高一數(shù)學(xué)試卷
考試時間：2023年10月8日 考試時長：120分鐘 試卷滿分：150分
一、單選題（共40分）
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法可求出集合，然后進(jìn)行交集的運算即可．
【詳解】因為，；
．
故選：．
【點睛】本題考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運算，同時考查了一元二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．
2. 設(shè)集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)分式不等式的解法、交集的定義求解即可.
【詳解】，則，即，，解得，
故，
又，故.
故選：B
3. 在數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)黑洞：無論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等．定義：若一個位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)．已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合，集合，則的真子集個數(shù)為（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)自戀數(shù)的定義,求出;用列舉法表示出,求出交集后,由交集中元素個數(shù),即可求出真子集個數(shù).
【詳解】解:依題意,,
故,故的真子集個數(shù)為7
故選:C.
【點睛】本題考查了集合的運算,考查了真子集的涵義.若集合中元素個數(shù)有 個,則其子集有 個,真子集有 個,非空子集有個,非空真子集有個.
4. 若，，則有（ ）．
A. B. C. D. 以上皆錯
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的性質(zhì)進(jìn)行辨析即可.
【詳解】∵，且，∴，
對于A，∵，，∴，故選項A正確；
對于B，∵，，∴，故選項B錯誤；
對于C，當(dāng)，，時，，故選項C錯誤；
對于D，選項A正確，故選項D錯誤.
故選：A.
5. 已知命題，，命題，則是的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式結(jié)合命題成立可求出實數(shù)的取值范圍，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】當(dāng)時，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，當(dāng)時，的最小值為，
若命題，為真命題，則，
因為“”“”，但“”“”，
所以，是的必要不充分條件，
故選：B.
6. 下列各式中，最小值為2的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】對于四個選項利用基本不等式（一正二定三相等）等號成立條件進(jìn)行檢驗和簡單復(fù)合函數(shù)及對勾函數(shù)的單調(diào)性分別求出其最值,逐一排除即可.
【詳解】對于選項A：因為,
所以，
當(dāng)且僅當(dāng),即時，取得等號.
故選項A排除;
對于選項B：因為 ,
函數(shù)在上為增函數(shù),
所以函數(shù)在上有最小值為,
即,故選項B排除;
對于選項C:令,則,
因為在上為增函數(shù),
所以函數(shù)在上有最小值為,
故選項C排除;
對于選項D:令,則,
所以=,
當(dāng)且僅當(dāng),即時,有最小值2,
故選:D
【點睛】本題考查對勾函數(shù)的單調(diào)性問題和基本不等式的應(yīng)用;基本不等式等號成立條件的檢驗是求解本題的關(guān)鍵,亦是本題易錯點;屬于中檔題.
7. 已知實數(shù)，，滿足，則的最小值是
A. B. C. -1D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意利用與的基本不等式,再轉(zhuǎn)換為含的二次不等式求解即可.
【詳解】若取最小值,顯然異號且.故,
即,故,
當(dāng)且僅當(dāng)分別取時等號成立.
故選：B
【點睛】本題主要考查了基本不等式以及二次不等式的綜合運用,需要注意分析的正負(fù)再利用基本不等式,屬于中等題型.
8. 若對任意實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對于任意實數(shù)，恒成立，進(jìn)而求出的最大值，設(shè)及，然后通過基本不等式求得答案．
【詳解】對任意實數(shù)，，不等式恒成立，
則對于任意實數(shù)，恒成立，
則只需求的最大值即可，，
設(shè)，則，
再設(shè)，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得“＝”．
所以，即實數(shù)a的最小值為．
故選：D．
二、多選題（共20分）
9. 下列四個命題中，是真命題的是（ ）．
A. ，且，
B. ，使得
C. 若，，
D. 當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是
【答案】BC
【解析】
【分析】對A，當(dāng)時，不成立；
對B，當(dāng)時，成立；
對C，將分式化整式，等價轉(zhuǎn)化為證明命題即可；
對D，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值求解．
【詳解】對選項A，當(dāng)時，，不滿足，故A錯誤；
對選項B，當(dāng)時，成立，即，使得成立，故B正確；
對選項C，由，，等價于．
又，且，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
兩式相乘得，結(jié)論得證，故C正確；
對選項D，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值求解即可．
因為，由得，
設(shè)，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，
，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增．
因為，，故，則，故D錯誤．
故選：BC．
10. 已知關(guān)于x的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解集可得判斷A、D，再將題設(shè)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法判斷B、C.
【詳解】由題設(shè)，的解集為，
∴，則，
∴，，則A、D正確；
原不等式可化為的解集為，而的零點分別為且開口向下，又，如下圖示，
∴由圖知：，，故B錯誤，C正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：由根與系數(shù)關(guān)系得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想判斷各選項的正誤.
11. 下列選項正確的有（ ）
A. 已知全集，，，則實數(shù)p值為3.
B. 若，則或
C. 已知集合中元素至多只有1個，則實數(shù)a的范圍是
D. 若，，且，則.
【答案】AD
【解析】
【分析】求出集合，再求出p的值即可判斷A；由集合相等求出判斷B；利用已知分類討論求解判斷C；利用集合的包含關(guān)系分類討論求解判斷D作答.
【詳解】對于A，全集，由，得，
則是方程的兩實根，解得，A正確；
對于B，由，得，
因此，解得，則，B錯誤；
對于C，依題意，當(dāng)時，由，得，此時集合中只有一個元素；
當(dāng)時，集合中最多只有一個元素，即一元二次方程最多一個實根，
于是，解得，所以實數(shù)a的范圍是或，C錯誤；
對于D，因為，所以當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得，
綜上，，D正確.
故選：AD
12. 已知a，b為正實數(shù)，且，則（ ）．
A. 的最大值為8B. 的最小值為4
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】對條件進(jìn)行變形，利用不等式基本性質(zhì)對選項一一分析即可．
【詳解】A：因為，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，解不等式得，
即，故的最大值為2，故A錯誤；
B：由得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時取得最小值4，故B正確；
C：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確；
D：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
此時取得最小值，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題（共20分）
13. 已知命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知命題的否定為真命題，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，即可求解.
【詳解】因為命題“，”是假命題，
所以其否定“任意，”是真命題，
即在上恒成立，
當(dāng)時，不等式化為恒成立，
當(dāng)時，若在R上恒成立，
則，解得，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
14. 關(guān)于的不等式恰有三個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式解法進(jìn)行求解即可.
【詳解】,
當(dāng)時，，
顯然該不等式有無窮多個整數(shù)解，不符合題意，
當(dāng)時，，或，
顯然該不等式有無窮多個整數(shù)解，不符合題意，
當(dāng)時，，不符合題意，
當(dāng)時，，
要想三個整數(shù)解，只需，
當(dāng)時，，此時無整數(shù)解，
綜上所述：實數(shù)的取值范圍是，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)的正負(fù)性、結(jié)合一元二次方程兩根的大小關(guān)系分類討論是解題的關(guān)鍵.
15. 對任意的正實數(shù)a，b，c，滿足，則的最小值為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)條件，得到，利用基本不等式得到，再通過構(gòu)造，二次運用基本不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】因為
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點晴：解答本題的關(guān)鍵在于，利用條件將變形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出結(jié)果.
16. 《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明，現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段上的點，且，，O為的中點，以為直徑作半圓，過點C作的垂線交半圓于D，連接，，，過點C作的垂線，垂足為E，若不添加輔助線，則該圖形可以完成的所有無字證明為__________．（填寫序號）
①；②；
③；④．
【答案】①③
【解析】
【分析】先明確，的幾何意義，即在圖中相對應(yīng)的線段，根據(jù)直角三角形的相似可得相應(yīng)的比例式，結(jié)合不等關(guān)系，即可證明①③選項；由于在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對應(yīng)，可判斷②④選項．
【詳解】由題意可知，，
由∽可知，即，
所以；
在中，，即，
當(dāng)時，O，C點重合，，此時，所以①正確；
在中，∽可得，即，
所以，
由于，所以，
當(dāng)時，，此時，所以③正確；
由于在該圖中沒有相應(yīng)的線段與之對應(yīng)，故②④中的不等式無法通過這種幾何方法來證明．
故答案為：①③．
四、解答題（共70分）
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，求得或，結(jié)合集合交集的運算，即可求解；
（2）根據(jù)題意得到，分和，兩種情況討論，列出不等式組，即可求解.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，集合，可得或，
因為，所以.
【小問2詳解】
解：若“”是“”的充分不必要條件，即，
當(dāng)時，即時，此時，滿足，
當(dāng)時，則滿足且不能同時取等號，解得，
即實數(shù)的取值范圍為.
18. 已知，，且．
（1）求證：；
（2）求證：．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得證．
（2）將代入“”中，從而利用基本不等式即可得證．
【小問1詳解】
由，所以．
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以，由此得證．
【小問2詳解】
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以，由此得證．
19. 已知函數(shù).
（1）若是不等式的解集的子集，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由不等式先求出的范圍，再對分類討論，利用集合間的關(guān)系求的取值范圍；
（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，進(jìn)而求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，即，
，（*）
當(dāng)時，（*）式顯然成立；
當(dāng)時，（*）式等價于，
是不等式的解集的子集，
，解得；
當(dāng)時，（*）式等價于，
是不等式的解集的子集，
，解得.
綜上，，
所以實數(shù)的取值范圍為.
（2）當(dāng)時，.
令，
.
存在實數(shù)，使得不等式成立，
，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式能成立的問題，屬于中檔題.
20. 已知對任意實數(shù)恒成立.
（1）求實數(shù)取值所構(gòu)成的集合;
（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)在上的值域為集合，若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）通過討論實數(shù)是否為時，即可通過解不等式求出實數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；
（2）求出集合，即可求出實數(shù)的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意，
對恒成立，
當(dāng)時，原不等式變?yōu)椋项}意;
當(dāng)時，對恒成立的充要條件為
解得：.
綜上可知，實數(shù)的取值所構(gòu)成的集合
【小問2詳解】
由題意，
，
∴，
∵是的充分不必要條件，
∴解得：，
經(jīng)檢驗知滿足題意，
故實數(shù)的取值范圍為：.
21. 小云家后院閑置的一塊空地是扇形，計劃在空地挖一個矩形游泳池，有如下兩個方案可供選擇，經(jīng)測量，，.

（1）在方案1中，設(shè)，，求，滿足的關(guān)系式；
（2）試比較兩種方案，哪一種方案游泳池面積的最大值更大，并求出該最大值.
【答案】（1）（其中，）
（2）選擇第一種方案，此時游泳池面積的最大值為
【解析】
【分析】（1）連接，在中應(yīng)用勾股定理找到關(guān)系式，注意取值范圍；
（2）由（1）及基本不等式求得，結(jié)合三角形面積公式求方案一的最大值；在連接，，設(shè)，，在中應(yīng)用勾股定理得，結(jié)合基本不等式、三角形面積公式求方案二最大值，比較大小即可.
【小問1詳解】
連接，
，，，，
，在中，
，滿足的關(guān)系式為（其中，）；
【小問2詳解】

方案1：設(shè)游泳池的面積為，
由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，
；
方案2：設(shè)游泳池的面積為，取的中點，
連接，，設(shè)，，在中，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
，
而，則，
所以選擇第一種方案，此時游泳池面積的最大值為.
22. （1）已知，求函數(shù)最小值，并求出最小值時x的值；
（2）若實數(shù)a，b，x，y滿足，試比較和的大小，并指明等號成立的條件；
（3）利用（2）的結(jié)論，求的最小值，并求出使得M最小的m的值．
【答案】（1）當(dāng)函數(shù)最小值為
（2），當(dāng)且僅當(dāng)且x，y同號時等號成立
（3）當(dāng)時，M取得最小值．
【解析】
【分析】（1）直接利用關(guān)系式的變換和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．
（2）利用關(guān)系式的變換和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．
（3）利用換元法和關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】（1）∵，∴，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，∴時取“＝”．
所以當(dāng)函數(shù)最小值為．
（2），
則
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)且x，y同號時等號成立，
此時x，y滿足．
（3）令，，構(gòu)造求出，，
因為，
所以，，，
所以，
取等號時，解得，，即，

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