯誤。
3．一條懸鏈長8.8 m，豎直懸掛，現(xiàn)懸鏈從懸掛點處斷開，自由下落，不計空氣阻力，則整條懸鏈通過懸鏈下端正下方20 m處的一點所需的時間是(g取10 m/s2)( )
A．0.3 s B．0.4 s
C．0.7 s D．1.2 s
答案 B
解析 懸鏈下端下落20 m時開始經(jīng)過該點，且懸鏈下端下落28.8 m時完全通過該點，故該過程經(jīng)歷的時間為Δt＝eq \r(\f(2?h＋L?,g))－eq \r(\f(2h,g))＝0.4 s，B正確。
4．(2023·河南省高一期中)一蘋果從4.5 m高處的樹上墜落，樹下恰好有人用雙手將蘋果接住，人手接到蘋果時離地面1.5 m，接住蘋果后向下做勻減速直線運動，蘋果離地1 m時速度恰好減為零。假設(shè)蘋果可視為質(zhì)點，不考慮手接蘋果瞬間蘋果速度的變化，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2，則蘋果向下做勻減速運動的加速度大小為( )
A．60 m/s2 B．50 m/s2
C．40 m/s2 D．30 m/s2
答案 A
解析 根據(jù)題意可知蘋果下落的運動可分為兩個階段，先是自由落體運動，下落高度為3 m，然后減速了0.5 m，根據(jù)運動學(xué)公式得，下落階段有2gh1＝v2
設(shè)減速階段的加速度大小為a，減速階段有0－v2＝－2ah2
蘋果向下做勻減速運動的加速度大小為a＝60 m/s2，故選A。
5．(多選)(2023·安化縣第二中學(xué)高一期中)從某一高度相隔1 s釋放兩個相同的小球甲和乙，不計空氣阻力，則在空中下落過程中，下列說法正確的是( )
A．甲、乙兩球速度之差越來越大
B．甲、乙兩球速度之差不變
C．甲、乙兩球距離越來越大
D．甲、乙兩球距離保持不變
答案 BC
解析 由v＝gt可知，甲、乙兩球的速度之差為Δv＝g(t＋1 s)－gt＝g (m/s)，速度之差恒為定值，故A錯誤，B正確；由h＝eq \f(1,2)gt2可知，兩球的距離Δx＝eq \f(1,2)g(t＋1 s)2－eq \f(1,2)gt2＝gt＋eq \f(g,2) (m)，兩球的距離越來越大，故C正確，D錯誤。
6．一礦井深125 m，在井口每隔一定時間自由下落一個小球，當(dāng)?shù)?1個小球剛從井口下落時，第1個小球恰好到井底(g＝10 m/s2)，則( )
A．第1個小球落至井底時的速度大小為30 m/s
B．第1個小球落至井底時的速度大小為25 m/s
C相鄰兩個小球下落的時間間隔是0.5 s
D．第9個小球和第7個小球之間的距離為25 m
答案 C
解析 第1個小球自由下落的時間t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×125,10)) s＝5 s，根據(jù)題意，第1個小球剛落至井底的瞬間，第11個小球剛好在井口，因此空中有9個小球在下落，并存在10個相等的時間間隔Δt，故Δt＝eq \f(t,10)＝0.5 s；根據(jù)v1＝eq \r(2gh)，得v1＝50 m/s，故第1個小球落至井底時的速度大小為50 m/s；第9個小球下落的高度為h9＝eq \f(1,2)×10×(0.5×2)2 m＝5 m，第7個小球下落的高度為h7＝eq \f(1,2)×10×(0.5×4)2 m＝20 m，故第9個小球和第7個小球之間的距離為15 m，故選C。
7．(2022·黃岡中學(xué)高一期中)一根豎直桿AB，在其下端B以下20 cm處有一長度為1 m的豎直管(桿能穿過管)，桿自由下落，它穿過豎直管所用時間為0.4 s(穿過的過程是指從兩個物體剛剛有重疊到完全沒有重疊的過程)，重力加速度大小g＝10 m/s2，則豎直桿AB的長度為( )
A．0.2 m B．0.4 m
C．0.6 m D．0.8 m
答案 C
解析 桿做自由落體運動，桿的下端B由靜止運動到管口的過程有h＝eq \f(1,2)gt12，設(shè)桿AB的長度為L，豎直管長度為l＝1 m，桿的上端A運動到管底的過程有h＋L＋l＝eq \f(1,2)gt22，穿過管所用的時間Δt＝t2－t1，聯(lián)立解得L＝0.6 m，故選C。
8．(2023·蘇州市吳江區(qū)高一月考)如圖所示，A、B兩個小球用長為L＝1 m的細線連接，用手拿著A球，B球豎直懸掛，且A、B兩球均靜止?，F(xiàn)由靜止釋放A球，測得兩球落地的時間差為0.2 s，不計空氣阻力，重力加速度g＝10 m/s2，則A球釋放時離地面的高度為( )
A．1.25 m B．1.80 m
C．3.60 m D．6.25 m
答案 B
解析 由題意可知A、B兩小球均做自由落體運動，設(shè)A球釋放時離地面的高度為h，對A球則有h＝eq \f(1,2)gtA2，對B球則有h－L＝eq \f(1,2)gtB2，
兩球落地的時間差為Δt＝tA－tB
解得h＝1.80 m，A、C、D錯誤，B正確。
9．(多選)(2023·任丘市第一中學(xué)高一期中)如圖所示，將一小球從豎直磚墻的某位置由靜止釋放，用頻閃照相機在同一底片多次曝光，得到了圖中1、2、3、…所示的小球運動過程中每次曝光時的位置，已知連續(xù)兩次曝光的時間間隔均為T，每塊磚的厚度均為d，根據(jù)圖中的信息，下列判斷正確的是( )
A．小球下落的加速度為eq \f(d,T2)
B．小球釋放的初始位置應(yīng)為距離1位置正上方d處
C．小球做變加速直線運動
D．小球在位置2的速度為eq \f(5d,2T)
答案 AD
解析 分析題圖中數(shù)據(jù)可知h45－h(huán)34＝h34－h(huán)23＝h23－h(huán)12＝d
即連續(xù)相同時間內(nèi)的位移差相等，說明小球的下落運動為勻加速直線運動，由
Δh＝d＝aT2
解得a＝eq \f(d,T2)，故A正確，C錯誤。
小球在位置2的速度為v2＝eq \f(h13,2T)＝eq \f(5d,2T)
則由2a(h＋2d)＝v22
可得小球釋放的初始位置應(yīng)為距離1位置正上方h＝eq \f(25d,8)－2d＝eq \f(9d,8)，故B錯誤，D正確。
10.如圖所示，一滴雨滴從離地面20 m高的樓房屋檐自由下落，下落途中用Δt＝0.2 s的時間通過一個窗口，窗口的高度為2 m，g取10 m/s2，不計空氣阻力，求：
(1)雨滴落地時的速度大??；
(2)雨滴落地前最后1 s內(nèi)的位移大??；
(3)屋檐離窗的上邊框的距離。
答案 (1)20 m/s (2)15 m (3)4.05 m
解析 (1)設(shè)雨滴自由下落時間為t，
根據(jù)h＝eq \f(1,2)gt2得t＝2 s
則雨滴落地時的速度大小v＝gt＝20 m/s。
(2)雨滴在第1 s內(nèi)的位移為h1＝eq \f(1,2)gt12＝5 m
則雨滴落地前最后1 s內(nèi)的位移大小為
h2＝h－h(huán)1＝15 m。
(3)由題意知，窗口的高度為h3＝2 m，
設(shè)屋檐距窗的上邊框為h0，雨滴從屋檐運動到窗的上邊框時間為t0，
則h0＝eq \f(1,2)gt02
又h0＋h3＝eq \f(1,2)g(t0＋Δt)2
解得h0＝4.05 m。
11．(2023·濰坊市高一檢測)特技跳傘要求隊員在2 200 m的高度離開飛機，在不開傘自由落體的情況下完成規(guī)定表演動作。跳傘中某隊員自由落體速度達到最大速度70 m/s后，調(diào)整姿勢勻速下落，在距地面1 000 m時打開降落傘勻減速下落，落地速度恰好為零。g取10 m/s2，求：
(1)勻速下落的距離；
(2)勻減速下落過程的加速度大小；
(3)跳傘過程的總時間(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)。
答案 (1)955 m (2)2.45 m/s2 (3)49.2 s
解析 (1)自由落體運動過程有v＝gt1
h1＝eq \f(1,2)gt12
從剛離開飛機到落地過程中
由h＝h1＋h2＋h3，解得h2＝955 m。
(2)在勻減速直線運動過程中，有0－v2＝－2ah3，代入數(shù)據(jù)得a＝2.45 m/s2。
(3)勻減速下落時間t3＝eq \f(v,a)＝eq \f(70,2.45) s≈28.57 s
勻速下落時間t2＝eq \f(h2,v)＝eq \f(955,70) s≈13.64 s
總時間t＝t1＋t2＋t3，解得t≈49.2 s。

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4 自由落體運動

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