本單元在比和比例，以及常見數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上編排。通過兩個(gè)數(shù)量保持商一定或者積一定的變化，教學(xué)正比例和反比例關(guān)系。讓學(xué)生在建立正比例和反比例概念的同時(shí)，受到函數(shù)思想的熏陶，為第三學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)打基礎(chǔ)。 正比例和反比例歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。與過去教材相比，本單元進(jìn)一步加強(qiáng)正、反比例的概念教學(xué)，突出正比例關(guān)系的圖像以及簡(jiǎn)單應(yīng)用，淡化脫離現(xiàn)實(shí)背景的判斷，加強(qiáng)正、反比例知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，不要求應(yīng)用正比例、反比例解決實(shí)際問題。全單元編排三道例題，具體安排見下表：
例1 正比例的意義；例2 正比例關(guān)系的圖像及應(yīng)用；例3 反比例的意義。
教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與能力目標(biāo)】
讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例中認(rèn)識(shí)成正比例量的過程，初步理解正比例的意義及字母表達(dá)式，學(xué)會(huì)根據(jù)正比例的意義來判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是不是成正比例。
使學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)正比例關(guān)系描點(diǎn)畫圖的過程，初步認(rèn)識(shí)正比例關(guān)系的圖像是一條直線，初步理解圖像上的點(diǎn)表示的實(shí)際意義，并能借助圖像進(jìn)行數(shù)據(jù)的估計(jì).
3、使學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例認(rèn)識(shí)成反比例的量，理解反比例的意義，能依據(jù)反比例的意義判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是不是成反比例，并能說明理由。
【過程與方法目標(biāo)】
1、讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)成正比例的量的過程中，初步體會(huì)數(shù)量之間相依互變的關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察能力和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力。
使學(xué)生通過根據(jù)數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖和對(duì)圖像的觀察等活動(dòng)，加深對(duì)正比例關(guān)系中數(shù)值變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)，感受函數(shù)思想，體會(huì)數(shù)形結(jié)合，發(fā)展形象思維。
進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、綜合和概括等能力，讓學(xué)生掌握判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量成不成反比例的方法，培養(yǎng)學(xué)生判斷、推理的能力。
【情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)】
讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)從現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象中探索數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律的意識(shí)。
使學(xué)生了解日常生活里存在的正比例關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的眼光和方法觀察，分析現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)。
教學(xué)重難點(diǎn)
【教學(xué)重點(diǎn)】
讓學(xué)生通過對(duì)數(shù)據(jù)的觀察分析，認(rèn)識(shí)成正比例量的特點(diǎn)，并會(huì)判斷兩種量是否成正比例。
在方格紙上畫直線表示正比例關(guān)系。
認(rèn)識(shí)和理解反比例的意義。
【教學(xué)難點(diǎn)】
判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例。
了解正比例關(guān)系圖像上的點(diǎn)表示的實(shí)際意義，看圖估計(jì)數(shù)值。
課前準(zhǔn)備
發(fā)現(xiàn)和理解成反比例的量的變化規(guī)律。
課件。
正比例的意義
教學(xué)過程
【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】
你能說出下列每組數(shù)量之間的關(guān)系嗎？
?速度、時(shí)間、路程；
?單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)；
這節(jié)課我們用一種變化的觀點(diǎn)，更深入地研究數(shù)量之間的關(guān)系，通過數(shù)量的變化發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。
【探究新知】
第一層次：教學(xué)例1
出示例1，讓學(xué)生觀察表里內(nèi)容的數(shù)據(jù)。
表中列出了哪兩種量？觀察表中的數(shù)據(jù)，哪一種量的變化引起了另一種量的變化？你是怎樣看出來的？
表1一輛汽車在公路上行駛，行駛的時(shí)間和路程如下表
指出行駛的時(shí)間變化，路程也隨著變化，我們就說路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量。
為什么說路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量？
我們已經(jīng)知道路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，接著進(jìn)一步觀察、研究、這兩種量是怎樣變化的，變化中有什么規(guī)律。大家觀察，比較表里的數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)量變化你有什么發(fā)現(xiàn)？和你的同桌說一說。
你對(duì)表里的時(shí)間和路程的變化有什么發(fā)現(xiàn)嗎？
結(jié)合學(xué)生交流梳理：
行駛的時(shí)間越長(zhǎng)，行駛路程也越長(zhǎng)，行駛時(shí)間短，行駛的路程也短。
時(shí)間擴(kuò)大到原來的幾倍，路程也隨著擴(kuò)大到原來的幾倍。
時(shí)間縮小到原來的幾分之幾，路程也隨著縮小到原來的幾分之幾。
用路程÷速度，看出每小時(shí)的速度沒有變化。
引導(dǎo)寫出幾組對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的比，并求出比值，看看能發(fā)現(xiàn)什么。交流所寫的比，并板書：=80 =80 =80 =80
這個(gè)比值80表示什么？
根據(jù)上面的數(shù)據(jù)和寫出的比，你能發(fā)現(xiàn)這題中時(shí)間，路程和速度之間的規(guī)律嗎？
你能用一個(gè)數(shù)量關(guān)系式表示這樣的規(guī)律嗎？=速度（一定）。
通過觀察和計(jì)算，我們對(duì)路程和時(shí)間的關(guān)系有兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，第一，路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間變化，路程也隨著變化；第二，路程和對(duì)應(yīng)的時(shí)間的比值總是一定的，具備了這兩個(gè)條件，我們就說：行駛的路程和時(shí)間成正比例關(guān)系，行駛的路程和時(shí)間是成正比例的量。
學(xué)生默讀課本第56頁的最后一節(jié)，要求聯(lián)系上面數(shù)據(jù)的變化理解它的含義。
你讀懂了嗎？在例1中，哪兩個(gè)量成正比例關(guān)系？為什么路程和時(shí)間成正比例關(guān)系？
15、完成試一試。
（1）、出示試一試，學(xué)生自由讀題。
（2）、要求學(xué)生根據(jù)已知條件把表格填寫完整，
（3）、學(xué)生根據(jù)表中數(shù)據(jù)，先嘗試獨(dú)立完成表格下面的問題，然后和同桌交流。
（4）、總價(jià)隨著數(shù)量的變化而變化，=單價(jià)（一定），總價(jià)和數(shù)量成正比例。
16、你能根據(jù)上面數(shù)量的關(guān)系和變化特點(diǎn)，說一說鉛筆的總價(jià)和數(shù)量為什么成正比例關(guān)系嗎？
17、仔細(xì)觀察例1和“試一試”，這兩題數(shù)量之間的聯(lián)系有什么相同的特點(diǎn)？
18、這兩個(gè)問題的都有相關(guān)聯(lián)的量，一種量隨著另一種量的變化而變化，兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值總是一定的；所以兩種量都成正比例。
19、如果用字母X\Y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用K表示它們的比值，正比例關(guān)系可以用怎樣的式子表示呢？=K（一定）
20、指出：這是正比例關(guān)系的表達(dá)式，對(duì)這個(gè)式子可以這樣理解，Y和X表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，y和x的比值k一定，我們就說y和x成正比例。
21、舉例說說生活中哪些量成正比例？
【鞏固新知】
1、做練一練的第1題
（1）學(xué)生按題目要求嘗試獨(dú)立完成。
（2）全班交流，重點(diǎn)說說判斷的思考過程。
2、完成判斷、讓學(xué)生獨(dú)立判斷，并說明理由。
3、做練習(xí)十的第1、2題第一題獨(dú)立完成后說說判斷的理由，第二題按下列步驟進(jìn)行
（1）說一說：圖中的正方形按怎樣的比放大，放大后的正方形邊長(zhǎng)各是幾厘米
（2）畫一畫。
（3）算一算：算出每個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積，填在表中。
（4）議一議：周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)、面積和邊長(zhǎng)是否成正比例。
小結(jié)：成正比例關(guān)系，必須是兩種相關(guān)聯(lián)的量，但兩種相關(guān)聯(lián)的量不一定成正比例關(guān)系，只有當(dāng)兩種相關(guān)聯(lián)的量的比值一定時(shí)，才能成正比例。
【課堂總結(jié)】
這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？你有哪些收獲？還有哪些疑問？
教學(xué)反思
略。
正比例圖像
教學(xué)過程
【復(fù)習(xí)引入】
1、判斷下面兩種量能否成正比例，并說明理由。
(1)、數(shù)量一定，總價(jià)和單價(jià)
（2）、和一定，一個(gè)加數(shù)和另一個(gè)加數(shù)
（3）、比值一定，比的前項(xiàng)和后項(xiàng)
2、折線統(tǒng)計(jì)圖具有什么特點(diǎn)？能否把成正比例的兩種量之間的關(guān)系在折線統(tǒng)計(jì)圖里表示出來呢？如果能，那又會(huì)是什么樣子的呢？今天我們就來探究這些問題。
【教學(xué)例題】
出示教材第58頁例2的方格圖，表中的橫軸表示什么？縱軸表示什么？每格表示多少千米？
2、讓學(xué)生在圖中找一找“1小時(shí)行80千米”的這個(gè)點(diǎn)，并請(qǐng)學(xué)生上黑板指一指。
3、在方格圖上，橫軸表示汽車行駛的時(shí)間，縱軸表示行駛的路程。汽車1小時(shí)行駛80千米就可以用方格中的一個(gè)點(diǎn)表示：先在橫軸上找到表示1小時(shí)的點(diǎn)，再在縱軸上找到8千米的點(diǎn)，這樣沿方格線就能找到兩個(gè)數(shù)量相交的點(diǎn)，（示范描出點(diǎn)）可以把它表示為點(diǎn)A，點(diǎn)A就表示1小時(shí)行駛80千米。
4、讓學(xué)生在方格紙中找一找代表其它幾組數(shù)據(jù)的點(diǎn)，并指名板演。
5、如果用B點(diǎn)表示5小時(shí)行駛400千米，你能在圖中找出來嗎？其他點(diǎn)你能說說表示的意義嗎？
6、當(dāng)汽車還沒有啟動(dòng)的時(shí)候，也就是汽車行駛時(shí)間為0時(shí)，汽車行駛的路程是多少呢？那么圖中哪個(gè)點(diǎn)可以表示這種狀態(tài)呢？（描出作業(yè)原點(diǎn)）
7、讓學(xué)生連接圖中各點(diǎn)，說說有什么發(fā)現(xiàn)。
8、根據(jù)學(xué)生的回答小結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)圖中所描的點(diǎn)都在同一條直線上。這條直線就是正比例的圖像。從直線上的每個(gè)點(diǎn)中，我們既能知道汽車行駛的時(shí)間，又能知道行駛的路程。這兩個(gè)量緊密聯(lián)系，對(duì)應(yīng)的時(shí)間和路程用同一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)不同，時(shí)間和路程也都發(fā)生變化，但是它們的比值卻是不變的，所以我們就說它是正比例圖像。
9、根據(jù)圖像判斷，這輛汽車2.5小時(shí)行駛多少千米？你是怎樣找的？
10、小組討論交流方法。
11、學(xué)生匯報(bào)，教師小結(jié)：數(shù)字在2和3的正中間這個(gè)位置同學(xué)們首先要看準(zhǔn)，從這點(diǎn)作橫軸的垂線，看這條線與圖像交于哪一點(diǎn)，再由這一點(diǎn)向縱軸畫垂線，看一看這條垂線與縱軸的交點(diǎn)。這點(diǎn)表示的千米數(shù)就是汽車2.5小時(shí)行駛的路程。
12、學(xué)生動(dòng)手畫一畫，找一找。
13、行駛440千米需要多少小時(shí)？學(xué)生獨(dú)立完成，匯報(bào)交流。
14、小結(jié)：我們?cè)诟鶕?jù)圖像判斷時(shí)，必須找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，通過畫縱軸或者橫軸的垂線的方法找準(zhǔn)點(diǎn)，讀準(zhǔn)數(shù)。
15、同學(xué)們回顧一下，這條直線表示的圖像是怎樣畫成的，現(xiàn)在你能在圖像上任意找出一點(diǎn)，說出它表示的一組數(shù)值的意義嗎？先同桌互相找一找，說一說。
16、集體交流，讓學(xué)生說說在圖像上所找的點(diǎn)及其表示的意義。
17、從找出的這些點(diǎn)所表示的兩種量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，可以看出這個(gè)圖像表示了路程和時(shí)間的什么關(guān)系？為什么？
18、這條直線是根據(jù)正比例關(guān)系的兩種量的對(duì)應(yīng)數(shù)值，描點(diǎn)連線畫成的圖像，反過來看圖像上的點(diǎn)表示的實(shí)際意義，可以看出它表示的時(shí)間和路程這兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量隨著另一種量變化而變化，而且對(duì)應(yīng)數(shù)值的比的比值一定。因此它表示的兩種量的正比例關(guān)系是正比例的圖像。
【鞏固練習(xí)】
1、完成練一練，小玲打字的個(gè)數(shù)和所用的時(shí)間成正比例嗎？為什么？根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，描出打字?jǐn)?shù)量和時(shí)間所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再把它們按順序連起來。估計(jì)小玲5分鐘打了多少個(gè)字？打750個(gè)字要多少分鐘？
2、練習(xí)十第3題 ，讓學(xué)生從圖像上選取幾個(gè)點(diǎn)，根據(jù)這些點(diǎn)所表示的路程和時(shí)間的對(duì)應(yīng)數(shù)值，分別寫出比并求出比值，再作判斷。
3、練習(xí)十第4題，先獨(dú)立填表，再根據(jù)表中的數(shù)據(jù)描出長(zhǎng)度和總價(jià)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，把它們按順序連起來。再組織討論和交流
4、練習(xí)十第5題出示表格讓學(xué)生說說題中表示的是哪兩種量之間的關(guān)系，接著學(xué)生獨(dú)立繪制表格，并解決問題。
【課堂小結(jié)】
引導(dǎo)總結(jié)：正比例的圖像是一條直線，在判斷兩個(gè)量是否成正比例關(guān)系時(shí)也可以通過圖像來判斷。根據(jù)圖像判斷數(shù)量時(shí)可以作對(duì)應(yīng)點(diǎn)的垂線，以減少誤差，讓估計(jì)更準(zhǔn)確。
教學(xué)反思
略。
反比例的意義
教學(xué)過程
【復(fù)習(xí)導(dǎo)入】
1、怎樣判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例？用字母怎樣表示正比例關(guān)系？
2、判斷下面兩種量是否成正比例？為什么？
（1）時(shí)間一定，行駛的路程和速度；
（2）除數(shù)一定，被除數(shù)和商；
3、單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間有怎樣的關(guān)系？在什么條件下，兩種量成正比例？
4、如果總價(jià)一定，單價(jià)和數(shù)量的變化有什么規(guī)律？這兩種量又存在什么關(guān)系？今天，我們就來研究和認(rèn)識(shí)這種變化規(guī)律。
【探究新知】
1、課件出示教材第61頁例3。
2、從“用60元購買筆記本”這句話中，你懂得了什么？
3、引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)：60元是這批筆記本的總價(jià)，筆記本的數(shù)量和單價(jià)發(fā)生變化，但是筆記本的總價(jià)是固定的，始終是60元。
4、觀察這張表格中的兩個(gè)數(shù)量，它們成正比例嗎？為什么？
小組討論：
①表中列出的是哪兩種相關(guān)聯(lián)的量？它們分別是怎樣變化的？
②你能找出它們變化的規(guī)律嗎？
③猜一猜，這兩種量成什么關(guān)系？
引導(dǎo)總結(jié)：表中有兩種量，購買筆記本的數(shù)量隨著單價(jià)的變化而變化，筆記本的單價(jià)越低，購買的本數(shù)越多；單價(jià)越高購買的本數(shù)越少。購買筆記本的數(shù)量和單價(jià)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，單價(jià)變化，數(shù)量也隨著變化。當(dāng)單價(jià)和對(duì)應(yīng)數(shù)量的積總是一定，也就是總價(jià)一定時(shí)。
你能用一個(gè)式子表示出單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的關(guān)系嗎？
根據(jù)學(xué)生回答板書：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)（一定）
單價(jià)和數(shù)量的變化有著怎樣的聯(lián)系呢？請(qǐng)大家自學(xué)課本第61頁“試一試”上面的一段內(nèi)容。
這兩種量成什么關(guān)系，為什么？
小結(jié)：?jiǎn)蝺r(jià)和數(shù)量也是兩種相關(guān)聯(lián)的量，數(shù)量隨著單價(jià)的變化而變化，但單價(jià)和數(shù)量的積是一定的。這時(shí)我們就說，筆記本的單價(jià)和購買的數(shù)量成反比例關(guān)系，這兩種量就是成反比例的量。
11、出示第61頁“試一試”。按下面的步驟組織學(xué)生學(xué)習(xí)：
（1）要求學(xué)生根據(jù)表中的已知條件先把表格填寫完整。
（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，依次討論表格下面的三個(gè)問題，并仿照例3作適當(dāng)?shù)陌鍟?br>（3）讓學(xué)生根據(jù)板書完整地說一說工作效率和工作時(shí)間成什么關(guān)系。
學(xué)生自主完成，集體交流。
比較例3和“試一試”這兩題中兩種量之間的關(guān)系有什么共同的地方？先和同桌討論。
學(xué)生匯報(bào)，明確：兩題中的兩個(gè)量都是相關(guān)聯(lián)的量，一種量隨著另一種量的變化而變化，并且兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積是一定的。
仿照正比例，想想反比例怎樣用字母表示它們之間的關(guān)系。如果用字母x和y分別表示兩種相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積，反比例關(guān)系可以用怎樣的式子來表示？
根據(jù)學(xué)生的回答，板書：x×y =k（一定）揭示板書課題。
追問：這個(gè)字母表達(dá)式表示什么意思？可以根據(jù)什么判斷兩種量是否成反比例呢？
判斷兩種量是否成反比例，一是看相關(guān)聯(lián)的兩種量，是否一種量變化，另一種量也隨著變化；二是看兩種量中對(duì)應(yīng)數(shù)值的積是否一定。這就是我們今天學(xué)習(xí)的反比例的意義。
生活中還有哪些成反比例的量，你能舉例說一說嗎？
指名學(xué)生舉例，并組織學(xué)生進(jìn)行判斷。
【鞏固練習(xí)】
1完成第62頁“練一練”第1題。學(xué)生讀題，理解題意。
提問：每袋糖果的粒數(shù)和裝的袋數(shù)成反比例嗎？為什么？
完成之后隨機(jī)小結(jié)：判斷兩種量是否成反比例要看這兩種量是否是相關(guān)聯(lián)的量，再看乘積是否一定，兩者缺一不可
2、完成第62頁“練一練”第2題。學(xué)生讀題，獨(dú)立解答。再集體交流。
3、了解第62頁的“你知道嗎”。 先讓學(xué)生自由地讀一讀，再觀察表格，說一說x和y的乘積總是多少，并用“x×y=60”表示出來。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察反比例圖像。
【課堂小結(jié)】
怎樣判斷兩種量是否成反比例？成反比例的兩種量要具備三個(gè)條件：一、兩種量要相關(guān)聯(lián)；二、其中一種量變化，另一種量也隨著變化；三、兩種量的乘積一定。
教學(xué)反思
略。時(shí)間/時(shí)
1
2
3
4
5
6
…
路程/千米
80
160
240
320
400
…

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