2.理解萬有引力定律，知道其內(nèi)容、公式及適用范圍。 3.掌握計算天體質(zhì)量和密度的方法。
1.
eq \a\vs4\al(2.,,)
1.思考判斷
(1)圍繞同一天體運(yùn)動的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個共同的焦點(diǎn)。(√)
(2)行星在橢圓軌道上運(yùn)行速率是變化的，離太陽越遠(yuǎn)，運(yùn)行速率越大。(×)
(3)只有天體之間才存在萬有引力。(×)
(4)只要知道兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝Geq \f(m1m2,r2)計算物體間的萬有引力。(×)
(5)地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心。(√)
2.火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq \f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq \f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為( )
A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5
答案 B
考點(diǎn)一 開普勒三定律的理解和應(yīng)用
1.行星繞太陽的運(yùn)動通常按圓軌道處理。
2.開普勒行星運(yùn)動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動。
3.開普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同。但該定律只能用在同一中心天體的星體之間。
例1 (多選)如圖1所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動，用R、T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動能、與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積。下列關(guān)系式正確的有( )
圖1
A.TA＞TB B.EkA＞EkB
C.SA＝SB D.eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))
答案 AD
解析 根據(jù)開普勒第三定律知，A、D正確；由eq \f(GMm,R2)＝eq \f(mv2,R)和Ek＝eq \f(1,2)mv2可得Ek＝eq \f(GMm,2R)，因RA＞RB，mA＝mB，則EkA＜EkB，B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律知，同一軌道上的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，與地心連線在單位時間內(nèi)掃過的面積相等，對于衛(wèi)星A、B，SA不等于SB，C錯誤。
跟蹤訓(xùn)練
1.為了探測引力波，“天琴計劃”預(yù)計發(fā)射地球衛(wèi)星P，其軌道半徑約為地球半徑的16倍；另一地球衛(wèi)星Q的軌道半徑約為地球半徑的4倍。P與Q的周期之比約為( )
A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
答案 C
解析 由開普勒第三定律得eq \f(r3,T2)＝k，故eq \f(TP,TQ)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(RP,RQ)))\s\up12(3))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,4)))\s\up12(3))＝eq \f(8,1)，C正確。
考點(diǎn)二 萬有引力定律的理解和應(yīng)用
1.萬有引力與重力的關(guān)系
地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是物體的重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖2所示。(設(shè)地球質(zhì)量為M)
圖2
(1)在赤道上：
Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在兩極上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
(3)在一般位置：萬有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和。越靠近南北兩極g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg。
2.星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度g′：mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)，所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2)。
3.萬有引力的“兩個推論”
推論1：在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。
推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2)。
例2 (2022·全國乙卷，14)2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400 km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課。通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們( )
A.所受地球引力的大小近似為零
B.所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零
C.所受地球引力的大小與其隨飛船運(yùn)動所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運(yùn)動所需向心力的大小
答案 C
解析 航天員在空間站中所受的地球引力完全提供做圓周運(yùn)動的向心力，飛船對其作用力等于零，所受地球引力大小不為零，故A、B錯誤，C正確；根據(jù)F＝Geq \f(Mm,r2)可知，他們在地球表面上所受引力的大小大于在飛船中所受的萬有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其隨飛船運(yùn)動所需向心力的大小，故D錯誤。
例3 (2022·山東卷，6)“羲和號”是我國首顆太陽探測科學(xué)技術(shù)試驗衛(wèi)星。如圖3所示，該衛(wèi)星圍繞地球的運(yùn)動視為勻速圓周運(yùn)動，軌道平面與赤道平面接近垂直。衛(wèi)星每天在相同時刻，沿相同方向經(jīng)過地球表面A點(diǎn)正上方，恰好繞地球運(yùn)行n圈。已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號”衛(wèi)星軌道距地面高度為( )
圖3
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq \s\up6(\f(1,3))－R B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq \s\up6(\f(1,3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq \s\up6(\f(1,3))－R D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq \s\up6(\f(1,3))
答案 C
解析 地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓第二定律有eq \f(GMm,R2)＝mg，
可得GM＝gR2
根據(jù)題意可知，衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T′＝eq \f(T,n)
根據(jù)牛頓第二定律，萬有引力提供衛(wèi)星運(yùn)動的向心力，
則有eq \f(GMm′,（R＋h）2)＝m′eq \f(4π2,T′2)(R＋h)
聯(lián)立以上式子解得h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4n2π2))－R
故C正確。
跟蹤訓(xùn)練
2.某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為( )
A.eq \f(4π2,g1T2) B.eq \f(4π2,g2T2)
C.eq \f(（g2－g1）T2,4π2) D.eq \f(（g1＋g2）T2,4π2)
答案 C
解析 在“極點(diǎn)”處mg2＝eq \f(GMm,R2)；在其表面“赤道”處eq \f(GMm,R2)－mg1＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R，解得R＝eq \f(（g2－g1）T2,4π2)，故C正確。
考點(diǎn)三 天體質(zhì)量和密度的計算
天體質(zhì)量和密度的計算方法
角度 重力加速度法
例4 宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R。求：(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；
(2)月球的質(zhì)量M；
(3)月球的密度ρ。
答案 (1)eq \f(2h,t2) (2)eq \f(2hR2,Gt2) (3)eq \f(3h,2πRGt2)
解析 (1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動，
有h＝eq \f(1,2)g月t2
月球表面的自由落體加速度大小g月＝eq \f(2h,t2)。
(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有Geq \f(Mm,R2)＝mg月
得月球的質(zhì)量M＝eq \f(2hR2,Gt2)。
(3)月球的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(2hR2,Gt2),\f(4π,3)R3)＝eq \f(3h,2πRGt2)。
角度 環(huán)繞法
例5 (2021·廣東卷)2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站天和核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行。若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是( )
A.核心艙的質(zhì)量和繞地半徑
B.核心艙的質(zhì)量和繞地周期
C.核心艙的繞地角速度和繞地周期
D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑
答案 D
解析 根據(jù)萬有引力提供核心艙繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心力得eq \f(Gm地m,r2)＝meq \f(v2,r)，解得m地＝eq \f(v2r,G)，D正確；由于核心艙的質(zhì)量在運(yùn)算中被約掉，故無法通過核心艙的質(zhì)量求解地球質(zhì)量，A、B錯誤；已知核心艙的繞地角速度，由eq \f(Gm地m,r2)＝mω2r得m地＝eq \f(ω2r3,G)，且ω＝eq \f(2π,T)，r約不掉，故還需要知道核心艙的繞地半徑，才能求得地球質(zhì)量，C錯誤。
跟蹤訓(xùn)練
3.(多選)已知引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑R，地球上一個晝夜的時間T1(地球自轉(zhuǎn)周期)，一年的時間T2(地球公轉(zhuǎn)周期)，地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽中心的距離L2。你能計算出( )
A.地球的質(zhì)量m地＝eq \f(gR2,G)
B.太陽的質(zhì)量m太＝eq \f(4π2Leq \\al(3,2),GTeq \\al(2,2))
C.月球的質(zhì)量m月＝eq \f(4π2Leq \\al(3,1),GTeq \\al(2,1))
D.太陽的平均密度ρ＝eq \f(3π,GTeq \\al(2,2))
答案 AB
解析 設(shè)地球表面的一個物體的質(zhì)量為m0，有m0g＝eq \f(Gm地m0,R2)，所以地球質(zhì)量m地＝eq \f(gR2,G)，故A正確；地球繞太陽運(yùn)動，有eq \f(Gm太m地,Leq \\al(2,2))＝m地eq \f(4π2L2,Teq \\al(2,2))，則m太＝eq \f(4π2Leq \\al(3,2),GTeq \\al(2,2))，故B正確；月球繞地球運(yùn)動，能求出地球的質(zhì)量，無法求出月球的質(zhì)量，故C錯誤；由于不知道太陽的半徑，不能求出太陽的平均密度，故D錯誤。
4.(多選)(2023·山東臨沂模擬)中國新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實來自火星。某同學(xué)想根據(jù)平時收集的部分火星資料計算出火星的密度，再與這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計算火星密度的公式正確的是(引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響)( )
A.ρ＝eq \f(3g0,2πGd) B.ρ＝eq \f(g0T2,3πd)
C.ρ＝eq \f(3π,GT2) D.ρ＝eq \f(6M,πd3)
答案 ACD
解析 設(shè)近火衛(wèi)星的質(zhì)量為m，火星的質(zhì)量為M，對近火衛(wèi)星，火星的萬有引力提供其做勻速圓周運(yùn)動的向心力，則有eq \f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))\s\up12(2))＝eq \f(m4π2,T2)·eq \f(d,2)，可得M＝eq \f(π2d3,2GT2)，可得火星的密度為ρ＝eq \f(M,\f(4,3)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))\s\up12(3))＝eq \f(6M,πd3)，將M＝eq \f(π2d3,2GT2)代入上式可得ρ＝eq \f(3π,GT2)；又火星對近火衛(wèi)星的萬有引力近似等于近火衛(wèi)星的重力，則有mg0＝Geq \f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))\s\up12(2))，解得M＝eq \f(g0d2,4G)，因此火星的密度為ρ＝eq \f(M,\f(4,3)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(d,2)))\s\up12(3))＝eq \f(\f(g0d2,4G),\f(1,6)πd3)＝eq \f(3g0,2πGd)，A、C、D正確，B錯誤。
A級 基礎(chǔ)對點(diǎn)練
對點(diǎn)練1 開普勒三定律的理解和應(yīng)用
1.(2023·福建廈門模擬)1970年4月24日，中國第1顆人造地球衛(wèi)星東方紅一號發(fā)射成功，拉開了中國人探索宇宙奧秘，和平利用太空、造福人類的序幕，因此4月24日定為“中國航天日”。52年過去了，東方紅一號仍然在太空飛行，運(yùn)行在近地點(diǎn)441千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)2 286千米的橢圓軌道上，衛(wèi)星質(zhì)量173千克，運(yùn)行周期114分鐘。則( )
圖1
A.東方紅一號在近地點(diǎn)的運(yùn)行速率比遠(yuǎn)地點(diǎn)小
B.東方紅一號在近地點(diǎn)受到地球的萬有引力比遠(yuǎn)地點(diǎn)小
C.地球位于東方紅一號橢圓軌道的一個焦點(diǎn)上
D.東方紅一號的運(yùn)行周期大于同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期
答案 C
解析 根據(jù)開普勒第二定律知東方紅一號與地球的連線在相等時間內(nèi)掃過的面積相等，則東方紅一號衛(wèi)星在近地點(diǎn)的運(yùn)行速率大于在遠(yuǎn)地點(diǎn)的運(yùn)行速率，A錯誤；根據(jù)F＝Geq \f(Mm,r2)，因為近地點(diǎn)到地心的距離小于遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離，則東方紅一號在近地點(diǎn)受到地球的萬有引力比遠(yuǎn)地點(diǎn)大，B錯誤；東方紅一號繞地球在橢圓軌道上運(yùn)動，則地球位于東方紅一號橢圓軌道的一個焦點(diǎn)上，C正確；根據(jù)開普勒第三定律，東方紅一號軌道的半長軸小于同步衛(wèi)星軌道的半徑，則東方紅一號的運(yùn)行周期小于同步衛(wèi)星的運(yùn)行周期，D錯誤。
2.(多選)如圖2所示，海王星繞太陽沿橢圓軌道運(yùn)動，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為T0，若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過M、Q到N的運(yùn)動過程中( )
圖2
A.從P到M所用的時間等于eq \f(T0,4)
B.從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大
C.從P到Q階段，速率逐漸變小
D.從M到N階段，萬有引力對它先做負(fù)功后做正功
答案 CD
解析 由行星運(yùn)動的對稱性可知，從P經(jīng)M到Q點(diǎn)的時間為eq \f(1,2)T0，根據(jù)開普勒第二定律可知，從P到M運(yùn)動的速率大于從M到Q運(yùn)動的速率，可知從P到M所用的時間小于eq \f(1,4)T0，選項A錯誤；海王星在運(yùn)動過程中只受太陽的引力作用，故機(jī)械能守恒，選項B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，從P到Q階段，速率逐漸變小，選項C正確；海王星受到的萬有引力指向太陽，從M到N階段，萬有引力對它先做負(fù)功后做正功，選項D正確。
3.(2021·全國甲卷，18)2021年2月，執(zhí)行我國火星探測任務(wù)的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進(jìn)入運(yùn)行周期約為1.8×105 s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105 m。已知火星半徑約為3.4×106 m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7 m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠(yuǎn)距離約為( )
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
答案 C
解析 在火星表面附近，對于繞火星做勻速圓周運(yùn)動的物體，有mg火＝meq \f(4π2,Teq \\al(2,1))R火，得Teq \\al(2,1)＝eq \f(4π2R火,g火)，根據(jù)開普勒第三定律，有eq \f(Req \\al(3,火),Teq \\al(2,1))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l近＋2R火＋l遠(yuǎn),2)))\s\up12(3),Teq \\al(2,2))，代入數(shù)據(jù)解得
l遠(yuǎn)≈6×107 m，C正確。
對點(diǎn)練2 萬有引力定律的理解和應(yīng)用
4.(2021·山東卷，5)從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業(yè)實現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越。已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經(jīng)歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為( )
圖3
A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1
答案 B
解析 懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小等于它們所受的萬有引力，則eq \f(F祝融,F玉兔)＝eq \f(\f(Gm火m祝融,Req \\al(2,火)),\f(Gm月m玉兔,Req \\al(2,月)))＝eq \f(m火,m月)·eq \f(m祝融,m玉兔)·eq \f(Req \\al(2,月),Req \\al(2,火))＝9×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(9,2)，故B正確。
5.(2023·河南聯(lián)考)假設(shè)將來的某一天，宇航員駕駛宇宙飛船，登陸某一行星，該行星是質(zhì)量分布均勻的球體。通過測量發(fā)現(xiàn)，某一物體在該行星兩極處的重力為G0，在該行星赤道處的重力為0.75G0，則此物體在該行星緯度為30°處隨行星自轉(zhuǎn)的向心力為( )
A.eq \f(\r(3),12)G0 B.eq \f(1,12)G0 C.eq \f(\r(3),8)G0 D.eq \f(1,8)G0
答案 C
解析 由萬有引力定律和重力的定義可知，在兩極處有Geq \f(Mm,R2)＝G0，在赤道上有Geq \f(Mm,R2)－mω2R＝0.75G0，由向心力的公式可知緯度為30°處物體隨行星自轉(zhuǎn)的向心力為F＝mω2Rcs 30°，聯(lián)立解得F＝eq \f(\r(3),8)G0，故C正確。
6.假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為( )
A.1－eq \f(d,R) B.1＋eq \f(d,R)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))eq \s\up12(2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))eq \s\up12(2)
答案 A
解析 如圖所示，根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對處于礦井底部的物體引力為零。設(shè)地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重力近似等于萬有引力，故mg＝Geq \f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，故g＝eq \f(4,3)πρGR；設(shè)礦井底部的重力加速度為g′，圖中陰影部分所示球體的半徑r＝R－d，則g′＝
eq \f(4,3)πρG(R－d)，聯(lián)立解得eq \f(g′,g)＝1－eq \f(d,R)，A正確。
對點(diǎn)練3 天體質(zhì)量和密度的計算
7.中國空間站可供多名航天員巡訪、長期工作和生活。如圖4所示，空間站的軌道可視為近地圓軌道，已知引力常量為G，下列說法正確的是( )
圖4
A.在空間站工作的航天員因受力平衡而處于懸浮狀態(tài)
B.若已知空間站的運(yùn)行周期，可以求得航天員繞地球做圓周運(yùn)動的動能
C.若已知空間站的運(yùn)行周期，可以求得地球的密度
D.若已知空間站的運(yùn)行周期，可以求得地球的質(zhì)量
答案 C
解析 在空間站工作的航天員隨空間站一起圍繞地球做圓周運(yùn)動，所受合力提供向心力，受力不平衡，A錯誤；由于不知道航天員的質(zhì)量，故無法求出航天員繞地球做圓周運(yùn)動的動能，B錯誤；設(shè)地球半徑為R，空間站圍繞地球做圓周運(yùn)動，由萬有引力提供向心力得Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(4π2R,T2)，則地球質(zhì)量M＝eq \f(4π2R3,GT2)，地球密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，C正確；根據(jù)M＝eq \f(4π2R3,GT2)知，要求得地球質(zhì)量，還需知道地球的半徑，D錯誤。
8.(2023·貴州模擬)若空間站天和核心艙和地球同步衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動均可以看成勻速圓周運(yùn)動，分別把它們的周期、軌道半徑取常用對數(shù)后，在lg T－lg r圖像中將這兩點(diǎn)用直線連接，如圖5所示。a、b為已知量，引力常量為G，則地球的質(zhì)量為( )
圖5
A.eq \f(2π2,G)×102b B.eq \f(2π2,G)×10b
C.eq \f(4π2,G)×102b D.eq \f(4π2,G)×10b
答案 C
解析 設(shè)地球質(zhì)量為M，根據(jù)牛頓第二定律得，萬有引力提供向心力Geq \f(Mm,r2)＝
meq \f(4π2,T2)r，解得T2＝eq \f(4π2,GM)r3，兩邊取對數(shù)并整理得lg T＝eq \f(3,2)lg r－eq \f(1,2)lgeq \f(GM,4π2)，結(jié)合圖像有
eq \f(1,2)lgeq \f(GM,4π2)＝b，解得M＝eq \f(4π2,G)×102b，故C正確。
9.(2021·全國乙卷，18)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖6所示?？茖W(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為( )
圖6
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
答案 B
解析 由萬有引力提供向心力有eq \f(Gm中m,R2)＝meq \f(4π2,T2)R，整理得eq \f(R3,T2)＝eq \f(Gm中,4π2)，可知eq \f(R3,T2)只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，則eq \f(M黑洞,M)＝eq \f(\f(Req \\al(3,S2),Teq \\al(2,S2)),\f(Req \\al(3,地),Teq \\al(2,地)))，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運(yùn)動的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正確。
B級 綜合提升練
10.中國空間站天和核心艙繞地球飛行的軌道可視為圓軌道，測得空間站與地球中心連線在t0(小于空間站做勻速圓周運(yùn)動的周期)時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ，掃過的面積為S，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，引力常量為G，則地球的質(zhì)量為( )
A.eq \f(S\r(2Sθ),Gteq \\al(2,0)) B.eq \f(2S\r(2Sθ),Gt0)
C.eq \f(S\r(2Sθ),Gt0) D.eq \f(2S\r(2Sθ),Gteq \\al(2,0))
答案 D
解析 設(shè)空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動的半徑為r，則空間站與地球中心連線在t0時間內(nèi)掃過的面積為S＝eq \f(θ,2π)×πr2＝eq \f(θr2,2)，解得r＝eq \r(\f(2S,θ))，空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動的角速度ω＝eq \f(θ,t0)，由萬有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝mrω2，聯(lián)立解得M＝eq \f(2S\r(2Sθ),Gteq \\al(2,0))，D正確。
11.2021年12月9日，“太空教師”王亞平在我國天宮空間站進(jìn)行了太空授課，神舟十三號乘組航天員翟志剛、葉光富參與，讓廣大青少年領(lǐng)悟到了太空探索的趣味。已知空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，下列說法正確的是( )
圖7
A.王亞平可以像在地面上那樣，用天平直接測出待測物體質(zhì)量m
B.翟志剛在空間站內(nèi)不能用拉力器鍛煉肌肉力量
C.根據(jù)題中已知物理量可求得地球質(zhì)量
D.空間站距離地球表面的距離為eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R
答案 D
解析 空間站處于完全失重狀態(tài)，所以無法用天平測出質(zhì)量，故A錯誤；拉力器原理是彈簧發(fā)生形變而產(chǎn)生拉力，所以可以在太空中使用拉力器鍛煉，故B錯誤；設(shè)地球質(zhì)量為M，對于地球上質(zhì)量為m的物體，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，得M＝eq \f(gR2,G)，但是G未知，所以不能求出地球質(zhì)量M，根據(jù)空間站做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，有eq \f(GMm,（R＋h）2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)(R＋h)，得M＝eq \f(4π2（R＋h）,GT2)3，但是G和h未知，所以不能求出地球質(zhì)量M，兩種方法都不能求出地球質(zhì)量，所以根據(jù)題中已知物理量不可求得地球質(zhì)量，故C錯誤；地球質(zhì)量為M，對于地球上質(zhì)量為m物體，有Geq \f(Mm,R2)＝mg，根據(jù)空間站做勻速圓周運(yùn)動，有eq \f(GMm,（R＋h）2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)(R＋h)，兩式聯(lián)立得，h＝eq \r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，故D正確。
12.2022年5月10日01時56分，搭載天舟四號貨運(yùn)飛船的長征七號遙五運(yùn)載火箭，在中國文昌航天發(fā)射場點(diǎn)火發(fā)射，發(fā)射取得圓滿成功。已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，忽略地球自轉(zhuǎn)，地球表面的重力加速度為g。
(1)火箭在豎直方向上以加速度a加速上升時，若在貨運(yùn)飛船的平臺上放置一壓力傳感器，壓力傳感器上放置一質(zhì)量為m的砝碼，某時刻測得壓力傳感器讀數(shù)為F，引力常量為G，求此時火箭上升的高度；
(2)若測得天舟四號貨運(yùn)飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)過eq \f(1,4)圓周所用時間為t，飛船距地面的高度為h，引力常量為G，求飛船運(yùn)行的向心加速度大小和地球的平均密度。
答案 (1)Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(mg,F－ma))－1)) (2)eq \f(π2（R＋h）,4t2) eq \f(3π（R＋h）3,16Gt2R3)
解析 (1)設(shè)壓力傳感器讀數(shù)為F時火箭上升的高度為H，則此時砝碼所受的萬有引力大小為
F引＝Geq \f(Mm,（R＋H）2)
由牛頓第三定律可知，壓力傳感器對砝碼的支持力大小為F′＝F
對砝碼，由牛頓第二定律得F′－F引＝ma
又對在地球表面上的物體有Geq \f(Mm′,R2)＝m′g
聯(lián)立解得H＝Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(mg,F－ma))－1))。
(2)飛船運(yùn)行的周期為T＝4t
角速度為ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,2t)
飛船運(yùn)行的向心加速度大小為
an＝(R＋h)ω2＝eq \f(π2（R＋h）,4t2)
設(shè)飛船整體的質(zhì)量為m0，根據(jù)天舟四號貨運(yùn)飛船所受萬有引力提供向心力有
eq \f(GMm0,（R＋h）2)＝m0(R＋h)eq \f(4π2,T2)
地球的平均密度ρ＝eq \f(M,V)，其中V＝eq \f(4,3)πR3
聯(lián)立解得ρ＝eq \f(3π（R＋h）3,16Gt2R3)。類型
方法
已知量
利用公式
表達(dá)式
備注
質(zhì)
量
的
計
算
利用運(yùn)
行天體
r、T
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天體的質(zhì)量
r、v
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(v2,r)
m中＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(v2,r)，Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝eq \f(v3T,2πG)
利用天體表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(Gm中m,R2)
m中＝eq \f(gR2,G)
—
密
度
的
計
算
利用運(yùn)行天體
r、T、R
Geq \f(m中m,r2)＝meq \f(4π2,T2)r
m中＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
當(dāng)r＝R時，ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地衛(wèi)星只需測出其運(yùn)行周期
利用天體表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(Gm中m,R2)，m中＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
—
火星的小檔案
直徑d＝6 794 km
質(zhì)量M＝6.421 9×1023 kg
表面重力加速度g0＝3.7 m/s2
近火衛(wèi)星周期T＝3.4 h

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