?2022-2023學(xué)年浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．已知，，且，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解.
【詳解】因?yàn)?所以,即,解得,
故選:A.
2．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】依題意可得，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】解：因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，
所以，即，解得；
故選：D
3．在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則（????）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線 B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線 D．，AC與EF是異面直線
【答案】D
【分析】，，在中，根據(jù)中位線可得 ，由此能求出結(jié)果．
【詳解】在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面，
其中母線，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，如圖，
，，
，
在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，
與是共面直線，若AC與EF是共面直線,則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線
故選：D．

4．在圓內(nèi)，過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別是和，則四邊形的面積為（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方差，求出圓心M的坐標(biāo)與半徑，最長的弦即為圓的直徑，最短的弦和垂直，且經(jīng)過點(diǎn)O，由垂徑定理求得，從而可求四邊形的面積.
【詳解】化圓為，
可得圓心坐標(biāo)為,半徑為3.
由圓的性質(zhì)可得，最長的弦即圓的直徑，故.
因?yàn)?，所?
弦最短時(shí)，弦與垂直，且經(jīng)過點(diǎn)O,此時(shí).
故四邊形的面積為.
故選:B.

5．已知雙曲線，直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將代入雙曲線方程可求，將代入雙曲線可求，根據(jù)，得出，從而可求離心率.
【詳解】將代入，得，
即，
解得，
所以，
將代入，得，即，
解得，
所以，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，即，
所以雙曲線C的離心率為.
故選：A.
6．如圖，在三棱臺(tái)中，下底面是直角三角形，且，側(cè)面與都是直角梯形，且，若異面直線AC與所成角為，則BC與平面所成角的余弦值為（????）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由線面垂直的判定可得面，進(jìn)而有，再證面，根據(jù)面面垂直的判定有面面，線面垂直的判定、性質(zhì)得，由面面垂直的性質(zhì)有面，即BC與平面所成角的平面角為，最后求其余弦值.
【詳解】

由側(cè)面與都是直角梯形，則，
又，面，則面，
由面，故，又，即，
而，面，則面，
因?yàn)槊妫悦婷妫?br /> 連接，由，易知△為等腰直角三角形，
所以，又面面，面，
所以面，連接，則BC與平面所成角的平面角為，
又異面直線AC與所成角為，即，在中，，
又面，故，在中，則，
所以.
故選：D
7．已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（????）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)（）且直線，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，進(jìn)而可得，最后應(yīng)用基本不等式求最小值，注意取值條件.
【詳解】
設(shè)（）且直線，聯(lián)立拋物線得，
由，而，所以，得或，
又A，B位于x軸的兩側(cè)，故，故，
由，且過定點(diǎn)，
又，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故與面積之和的最小值是.
故選：D
8．為慶祝國慶，立德中學(xué)將舉行全校師生游園活動(dòng)，其中有一游戲項(xiàng)目是夾彈珠．如圖，四個(gè)半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個(gè)半球面形狀的容器中，每顆彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個(gè)容器的容積是（????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)四個(gè)小球和容器的相切關(guān)系，作出對(duì)應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關(guān)系即可得到容器的半徑.
【詳解】分別作出四個(gè)小球和容器的正視圖和俯視圖，如圖所示:

正視圖中小球球心B，半球球心O與切點(diǎn)A構(gòu)成直角三角形，則有，
俯視圖中，四個(gè)小球球心的連線圍成正方形，正方形的中心到球心的距離與正視圖中的相等， 設(shè)半球半徑為R，已知小球半徑r=1，∴ ，，，.
半球面形狀的容器的容積是.
故選：B

二、多選題
9．己知，則以下坐標(biāo)表示的點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的是（????）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】設(shè)選項(xiàng)中的點(diǎn)為，若，，，四點(diǎn)共面，則存在，，使得.
【詳解】設(shè)選項(xiàng)中的點(diǎn)為，
由題意得，，
又，，，四點(diǎn)共面，則存在，，使得，
即，即，
對(duì)于A，，解得，故點(diǎn)在平面ABC內(nèi)；
對(duì)于B，，解得，故點(diǎn)在平面ABC內(nèi)；
對(duì)于C，，無解，故點(diǎn)不在平面ABC內(nèi)；
對(duì)于D，，無解，故點(diǎn)不在平面ABC內(nèi).
故選：AB
10．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上．這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標(biāo)系中作，，點(diǎn)，點(diǎn)，且其“歐拉線”與圓相切，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．的“歐拉線”方程為
B．圓上點(diǎn)到直線的最大距離為
C．若點(diǎn)在圓上，則的最小值是
D．若點(diǎn)在圓上，則的最大值是
【答案】ACD
【分析】由及題意可得三角形的歐拉線為線段的中垂線，求出的中垂線方程判斷A；由歐拉線與圓相切可得，圓心到歐拉線的距離等于半徑可得的值，由圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為圓心到直線的距離加半徑判斷B；令，得，代入圓的方程，由方程有根求出的范圍判斷C；表示圓上的點(diǎn)與連線的斜率，設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到不等式，即可求出的取值范圍，從而判斷D．
【詳解】解：，由題意可得的歐拉線為的中垂線，
由，可得的中點(diǎn)為，且，
線段的中垂線方程為，即，故A正確；
的“歐拉線”與圓相切，
圓心到直線的距離，
圓的方程為，
圓心到直線的距離，
圓上點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故B錯(cuò)誤；
令，，代入圓的方程，
可得，由于在圓上，有根，
則，整理得，
解得，
的最小值為，即的最小值為，故C正確；
因?yàn)楸硎緢A上的點(diǎn)與連線的斜率，設(shè)，則，即，
所以，即，解得，
所以的最大值為，故D正確；
故選：ACD．
11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)T（-1，0），則下列結(jié)論正確的是（????）
A．
B．
C．若三角形TAB的面積為S，則S的最小值為
D．若線段AT中點(diǎn)為Q，且，則
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出直線AB：，與聯(lián)立后得到兩根之積；B選項(xiàng)，利用拋物線的定義得到，，轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積的關(guān)系式，代入求解；C選項(xiàng)，表達(dá)出，求出最小面積；D選項(xiàng)，根據(jù)得到，，得到，進(jìn)而計(jì)算出，求出.
【詳解】將直線AB：與聯(lián)立得：
設(shè)，則，故A正確；
由拋物線的定義可知：，，
則
，B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故S的最小值為4，C錯(cuò)誤；
由可得：，即，
所以，
解得：或（舍去），
又因?yàn)?，所以?br /> 因此，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)是比較多的，要重點(diǎn)記憶一些，比如，，等.
12．如圖，在五面體中，底面為矩形，和均為等邊三角形，平面，，，且二面角和的大小均為．設(shè)五面體的各個(gè)頂點(diǎn)均位于球的表面上，則（????）

A．有且僅有一個(gè)，使得五面體為三棱柱
B．有且僅有兩個(gè)，使得平面平面
C．當(dāng)時(shí)，五面體的體積取得最大值
D．當(dāng)時(shí)，球的半徑取得最小值
【答案】ABC
【分析】根據(jù)棱柱的定義，主要利用線面、面面平行判定和性質(zhì)定理判定A；利用線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定B；利用體積分割，求得體積關(guān)于角度的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得五面體的體積最大值的條件，從而判定C；利用球的性質(zhì)找到外接球的球心，進(jìn)而得到半徑的變化規(guī)律，從而判定何時(shí)外接球的半徑最小，從而判定D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:
∵平面,經(jīng)過的平面與平面交于直線,∴,
取的中點(diǎn)分別為,連接,則
連接,∵和均為等邊三角形，∴,
又∵底面為矩形，∴垂直,
故得二面角的平面角為,
二面角的平面角為,
因?yàn)?，分別在平面和平面中，平面與平面和分別交于直線，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面平面,
故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，平面平面,
即五面體為三棱柱，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B:
當(dāng)平面和平面不平行時(shí)，它們的交線為,
由于,平面，平面，∴平面,
又∵平面,平面平面=直線，∴，
∴同理，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面平面，
由于四邊形為等腰梯形，∴當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，,
∴當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，平面平面，
故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C:
設(shè)的補(bǔ)角為，過A作直線AR與直線PQ垂直相交，垂足為R，連接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,
又∵AD∩AR=A,AD,AR?平面ADF,
∴平面ADR⊥直線PQ，
同理做出S,得到平面SBC⊥直線PQ，
為直三棱柱的底面，且RS=EF為直三棱柱的高，
、為三棱錐和的底面上的高

因?yàn)椋?br />
所以五面體的體積為（如上圖）或（如下圖）
兩種情況下都有，
令則，所以，
對(duì)求導(dǎo)得 ，
令得（舍去）或，
??,,
故時(shí)體積取得極大值也是最大值.
所以，所以.
五面體的體積取得最大值.故C正確；
對(duì)于D項(xiàng)：
取等邊的中心 ，的中點(diǎn)，過作平面QBC的垂線與過的平面ABCD的垂線的交點(diǎn)即為五面體PQABCD的外接球的球心，如圖所示，連接,,則,∵四邊形為邊長一定的矩形，∴為定值，
∴當(dāng)且僅當(dāng)最小，即重合時(shí)外接球的半徑最小，此時(shí)為銳角，
故D不對(duì).

故選：ABC.

三、填空題
13．圓心在直線上，并且經(jīng)過點(diǎn)，與直線相切的圓的方程為___．
【答案】
【分析】由題意設(shè)圓心為，可得圓的半徑為，再由直線與圓相切列方程可求出的值，從而可求出圓的方程.
【詳解】由題意設(shè)圓心為，
因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以圓的半徑為，
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以，
化簡(jiǎn)得，得，
所以圓心為，半徑，
所以圓的方程為，
故答案為：
14．已知正四棱柱，，，則直線與平面所成角的正弦值為___________.
【答案】
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，可得，
，.
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
故答案為：.
15．四棱錐中，平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角的平面角大小為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為______.
【答案】.
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，由二面角的大小，列出方程，得到，設(shè)直線與軸交點(diǎn)分別為，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為的長，由勾股定理求出答案.
【詳解】因?yàn)槠矫妫矫妫?br /> 所以PA⊥AB，PA⊥AD，
又因?yàn)椋?br /> 所以PA，AB，AD兩兩垂直，
所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)槭撬倪呅蝺?nèi)部一點(diǎn)，設(shè)，
其中，
平面PDA的法向量為，
設(shè)平面QPD的法向量為，則
，
令，則，
所以，
，
由于，
所以，故，
因?yàn)榈钠矫娼谴笮?，設(shè)為，
則，
解得：，
設(shè)直線與軸交點(diǎn)分別為，
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為的長，
令得：，故
令得：，故
由勾股定理得：，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為.

故答案為：.
16．已知橢圓，，為其左右焦點(diǎn)，動(dòng)直線l為此橢圓的切線，右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，，則S的取值范圍為_____________．
【答案】
【分析】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：對(duì)稱點(diǎn)，切點(diǎn)，左焦點(diǎn)三點(diǎn)共線，根據(jù)斜率相等得到方程，結(jié)合點(diǎn)中點(diǎn)B在切線方程上得到的方程，求出點(diǎn)的軌跡方程，然后根據(jù)S的特點(diǎn)，從點(diǎn)到直線距離入手，求出S的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)橛医裹c(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為 ，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：，，三點(diǎn)共線，直線l方程為，則點(diǎn)中點(diǎn)B在切線方程上，其中代入切線方程中，得：①，由，，三點(diǎn)共線可得：，即②，聯(lián)立①②可得：，，因?yàn)樵跈E圓方程上，可得：③，把，代入③中，解得：，即點(diǎn)的軌跡方程是以為圓心，半徑為4的圓，圓心到直線的距離為，則圓上的點(diǎn)到直線的距離最小值為，最大值為，則，即

故答案為：
【點(diǎn)睛】本題是圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的運(yùn)用，即從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)過橢圓反射后，反射光線一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，這在焦點(diǎn)關(guān)于切線對(duì)稱的問題上，屬于一個(gè)隱含條件，只有用到這個(gè)性質(zhì)，才能順利的解決問題；當(dāng)然雙曲線和拋物線都有類似的性質(zhì)，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸.

四、解答題
17．已知圓：.
(1)若直線與交于A，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求；
(2)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，求過點(diǎn)的圓的切線的方程.
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）根據(jù)運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)直線與圓相切可得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算求解，注意討論直線l的斜率是否存在.
【詳解】（1）：的圓心，半徑
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則
∴.
（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則：，圓心到直線的距離為，即與圓相切，
∴符合題意；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)為，則直線：，即
由題意可得：，解得，
∴直線：；
綜上所述：的方程為或.
18．如圖，在四棱臺(tái)中，底面是正方形，若，，．

(1)證明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)．

【分析】（1）將四棱臺(tái)補(bǔ)形成四棱錐，取CD中點(diǎn)E，連接PE，BE，根據(jù)已知易證、，再由線面垂直、面面垂直的判定即可證結(jié)論；
（2）應(yīng)用幾何法找到二面角的一個(gè)平面角，進(jìn)而求其余弦值即可.
【詳解】（1）將四棱臺(tái)補(bǔ)形成四棱錐，取CD中點(diǎn)E，連接PE，BE，
由題意知，且，，，分別是棱PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，
所以，又，，，
所以，故，
又，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD，又平面，
所以平面平面ABCD．

（2）由底面是正方形，則，
由（1）知：面面ABCD，面面ABCD，而面ABCD，
所以面，過D作于G，連接AG，則面，
故面面，面面，面，
所以面，又面，則，
因此∠AGD為二面角的一個(gè)平面角，
在直角△ADG中，，，則，
所以，即二面角的平面角的余弦值為．

19．北京大興國際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和．例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為．

（1）求四棱錐的總曲率；
（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)，證明：這類多面體的總曲率是常數(shù)．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，寫出多邊形表面的所有內(nèi)角即可.（2）設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，設(shè)第個(gè)面的棱數(shù)為，所以，按照公式計(jì)算總曲率即可.
【詳解】（1）由題可知：四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和.

可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的集合.由圖可知：四棱錐共有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形.
所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，
則其總曲率為：.
（2）設(shè)頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)分別為、、，所以有
設(shè)第個(gè)面的棱數(shù)為，所以
所以總曲率為：



所以這類多面體的總曲率是常數(shù).
【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的新定義問題，能夠正確讀懂“曲率”的概率是解決問題的關(guān)鍵．
20．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程.
(2)若動(dòng)直線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)

【分析】（1）由漸近線夾角得或，結(jié)合雙曲線所過點(diǎn)可求得，由此可得雙曲線方程；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，可知；假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可化簡(jiǎn)整理，根據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.
【詳解】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；
當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線的方程為：；
當(dāng)時(shí)，方程無解；
綜上所述：雙曲線的方程為：.
（2）由題意得：，
假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則恒成立；
方法一：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
當(dāng)時(shí)，恒成立；
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).
方法二：①當(dāng)直線斜率為時(shí)，，則，，
，，，
，解得：；
②當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，
由得：，，
，，
；
當(dāng)，即時(shí)，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；
③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定點(diǎn).
21．正方形ABCD中，，點(diǎn)O為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)
(1)當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)若P為平面ABCD外一點(diǎn)，滿足，記，求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系得到，坐標(biāo)，進(jìn)而寫出、坐標(biāo)，應(yīng)用向量模長的坐標(biāo)表示求目標(biāo)式的值.
（2）以A為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，確定的坐標(biāo)，利用向量夾角的坐標(biāo)表示得到，結(jié)合換元法及三角函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.
【詳解】（1）構(gòu)建如下圖示的平面直角坐標(biāo)系，則，，

當(dāng)，則，故，，
所以，，
則.
（2）由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，

所以且，
則，
所以，
令，則，可得，
若，則，此時(shí)在上遞增，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)建坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示相關(guān)向量，由向量模長、夾角的坐標(biāo)表示求值、得到，結(jié)合相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)求范圍.
22．已知橢圓過點(diǎn)，且以長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形面積為.
(1)求的方程；
(2)已知橢圓，在橢圓上任取三點(diǎn)，是否存在使得與橢圓相切于三角形三邊的中點(diǎn)，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，

【分析】（1）由以長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形面積為可得，求得，再結(jié)合在橢圓上得到，兩式聯(lián)立即可得到答案；
（2）設(shè)的中點(diǎn)分別是，然后得到直線為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理以及結(jié)合題意通過計(jì)算即可得到答案
【詳解】（1）以長軸和短軸為對(duì)角線的四邊形面積為，從而，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得，
所以橢圓方程為
（2）設(shè)的中點(diǎn)分別是，則，
因?yàn)榫c橢圓相切于點(diǎn)，所以，
因?yàn)樵趦芍本€上，所以，
所以在直線上，即直線的方程為，
聯(lián)立得，
所以，
所以，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，且的中點(diǎn)為，直線，
設(shè)得，
因?yàn)榕c橢圓相切，所以，化簡(jiǎn)得，
代入得
因?yàn)樵跈E圓上，所以，代入得，解得（舍），所以，此時(shí)，
中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
方程的解為，
所以時(shí)，與橢圓相切時(shí)切點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以滿足條件，
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不妨假設(shè)直線切于橢圓的左頂點(diǎn)，且根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，的中點(diǎn)為左頂點(diǎn)，在軸的正半軸上，
所以將代入橢圓得，不妨設(shè)，
將代入橢圓得，所以，
則的中點(diǎn)為，代入橢圓得，解得，
綜上所述，
【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.

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