2024年高考數(shù)學第一輪復習專題13 函數(shù)與方程（原卷版）

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專題13 函數(shù)與方程 【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題題型四：分段函數(shù)的零點問題題型五：等高線問題題型六：二分法【考點預測】一、函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.二、方程的根與函數(shù)零點的關系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.三、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法 對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點） （4）判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復第（2）—（4）步. 用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【方法技巧與總結】函數(shù)的零點相關技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.【典例例題】題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間【方法技巧與總結】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).例1．（2023·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）函數(shù)的零點是（    ）A． B． C． D．9 例2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的零點為2，則函數(shù)的零點是（    ）A．0， B．0， C．0，2 D．2， 例3．（2023·全國·高三專題練習）若是函數(shù)的一個零點，則的另一個零點為（    ）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0） 變式1．（2023·全國·高三專題練習）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（       ）A． B． C． D． 變式2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（    ）A． B． C． D． 變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的零點在區(qū)間上，則（    ）A． B． C． D． 題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍【方法技巧與總結】本類問題應細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關性質，建立參數(shù)關系，列關于參數(shù)的不等式，解不等式，從而獲解.例4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)．若在內(nèi)恰有一個零點，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 例5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，恰有2個零點，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 例6．（2023·全國·高三專題練習）若關于x的方程有兩個不相等的實根、，且滿足，則實數(shù)t的取值范圍是（    ）A．（2，5） B．C． D． 變式4．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 變式5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)存在一個零點，則a的取值范圍是（    ）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 變式6．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題【方法技巧與總結】 方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.例7．（2023·全國·高三專題練習）若偶函數(shù)滿足，在時，，則關于x的方程在上根的個數(shù)是___． 例8．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù) 的零點個數(shù)為_________． 例9．（2023·全國·高三專題練習）設依次表示函數(shù)的零點，則的大小關系為______．  變式7．（2023·重慶璧山·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（    ）A．個 B．個 C．個 D．個 變式8．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點個數(shù)是（　?。?/span>A．1 B．2 C．3 D．4 變式9．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)定義在上的奇函數(shù)滿足在，則在上的零點至少有（    ）個A．6 B．7C．12 D．13 變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)則方程的解的個數(shù)是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3 題型四：分段函數(shù)的零點問題【方法技巧與總結】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.例10．（2023·河北·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D． 例11．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)有且只有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（    ）A． B． C． D． 例12．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)存在2個零點，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B． C． D． 題型五：等高線問題例13．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝，若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），則的取值范圍是（    ）A．（） B．（1，4） C．（，4） D．（4，6） 例14．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·統(tǒng)考一模）函數(shù)f(x)=|x2﹣2x|，x1?x2?x3?x4滿足：f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=m，x1<x2<x3<x4且x2﹣x1=x3﹣x2=x4﹣x3，則m=（    ）A． B． C．1 D． 例15．（2023·四川內(nèi)江·高一統(tǒng)考期末）設函數(shù)f（x）=，若互不相等的實數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），則x1+x2+x3的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D． 題型六：二分法例16．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：                                                那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（    ）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44 例17．（2023·全國·高三專題練習）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應計算的函數(shù)值分別為（    ）A．， B．，C．， D．， 例18．（2023·全國·高三專題練習）若的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個近似根（精確到0.1）為（    ）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 變式11．（2023·全國·高三專題練習）利用二分法求方程的近似解，可以取的一個區(qū)間是（    ）A． B． C． D． 變式12．（2023·全國·高三專題練習）用二分法求如圖所示的函數(shù)的零點時，不可能求出的零點是（    ）A． B．C． D． 變式13．（2023·全國·高三專題練習）已知方程的根在區(qū)間上，第一次用二分法求其近似解時，其根所在區(qū)間應為__________． 【過關測試】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)＝ax2－x－1有且僅有一個零點，則實數(shù)a的值為（    ）A．－ B．0 C． D．0或－2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間上的圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，則下列說法中正確的有(   )A．若，則不存在實數(shù)，使得B．若，則存在且只存在一個實數(shù)，使得C．若，則可能存在實數(shù)，使得D．若，則可能不存在實數(shù)，使得3．（2023·全國·高三專題練習）已知且，則的零點個數(shù)為（    ）A． B． C． D．不能確定4．（2023·全國·高三專題練習）關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的值可以是（    ）A．6 B．7 C．8 D．95．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點所在區(qū)間是（    ）A． B．C． D．6．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)是方程的一個解，是方程的一個解，則可以是（    ）A． B． C． D．7．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．08．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是(    )A． B． C． D．9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，的零點分別是a，b，c，則a，b，c的大小順序是（    ）A． B． C． D．11．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點的個數(shù)為（    ）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題12．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)必有零點（    ）A． B．C． D．13．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，若關于的方程有四個實數(shù)解，且，則的值可能是（    ）A．0 B．1 C．99 D．10014．（2023·全國·高三專題練習）已知方程的兩個根一個大于2，一個小于2，則下列選項中滿足要求的實數(shù)m的值為（    ）A．5 B．6 C．7 D．815．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的可能取值是（    ）A．0 B．1 C．2 D．316．（2023·全國·高三專題練習）下列函數(shù)有兩個零點的有（    ）A． B． C． D．三、填空題17．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點個數(shù)為________．18．（2023·全國·高三專題練習）設為實數(shù)，函數(shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍為________．19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若方程有4個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為_________．20．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)的一個取值為______.