江蘇省蘇州市吳江區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)2023-—2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．將一元二次方程3x2﹣1＝5x化為一般形式后，其中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）
A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1
2．若關(guān)于x的方程x2﹣x+a＝0有實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（）
A．2B．5C．0.5D．0.25
3．用配方法將2x2﹣4x﹣3＝0變形，結(jié)果是（）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．
C．D．（x﹣1）2﹣5＝0
4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情況是（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
5．下列說(shuō)法中，正確的是（）
A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等
B．相等的弧所對(duì)的圓周角相等
C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓
D．三角形的內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）
A．點(diǎn)（0，3）B．點(diǎn)（2，3）C．點(diǎn)（5，1）D．點(diǎn)（6，1）
7．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝100°，則∠BCD的度數(shù)為（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F(xiàn)是線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的⊙F交AB于點(diǎn)D，E是線段BC上一點(diǎn)，且ED＝EB，則EF的最小值為（）
A．3B．2C．D．2
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9．若關(guān)于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，則m＝．
10．若⊙O的直徑是4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是．
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一個(gè)根為3，則2a+b＝．
12．三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣12x+35＝0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若∠BAC＝28°，則∠D＝ °．
14．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺．如圖，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），則這塊圓柱形木材的直徑是寸．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，2），動(dòng)點(diǎn)B、C從原點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)A為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓；以BC為一邊，在x軸上方作等邊△BCD．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)⊙A與△BCD的邊BD所在直線相切時(shí)，t的值為．
16．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C、D不與A、B重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中弦CD始終保持不變，F(xiàn)是弦CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．若CD＝5，AB＝6，當(dāng)EF取得最大值時(shí)，CE的長(zhǎng)度為．
三、解答題（本大題共11小題，共82分）
17．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）（x﹣1）2﹣5＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（3）2y2﹣5y+2＝0；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0．
18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A為圓心，6cm長(zhǎng)為半徑作⊙A（畫(huà)圖），則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三點(diǎn)至少有一個(gè)點(diǎn)在⊙A內(nèi)，至少有一點(diǎn)在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是．
19．已知關(guān)于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一個(gè)根是2，求另一個(gè)根和m的值．
20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
21．已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整數(shù)．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，若x1，x2是斜邊長(zhǎng)為的直角三角形的兩直角邊，求k的值；
22．“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．
（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；
（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．
23．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且＝，連接CD，交AB于點(diǎn)E，連接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度數(shù)；
（2）∠ABD的平分線交CD于點(diǎn)F，求證：BC＝CF．
24．【觀察思考】：
某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動(dòng)，在Q滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng)，并且PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng)．在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H，并測(cè)得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．
?
【解決問(wèn)題】：
（1）點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是分米；
（2）如圖3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位置時(shí)，PQ與⊙O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？為什么？
（3）：①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最?。笔聦?shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)P到l的距離是分米；
②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃?，求這個(gè)扇形面積的最大值．
25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交AC于點(diǎn)F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DE．
（1）求證：BD＝CD；
（2）若∠G＝40°，求∠AED的度數(shù)．
（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半徑．
26．閱讀材料：
求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x＝a的形式；
求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為元一次方程來(lái)解；
求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解；
求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)，遇到實(shí)際問(wèn)題，還要考慮是否符合題意．
以上解決新問(wèn)題時(shí)，都用到了一個(gè)基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，即把未學(xué)過(guò)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，從而找到解決問(wèn)題的辦法，也是同學(xué)們要掌握的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）問(wèn)題：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝，x3＝；
（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程＝x的解；
（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長(zhǎng)AD＝21m，寬AB＝8m，點(diǎn)P在AD上（AP＞PD），小華把一根長(zhǎng)為27m的繩子一段固定在點(diǎn)B，把長(zhǎng)繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，再拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)C，求AP的長(zhǎng)．
27．定義：在等腰三角形中，若有一條邊是另一條邊的2倍，則稱這個(gè)三角形為倍腰三角形．
理解定義：若有一個(gè)倍腰三角形有一條邊為2，求這個(gè)倍腰三角形的周長(zhǎng)；
性質(zhì)探究：判斷下列關(guān)于倍腰三角形的說(shuō)法是否正確，正確的打“√”；錯(cuò)誤的打“×”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形
（2）若倍腰三角形的底角為α，則tanα＝
（3）如圖1，依次連接倍腰三角形ABC各邊的中點(diǎn)，則圖1中共有4個(gè)倍腰三角形
性質(zhì)應(yīng)用：如圖2，倍腰三角形△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半徑為1，求倍腰三角形△ABC的面積；
拓展應(yīng)用：如圖3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圓，直徑BH⊥AF于點(diǎn)D，AF與BC相交于點(diǎn)E，AC與BH相交于點(diǎn)G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．請(qǐng)直接寫出CG的長(zhǎng)．
參考答案
一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．將一元二次方程3x2﹣1＝5x化為一般形式后，其中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）
A．3，5，﹣1B．3，5，1C．3，﹣5，﹣1D．3，﹣5，1
【分析】先把方程化為一般式為3x2﹣5x﹣1＝0，然后確定二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．
解：方程化為一般式為3x2﹣5x﹣1＝0，
所以二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是3，﹣5，﹣1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般式，要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．
2．若關(guān)于x的方程x2﹣x+a＝0有實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（）
A．2B．5C．0.5D．0.25
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ≥0，即可得出關(guān)于a的一元二次不等式，解之即可得出a的取值范圍，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．
解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4a≥0，
解得：a≤，
觀察選項(xiàng)只有D選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
3．用配方法將2x2﹣4x﹣3＝0變形，結(jié)果是（）
A．2（x﹣1）2﹣4＝0B．
C．D．（x﹣1）2﹣5＝0
【分析】先將二次項(xiàng)系數(shù)化1，再方程的左邊加和減一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，最后寫成完全平方式即可．
解：二次項(xiàng)系數(shù)化1，得，
加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得，
整理，得．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情況是（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【分析】先求出△的值，再根據(jù)Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，進(jìn)行判斷即可．
解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
5．下列說(shuō)法中，正確的是（）
A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等
B．相等的弧所對(duì)的圓周角相等
C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓
D．三角形的內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等
【分析】逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可．
解：同圓或等圓，相等的圓心角所對(duì)的弧才相等，故選項(xiàng)A不符合題意；
相等的弧所對(duì)的圓周角相等，故選項(xiàng)B符合題意；
平面內(nèi)，不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)C不符合題意；
三角形的內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)的距離不一定相等，故選項(xiàng)D不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵，難度不大，仔細(xì)審題即可．
6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）
A．點(diǎn)（0，3）B．點(diǎn)（2，3）C．點(diǎn)（5，1）D．點(diǎn)（6，1）
【分析】根據(jù)垂徑定理的性質(zhì)得出圓心所在位置，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出，∠OBD+∠EBF＝90°時(shí)F點(diǎn)的位置即可．
解：連接AC，作AC，AB的垂直平分線，交格點(diǎn)于點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′就是所在圓的圓心，
∴三點(diǎn)組成的圓的圓心為：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°時(shí)，BF與圓相切，
∴當(dāng)△BO′D≌△FBE時(shí)，
∴EF＝BD＝2，
F點(diǎn)的坐標(biāo)為：（5，1），
∴點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5，1）．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及垂徑定理和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，得出△BOD≌△FBE時(shí)，EF＝BD＝2，即得出F點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝100°，則∠BCD的度數(shù)為（）
A．50°B．80°C．100°D．130°
【分析】首先根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，求出∠BAD的度數(shù)；然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，用180°減去∠BAD的度數(shù)，求出∠BCD的度數(shù)是多少即可．
解：∵∠BOD＝100°，
∴∠BAD＝100°÷2＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD
＝180°﹣50°
＝130°
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，要熟練掌握．
（2）此題還考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)． ②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．
8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F(xiàn)是線段AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的⊙F交AB于點(diǎn)D，E是線段BC上一點(diǎn)，且ED＝EB，則EF的最小值為（）
A．3B．2C．D．2
【分析】作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，F(xiàn)M⊥EH于M，則FM＝GH，由垂徑定理得到AG＝DG＝AD，由等腰三角形三線合一﹣得到DH＝HB＝DB，從而得到GH＝DG+DH＝AB＝2，即FM＝2，再由EF≥FM，即可得到結(jié)論．
解：作FG⊥AB于G，EH⊥AB于H，F(xiàn)M⊥EH于M，
則四邊形FGHM是矩形，
FM＝GH，
∵FG⊥AB，
∴AG＝DG＝AD，
∵ED＝EB，EH⊥AB
∴DH＝HB＝DB，
∴GH＝DG+DH＝AD+DB＝AB＝2
∴FM＝2，
∵EF≥FM，
∴EF的最小值為2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段的最小值，熟練掌握直角三角形的中線定理與矩形的判定等是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9．若關(guān)于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，則m＝ 0 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，再解即可．
解：由題意得：|m|+2＝2，且m﹣3≠0，
解得：m＝0，
故答案為：0．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的定義，關(guān)鍵是掌握一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)； ②只含有一個(gè)未知數(shù)； ③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
10．若⊙O的直徑是4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離．
【分析】先求出⊙O的半徑，再根據(jù)圓心O到直線l的距離為3即可得出結(jié)論．
解：∵⊙O的直徑是4，
∴⊙O的半徑r＝2，
∵圓心O到直線l的距離為3，3＞2，
∴直線l與⊙O相離．
故答案為：相離．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，若圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，d＞r時(shí)，圓和直線相離；d＝r時(shí)，圓和直線相切；d＜r時(shí)，圓和直線相交．
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一個(gè)根為3，則2a+b＝ ﹣3 ．
【分析】把x＝3代入原方程得9+6a+3b＝0，然后2a+b的值．
解：把x＝3代入方程x2+2ax+3b＝0，得9+6a+3b＝0，
所以2a+b＝﹣3．
故答案為：﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
12．三角形兩邊的長(zhǎng)是3和4，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣12x+35＝0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為 12 ．
【分析】先解一元二次方程，由于未說(shuō)明兩根哪個(gè)是腰哪個(gè)是底，故需分情況討論，從而得到其周長(zhǎng)．
解：解方程x2﹣12x+35＝0，
得x1＝5，x2＝7，
∵1＜第三邊＜7，
∴第三邊長(zhǎng)為5，
∴周長(zhǎng)為3+4+5＝12．
【點(diǎn)評(píng)】此題是一元二次方程的解結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意分類討論．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若∠BAC＝28°，則∠D＝ 62 °．
【分析】如圖，連接BC，證明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得結(jié)論．
解：如圖，連接BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
故答案為：62．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理，屬于中考?？碱}型．
14．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺．如圖，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），則這塊圓柱形木材的直徑是 26 寸．
【分析】線段OC垂直且平分線段AB，在Rt△ADO中，OD的長(zhǎng)為（R﹣1）寸．
解：1尺＝10寸．
根據(jù)題意可得AD＝AB＝5（寸）．
設(shè)圓O的半徑為R，
（R﹣1）2+52＝R2，
∴R＝13寸，
∴這塊圓柱形木材的直徑是：13×2＝26（寸）．
故答案為：26．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，2），動(dòng)點(diǎn)B、C從原點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位和每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)A為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓；以BC為一邊，在x軸上方作等邊△BCD．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)⊙A與△BCD的邊BD所在直線相切時(shí)，t的值為 4+6 ．
【分析】作AH⊥BD于H，延長(zhǎng)DB交y軸于E，如圖，利用切線的性質(zhì)得AH＝OB＝t，再利用等邊三角形的性質(zhì)得∠DBC＝60°，則∠OBE＝60°，所以O(shè)E＝OB＝t，AE＝2AH＝2t，從而得到2+t＝2t，然后解關(guān)于t的方程即可．
解：作AH⊥BD于H，延長(zhǎng)DB交y軸于E，如圖，
∵⊙A與△BCD的邊BD所在直線相切，
∴AH＝OB＝t，
∵△BCD為等邊三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠OBE＝60°，
∴∠OEB＝30°，
在Rt△OBE中，OE＝OB＝t，
在Rt△AHE中，AE＝2AH＝2t，
∵A（0，2），
∴OA＝2，
∴2+t＝2t，
∴t＝4+6．
故答案為：4+6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．
16．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C、D不與A、B重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中弦CD始終保持不變，F(xiàn)是弦CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．若CD＝5，AB＝6，當(dāng)EF取得最大值時(shí)，CE的長(zhǎng)度為．
【分析】如圖，延長(zhǎng)CE交⊙O于H，連接DH．由三角形的中位線定理可知DH＝2EF，推出DH是直徑時(shí)，EF的值最大．
解：如圖，延長(zhǎng)CE交⊙O于H，連接DH．
∵AB⊥CH，
∴EC＝EH，
∵CF＝FD，
∴EF＝DH，
∴當(dāng)DH在直徑時(shí)，EF的值最大，此時(shí)∠DCH＝90°，
∴CH＝＝＝，
∴CE＝，
∴EF最大時(shí)，EC的長(zhǎng)為，
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，三角形的中位線定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（本大題共11小題，共82分）
17．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）（x﹣1）2﹣5＝0；
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；
（3）2y2﹣5y+2＝0；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0．
【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用公式法求解即可．
解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，
（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），
x（x+4）+3（x+4）＝0，
（x+4）（x+3）＝0，
∴x+4＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；
（3）2y2﹣5y+2＝0，
（2y﹣1）（y﹣2）＝0，
∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，
∴y1＝，y2＝2；
（4）2m2﹣7m﹣3＝0，
這里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，
∴m＝＝，
∴m1＝，m2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．
18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．
（1）若以A為圓心，6cm長(zhǎng)為半徑作⊙A（畫(huà)圖），則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三點(diǎn)至少有一個(gè)點(diǎn)在⊙A內(nèi)，至少有一點(diǎn)在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是 6cm＜r＜10cm ．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)B，C，D與⊙A的位置關(guān)系；
（2）利用（1）中所求，即可得出半徑r的取值范圍．
解：（1）如圖，連接AC，
∵AB＝6cm，AD＝8cm，
∴AC＝10cm，
∵⊙A的半徑為6cm長(zhǎng)，
∴點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，點(diǎn)D在⊙A外；
（2）∵以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，
∴⊙A的半徑r的取值范圍是6cm＜r＜10cm．
故答案為：6cm＜r＜10cm．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，解決本題要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
19．已知關(guān)于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一個(gè)根是2，求另一個(gè)根和m的值．
【分析】先把x＝2代入方程得m＝﹣，則方程化為x2+2x﹣8＝0，設(shè)方程的另一根為x2，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到2+x2＝﹣2，然后求出t即可．
解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，
方程化為x2+2x﹣8＝0，
設(shè)方程的另一根為x2，
則2+x2＝﹣2，
解得x2＝﹣4，
即方程的另一個(gè)根為﹣4，m的值為﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．也考查了一元二次方程的解的定義．
20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而合并同類項(xiàng)，再結(jié)合已知代入得出答案．
解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x
＝2x2﹣x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴原式＝2（x2﹣x）+1
＝2×1+1
＝3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了代數(shù)式求值，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
21．已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整數(shù)．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，若x1，x2是斜邊長(zhǎng)為的直角三角形的兩直角邊，求k的值；
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義得到k≠0，再計(jì)算出判別式得到Δ＝（2k﹣1）2，根據(jù)k為整數(shù)和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到Δ＞0，則根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2，x1?x2，則根據(jù)完全平方公式變形得（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2，由于k為整數(shù)，則2﹣＞0，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：根據(jù)題意得k≠0，
∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，
而k為整數(shù)，
∴2k﹣1≠0，
∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，
∵x1+x2＝，x1?x2＝，
∵k直角三角形的兩直角邊，
∴+＝，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝，
∴（）2﹣2×＝，
∴k＝2或k＝﹣（不合題意舍去），
∴k＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1?x2＝．也考查了一元二次方程的根的判別式．
22．“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．
（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；
（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長(zhǎng)率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．
【分析】（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)第三階段水稻畝產(chǎn)量＝第一階段水稻畝產(chǎn)量×（1+增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）利用第四階段水稻畝產(chǎn)量＝第三階段水稻畝產(chǎn)量×（1+增長(zhǎng)率），可求出第四階段水稻畝產(chǎn)量，將其與1200公斤比較后即可得出結(jié)論．
解：（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x，
依題意得：700（1+x）2＝1008，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：畝產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為20%．
（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．
∵1209.6＞1200，
∴他們的目標(biāo)能實(shí)現(xiàn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且＝，連接CD，交AB于點(diǎn)E，連接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度數(shù)；
（2）∠ABD的平分線交CD于點(diǎn)F，求證：BC＝CF．
【分析】（1）連接AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性質(zhì)可得出答案；
（2）由角平分線的定義得出∠EBF＝∠DBF，由圓周角定理得出∠ABC＝∠CDB，證得∠CBF＝∠CFB，則可得出結(jié)論．
解：（1）連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）證明：∵BF平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
24．【觀察思考】：
某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動(dòng)，在Q滑動(dòng)的過(guò)程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng)，并且PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng)．在擺動(dòng)過(guò)程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H，并測(cè)得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．
?
【解決問(wèn)題】：
（1）點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 12 分米；
（2）如圖3，小明同學(xué)說(shuō)：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位置時(shí)，PQ與⊙O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？為什么？
（3）：①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最小．”事實(shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)P到l的距離是 6 分米；
②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃危筮@個(gè)扇形面積的最大值．
【分析】（1）當(dāng)O、P、Q在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O的距離最大，根據(jù)勾股定理求出HQ＝6分米，利用對(duì)稱性，即可求出滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位置時(shí)，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，利用OP、PQ、OQ是否滿足勾股定理，來(lái)判斷PQ與⊙O是否相切；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P到l的距離最大時(shí)，PQ⊥l，結(jié)合PQ的長(zhǎng)即可得到答案；
②當(dāng)點(diǎn)P的l的距離最大時(shí)，OP將不再向下轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P在右側(cè)的最遠(yuǎn)位置為P，在左側(cè)的最遠(yuǎn)位置為P′，連接P′P交OH于點(diǎn)D，易求得OD＝2分米，利用銳角三角函數(shù)可得cs∠DOP＝，得到∠DOP＝60°，則∠POP′＝120°，再利用扇形的面積公式計(jì)算即可．
解：（1）當(dāng)O、P、Q在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O的距離最大，
此時(shí)，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），
點(diǎn)Q滑動(dòng)到最左端時(shí)，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），
同理可得：點(diǎn)Q滑動(dòng)到最右端時(shí)，HQ＝6分米，
∴點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是2HQ＝2×6＝12（分米）；
故答案為：12；
（2）不對(duì)，理由如下：
當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位置時(shí)，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，
∵OP2+PQ2＝42+62＝52，
OQ2＝82＝64，
∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，則OP不與PQ垂直，
∴PQ與⊙O不相切；
（3）①∵PQ的長(zhǎng)度固定，為6分米，
∴當(dāng)PQ⊥l時(shí)，點(diǎn)P到到l的距離最大，為6分米；
故答案為：6；
②由①知，在⊙O上存在點(diǎn)P的l的最大距離為6分米，此時(shí)，OP將不再向下轉(zhuǎn)動(dòng)，
設(shè)點(diǎn)P在右側(cè)的最遠(yuǎn)位置為P，在左側(cè)的最遠(yuǎn)位置為P′，
如圖，連接P′P交OH于點(diǎn)D，
∴OP在繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)過(guò)程中所掃過(guò)的最大扇形就是POP′，
∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，
∴四邊形PQQ′P′為矩形，
∴QQ′∥PP′，
∵OH⊥QQ′，
∴OD⊥PP′，
∴PD＝P′D，
∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），
在Rt△POD中，cs∠DOP＝＝＝，
∴∠DOP＝60°，
∴∠POP′＝120°，
∴S扇形POP′＝＝（平方分米），
即扇形面積的最大值平方分米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理、切線的判定、矩形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、扇形的面積公式、解直角三角形，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交AC于點(diǎn)F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接DE．
（1）求證：BD＝CD；
（2）若∠G＝40°，求∠AED的度數(shù)．
（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半徑．
【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得出AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠ODG＝90°，求出∠BOD、∠ABC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形求出即可；
（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圓的半徑．
【解答】（1）證明：連接AD，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：連接OD，
∵GF是切線，OD是半徑，
∴OD⊥GF，
∴∠ODG＝90°，
∵∠G＝40°，
∴∠GOD＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝65°，
∵點(diǎn)A、B、D、E都在⊙O上，
∴∠ABD+∠AED＝180°，
∴∠AED＝115°；
（3）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴△GOD∽△GAF，
∴＝，
∴設(shè)⊙O的半徑是r，則AB＝AC＝2r，
∴AF＝2r﹣2，
∴＝，
∴r＝3，
即⊙O的半徑是3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
26．閱讀材料：
求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x＝a的形式；
求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為元一次方程來(lái)解；
求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解；
求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來(lái)解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)，遇到實(shí)際問(wèn)題，還要考慮是否符合題意．
以上解決新問(wèn)題時(shí)，都用到了一個(gè)基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，即把未學(xué)過(guò)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)，從而找到解決問(wèn)題的辦法，也是同學(xué)們要掌握的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過(guò)因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）問(wèn)題：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ ﹣3 ，x3＝；
（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程＝x的解；
（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長(zhǎng)AD＝21m，寬AB＝8m，點(diǎn)P在AD上（AP＞PD），小華把一根長(zhǎng)為27m的繩子一段固定在點(diǎn)B，把長(zhǎng)繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，再拉直，長(zhǎng)繩的另一端恰好落在點(diǎn)C，求AP的長(zhǎng)．
【分析】（1）將方程6x3+14x2﹣12x＝0的左邊因式分解得：2x（3x2+7x﹣6）＝0，可得：2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，分別求出兩個(gè)方程的解即可得到原方程的解；
（2）將方程兩邊平方轉(zhuǎn)化成一元二次方程，解這個(gè)一元二次方程，檢驗(yàn)，即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)AP＝xm，則PD＝（21﹣x）m，利用勾股定理分別表示出BP，PC的長(zhǎng)度，依據(jù)題意列出方程，利用轉(zhuǎn)化的思想方法解這個(gè)方程，檢驗(yàn)并依據(jù)題意對(duì)答案進(jìn)行取舍即可．
解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左邊因式分解，得：
2x（3x2+7x﹣6）＝0，
∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，
∴x1＝0，x2＝﹣3，；
故答案為：﹣3；；
（2）方程的兩邊平方，得：
2x+3＝x2，
即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，，因此﹣1不是原方程的解，
∴方程的解是：x＝3；
（3）設(shè)AP＝xm，則PD＝（21﹣x）m，
∵BP+CP＝27，，，
∴，
∴，
兩邊平方，得：
．
整理，得：，
兩邊平方并整理，得：
x2﹣21x+90＝0，
解得x1＝15，x2＝6，
經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝15，x2＝6都是方程的解，
∵AP＞PD，
∴x＝6不合題意，舍去．
答：AP的長(zhǎng)為15m．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用轉(zhuǎn)化的思想解無(wú)理方程，一元二次方程的解法，方程的增根，利用轉(zhuǎn)化的思想解高次方程和無(wú)理方程是解題的關(guān)鍵．
27．定義：在等腰三角形中，若有一條邊是另一條邊的2倍，則稱這個(gè)三角形為倍腰三角形．
理解定義：若有一個(gè)倍腰三角形有一條邊為2，求這個(gè)倍腰三角形的周長(zhǎng)；
性質(zhì)探究：判斷下列關(guān)于倍腰三角形的說(shuō)法是否正確，正確的打“√”；錯(cuò)誤的打“×”；
（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形 √
（2）若倍腰三角形的底角為α，則tanα＝ √
（3）如圖1，依次連接倍腰三角形ABC各邊的中點(diǎn)，則圖1中共有4個(gè)倍腰三角形 ×
性質(zhì)應(yīng)用：如圖2，倍腰三角形△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半徑為1，求倍腰三角形△ABC的面積；
拓展應(yīng)用：如圖3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圓，直徑BH⊥AF于點(diǎn)D，AF與BC相交于點(diǎn)E，AC與BH相交于點(diǎn)G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．請(qǐng)直接寫出CG的長(zhǎng)．
【分析】理解定義，由三角形的兩邊之和大于第三邊可知倍腰三角形的腰是底邊的2倍，當(dāng)?shù)走吺?時(shí)，周長(zhǎng)為10；當(dāng)腰是2時(shí)，周長(zhǎng)為5；
性質(zhì)質(zhì)探究：（1）由倍腰三角形的定義及性質(zhì)可知倍腰三角形三邊的比都相等，為1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形；
（2）通過(guò)三角函數(shù)可求出倍腰三角形底角的三角函數(shù)值；
（3）圖1中共有5個(gè)倍腰三角形，分別是△ABC，△ADF，△DEF，△DBE，△FEC；
性質(zhì)應(yīng)用：根據(jù)倍腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出倍腰三角形的高及底，可求出其面積；
拓展應(yīng)用：通過(guò)倍腰三角形的性質(zhì)及垂徑定理求出⊙O的半徑，直徑，設(shè)CG的長(zhǎng)為x，再通過(guò)相似三角形將HG，BG用含x的代數(shù)式表示出來(lái)，由直徑的長(zhǎng)度可列出方程，解方程即可．
解：理解定義，當(dāng)2是倍腰三角形的腰時(shí)，它的底為1，周長(zhǎng)為5；
當(dāng)2是倍腰三角形的底時(shí)，它的腰為4，周長(zhǎng)為10；
性質(zhì)探究，
（1）由倍腰三角形的定義及性質(zhì)可知倍腰三角形三邊的比都相等，為1：2：2，所以所有的倍腰三角形都是相似三角形，
故答案為√；
（2）如圖1，過(guò)頂點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
設(shè)AB＝4a，
則BC＝2a，BD＝CD＝BC＝a，
在Rt△ABD中，AD＝＝a，
∴tan∠B＝＝，
故答案為√；
（3）如圖2，圖中共有5個(gè)倍腰三角形，分別是△ABC，△ADF，△DEF，△DBE，△FEC，
故答案為×；
性質(zhì)應(yīng)用，如圖3，過(guò)頂點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，
設(shè)BD為x，則根據(jù)性質(zhì)有AD＝x，
在Rt△BOD中，
BD2+OD2＝OB2，
∴x2+（x﹣1）2＝12，
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴BC＝，AD＝，
∴S△ABC＝BC?AD＝，
∴倍腰三角形△ABC的面積為；
拓展應(yīng)用，如圖4，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，連接AO，HC，
則AM＝BM＝AB，
∵△ABE是倍腰三角形，AB＝AE，BE＝2，
∴AB＝AE＝4，
∴AM＝BM＝AB＝2，
∵△ABC是倍腰三角形，
∴CA＝CB＝2AB＝8，
CM＝＝2，
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴CM垂直平分AB，CM經(jīng)過(guò)圓心O，
設(shè)半徑為r，
∴在Rt△OMB中，
MB2+OM2＝OB2，
∴22+（2﹣r）2＝r2，
解得，r＝，
∴BH＝2r＝，
在Rt△CHB中，
HC＝＝，
∵∠ABG＝∠HCG，∠GAB＝∠GCH，
∴△ABG∽△HCG，
∴＝＝，
設(shè)CG＝x，則AG＝8﹣x，
∴＝＝，
∴GB＝x，HG＝﹣x，
∵HG+GB＝HB，
∴x+﹣x＝，
解得，x＝
∴CG的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義倍腰三角形及其性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是認(rèn)真審題，要善于歸納總結(jié)新知識(shí)．

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