2022年高考數(shù)學(xué)強基計劃講義專題5：函數(shù)與方程【原卷及解析版】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【2021年北大13】方程的整數(shù)解的組數(shù)為________．
答案：2
2.【2020年清華29】已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
3【2020武大2】已知方程，則下列判斷：
方程沒有正數(shù)解；
方程有數(shù)多個解；
方程有一個正數(shù)解；
方程的實根小于1．
其中錯誤的判斷有_______________．
答案：A 根據(jù)對稱性可選A
二、知識要點拓展
一元二次方程有關(guān)公式
1.一元二次方程的根：
2.根與系數(shù)的關(guān)系：，（韋達定理）
3.判別式：．
二．函數(shù)不等式恒成立、能成立、恰成立問題
1.函數(shù)不等式的恒成立問題：
（1）不等式在集合上恒成立在集合上．
（2）不等式在集合上恒成立在集合上．
2.函數(shù)不等式的能成立問題：
（1）在集合上存在實數(shù)使不等式成立在集合上．
（2）在集合上存在實數(shù)使不等式成立在集合上．
3.函數(shù)不等式的恰成立問題：
不等式在集合上恰成立該不等式的解集為．
三．幾個常見的函數(shù)方程
1.正比例函數(shù),具有性質(zhì)：.
2.指數(shù)函數(shù),具有性質(zhì)：.
3.對數(shù)函數(shù),具有性質(zhì)：.
方程的根與函數(shù)的零點：
對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．
2.方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點
3.零點存在定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使。
?函數(shù)零點的理解：
（1）函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標，實質(zhì)是同一個問題的三種不同表達形式，方程根的個數(shù)就是函數(shù)的零點的個數(shù)，亦即函數(shù)的圖像與x軸交點的個數(shù)
（2）函數(shù)的零點不是點，而是函數(shù)函數(shù)的圖像與x軸交點的橫坐標，即零點是一個實數(shù)。
（3）若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)的曲線，則是在區(qū)間內(nèi)有零點的充分不必要條件。
二．高次方程韋達定理
①三次方程韋達定理
設(shè)三次方程的三個根為,那么
②如果一元次多項式的根為,那么
以上定理稱為韋達定理。它確定了根與系數(shù)的關(guān)系。利用韋達定理，一元n次方程可直接求方程的根。
3. 整系數(shù)多項式
設(shè)，若，則稱為的根（或零點）；又若是的重因式，則稱為的k重根，當時，稱為的單根。
代數(shù)基本定理：任意一個次數(shù)不小于1的多項式至少有一個復(fù)數(shù)根。
根的個數(shù)定理：任意一個次多項式的復(fù)數(shù)根的個數(shù)（依重數(shù)累加）恰有個，依次定理可知任何一個可以分解為，其中，為兩兩不同的復(fù)數(shù)，，且。這是多項式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的標準分解式。
虛根成對定理：設(shè)為的復(fù)根，即，則，于是也是的根。也就是說實系數(shù)多項式的虛根成對出現(xiàn)。
實系數(shù)多項式分解定理：設(shè),則可分解為，其中且。
整系數(shù)多項式的有理根：設(shè)是的有理根，則，并且可寫，其中。
依上述定理可知，若，的首項系數(shù)為1，則的有理根都是整數(shù)根。
三、典例精講
例1．（復(fù)旦）設(shè)三次方程的3個根互異，且可成等比數(shù)列，則它們的公比是。
（B）（C）（D）
?分析與解答：
設(shè)這三個根為，則由三次方程根的韋達定理有
。故選A。
例2．（北大）求的實數(shù)根的個數(shù)。
?分析與解答：原方程即
。
。令。由于
。所以原方程無實根。
例3．（復(fù)旦）設(shè)，，是三次方程的3個根，則總以為根的三次方程是（）
（B）
（C）（D）
?分析與解答：由三次方程的韋達定理：
而
對選項逐個用韋達定理檢驗，只有選項B適合。
例4．（清華）請證明：方程在為偶數(shù)的時候沒有實數(shù)根，在為奇數(shù)的時候，有且僅有一個實數(shù)根。
?分析與解答：
用歸納法證明：為奇數(shù)時，單調(diào)遞增，且值域為；為偶數(shù)時，恒成立。這里。
對求導(dǎo)有。
時，，它在上單調(diào)遞增，且值域為。
時，。
故時結(jié)論成立。
設(shè)時結(jié)論成立。則時，
①當為偶數(shù)時，，。因為為奇數(shù)，由歸納假設(shè)在上單調(diào)遞增，且值域為。故方程有且僅有一個實根，設(shè)為，當時，；當時，，所以對而言，只有，且當時，，當時，。
所以是的最小值，于是（因為為偶數(shù)）。。即為偶數(shù)時恒成立。
②為奇數(shù)時，為偶數(shù)，由歸納假設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增。再注意到為奇數(shù)時，多項式。當時，；當時，。
即當為奇數(shù)時，單調(diào)遞增，且值域為。
綜上，當為偶數(shù)時，恒成立，故沒有實數(shù)根；為奇數(shù)時，單調(diào)遞增，且值域為，故有且只有一個實數(shù)根。
例5．（復(fù)旦）方程的實根是（）
不存在（B）有一個（C）有兩個（D）有三個
?分析與解答：
此方程屬于超越方程，沒有精確解，只能用數(shù)形結(jié)合法來解決，畫出與的函數(shù)圖象草圖，顯然方程有且只有一個小于0的解，那么有多少個大于0的解呢？許多同學(xué)誤認為只有一個。事實上，認真分析后就可以發(fā)現(xiàn)有兩個大于0的解。理由如下：令，則，由于，由零值定理，知開區(qū)間和內(nèi)各有一根。故方程有兩正根一負根，本題應(yīng)選D。
練習(xí)1：函數(shù)與它的反函數(shù)的交點個數(shù)為（）
1個（B）2個（C）3個（D）4個
?答案C
?分析與解答：、、還有一個交點在直線上，共3個。
練習(xí)2：關(guān)于的方程，給出下列四個命題：
①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根
②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根
③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根
④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根
其中假命題的個數(shù)是（）
A 0 B 1 C 2 D 3
?分析：本題是關(guān)于函數(shù)、方程解的選擇題，考查換元法及方程根的討論，屬一題多選型試題，要求考生具有較強的分析問題和解決問題的能力.
?解答：
方法一：根據(jù)題意可令，則方程化為，(*)
作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象可知：①當或時，原方程有兩個不等的根，②當時，原方程有4個根，③當時，原方程有3個根.
(1)當時，方程(*)有一個正根，相應(yīng)的原方程的解有2個；
(2)當時，方程(*)有兩個相等正根，相應(yīng)的原方程的解有4個；
(3)當時，此時方程(*)有兩個不等根或，故此時原方程有5個根；
(4)當時，方程(*)有兩個不等正根，且此時方程(*)有兩正根且均小于1，故相應(yīng)的滿足方程的解有8個，故選A.
方法二：由函數(shù)的圖象(如下圖)及動直線可得出答案為.

3. 設(shè)，，方程的判別式為，由的取值依據(jù)、、從而得出解的個數(shù).
4. 設(shè)函數(shù)，利用數(shù)軸標根法得出函數(shù)與x軸的交點個數(shù)為5個，以及函數(shù)的單調(diào)性大體上畫出函數(shù)的圖象，從而得出答案.
?點評：方法一、方法二、方法四都是利用函數(shù)圖象求解，但研究的目標函數(shù)有別，方法二利用函數(shù)的奇偶性以及交軌法直觀求解，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是數(shù)形結(jié)合法中值得肯定的一種方法；方法三利用方程的根的個數(shù)問題去求解，但討論較為復(fù)雜，又是我們的弱點，有利于培養(yǎng)我們思維的科學(xué)性、嚴謹性、抽象性、邏輯推理能力等基本素質(zhì).
例6．（交大）設(shè)，試證明對任意實數(shù)：
方程總有相同的實根；
存在，恒有。
?分析與解答：
本題若看成關(guān)于的四次多項式，則很難因式分解，若展開重新整理成關(guān)于的一次多項式：
顯然總有相同實根；當時，。
注：本題從另一個角度，轉(zhuǎn)換參數(shù)，將看成一個關(guān)于的一次函數(shù)，值得回味！
例7．（復(fù)旦）在實數(shù)范圍內(nèi)求方程的實數(shù)根。
?分析與解答：
解法一：顯然，移項后兩邊四次方是不可取的，不妨先作一個換元：令，則
。
，從而，解得：或（舍去）。
聯(lián)立，可得：或故或。
解法二：由，聯(lián)想到等差中項的概念。可設(shè)，則
①
②
①+②得：，即，解得：，
從而或。
例8．（交大）已知函數(shù)，且沒有實數(shù)根。問：是否有實數(shù)根？并證明你的結(jié)論。
?分析與解答：此問題的解法較多，提供以下三種解法。
解法一：先介紹一個引理。
引理：若，則。
引理的證明：，有，故，由的任意性知。
回到原題。即，這是一個4次方程，由上述引理知，一定可以分解出這樣一個因式。
，即
由于無實根。下面只要求出方程是否有實根即可。
，其判別式
。
又無實根，故，由此可知。所以方程亦無實根。綜上，也無實根。
解法二：數(shù)形結(jié)合，圖像法。若，由于無實根，則對任意實數(shù)，，從而
y=x
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
，故無實根（如圖4-1）；
y
y
y=x
x
x
f(x)=ax2+bx+c(a

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