2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題16 極值與最值（解析版）

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?專題16 極值與最值
【題型歸納目錄】
題型一：求函數(shù)的極值與極值點
題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)
題型三：求函數(shù)的最值
題型四：根據(jù)最值求參數(shù)
題型五：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用
題型六：不等式恒成立與存在性問題
【考點預(yù)測】
知識點一：極值與最值
1、函數(shù)的極值
函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.
注①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號.
②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點.另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點.
2、函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；
③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對于任意的，總存在，使得；
（6）對于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對于任意的，使得；
（8）若存在，對于任意的，使得；
（9）對于任意的，使得；
（10）對于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
【典例例題】
題型一：求函數(shù)的極值與極值點
【方法技巧與總結(jié)】
1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．
2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導(dǎo)函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導(dǎo)零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導(dǎo)函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．
例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（????）

A．
B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值
C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值
D．函數(shù)的最小值為
【答案】C
【解析】由題圖可知，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又a