2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)四十三講27 數(shù)列求和經(jīng)典題型歸納（十二大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)四十三講27 數(shù)列求和經(jīng)典題型歸納（十二大經(jīng)典題型）（原卷附答案），共49頁(yè)。試卷主要包含了已知單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，時(shí)滿足，求和，已知等差數(shù)列中，，，已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.，在數(shù)列中，，其中.等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?考向27 數(shù)列求和經(jīng)典題型歸納

經(jīng)典題型一：通項(xiàng)分析法
經(jīng)典題型二：公式法
經(jīng)典題型三：錯(cuò)位相減法
經(jīng)典題型四：分組求和法
經(jīng)典題型五：裂項(xiàng)相消法
經(jīng)典題型六：倒序相加法
經(jīng)典題型七：并項(xiàng)求和
經(jīng)典題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和
經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和
經(jīng)典題型十：含絕對(duì)值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和
經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項(xiàng)求和
經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和

一．公式法
（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．
（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
（3）一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：
①；
②；
③；
④
二．幾種數(shù)列求和的常用方法
（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．
（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．

常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧
積累裂項(xiàng)模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項(xiàng)模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）

（6）
積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）

積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型

積累裂項(xiàng)模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項(xiàng)模型6：階乘
（1）
（2）
常見(jiàn)放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）

；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．

經(jīng)典題型一：通項(xiàng)分析法
1．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））數(shù)列，，，，，，的前項(xiàng)和的值等于_____________
2．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，時(shí)滿足． 為前n項(xiàng)和．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.




3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求和．




4．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項(xiàng)和為　　
A． B． C． D．




經(jīng)典題型二：公式法
5．已知等差數(shù)列中，，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．




6．如圖，從點(diǎn)做軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，再?gòu)淖鲚S的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：，；，；，，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，，．
（Ⅰ）試求與的關(guān)系；
（Ⅱ）求．





經(jīng)典題型三：錯(cuò)位相減法
7．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，且.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)記，求的前項(xiàng)和為.




8．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.




9．（2022·河南·高三開(kāi)學(xué)考試（文））在①；②；③，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題的橫線處，并解答．
已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，______．
(1)；
(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
注：如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．




10．（2022·湖北·應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，，其中.
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過(guò)程；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；




經(jīng)典題型四：分組求和法
11．（2022·河南省杞縣高中高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知數(shù)列滿足，設(shè).
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求.




12．（2022·廣東·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.




13．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和




14．（2022·河南·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知等比數(shù)列的公比大于1，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求的前項(xiàng)和.




15．（2022·河南·高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等差數(shù)列的公差為，且，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．




經(jīng)典題型五：裂項(xiàng)相消法
16．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：．
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)若，證明：．




17．（2022·黑龍江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，滿足，且，，1成等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：.




18．（2022·浙江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，令，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.




19．（2022·云南·昆明一中高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求.




20．（2022·安徽·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足且，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.




21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.
(1)求；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.




22．（2022·河南·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是與的等比中項(xiàng)，且.若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（???????）
A． B．
C． D．
經(jīng)典題型六：倒序相加法
23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和_________．
24．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和______．
25．（2022·湖南·麻陽(yáng)苗族自治縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（???）
A． B． C． D．
26．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中，記，則（???????）
A． B．
C． D．
經(jīng)典題型七：并項(xiàng)求和
27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則__．
28．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，則數(shù)列{ancosnπ}的前2020項(xiàng)的和為（???????）
A．1009 B．1010 C．2019 D．2020
29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為()，其前項(xiàng)和為，則_______.
30．（2022·江蘇·高郵市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（???????）
A．0 B．1010 C．2020 D．2024
31．（2022·河北唐山·一模）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
（1）求的值；
（2）求的最大值.




經(jīng)典題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和
32．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，
(1)求和
(2)求證：．




33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前項(xiàng)和為滿足，.
（1）求通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求證：.




34．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證: .




經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和
35．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前14項(xiàng)和.




36．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，
(1)令，求，及的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.




37．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．




38．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.




經(jīng)典題型十：含絕對(duì)值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和
39．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足（）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，記的前項(xiàng)和為，求.




40．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.




41．（2022·湖南·麻陽(yáng)苗族自治縣第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，．




42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則的前100項(xiàng)和為（???????）
A．67 B．68 C．134 D．167
43．（2022·上海中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿足且，則的最小值是___________．
44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知表示不超過(guò)的最大整數(shù)，例如：，在數(shù)列中，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 ___________.
45．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.
經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項(xiàng)求和
46．（2022·廣東廣州·高三開(kāi)學(xué)考試）已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計(jì)入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，….,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
(1)若，求m的值；
(2)求的值.




47．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項(xiàng)后，將余下的項(xiàng)按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項(xiàng)之和為（???????）
A．23804 B．23946 C．24100 D．24612
48．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“提丟斯數(shù)列”，是由世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家提丟斯給出，具體如下：，，，，，，，，，容易發(fā)現(xiàn)，從第項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍；將每一項(xiàng)加上得到一個(gè)數(shù)列：，，，，，，，，；再將每一項(xiàng)除以后得到：“提丟斯數(shù)列”：，，，，，，，，則下列說(shuō)法中，正確的是（???????）
A．“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列 B．“提丟斯數(shù)列”的第項(xiàng)為
C．“提丟斯數(shù)列”前項(xiàng)和為 D．“提丟斯數(shù)列”中，不超過(guò)的有項(xiàng)
經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和
49．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列是公差大于零的等差數(shù)列，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求.




50．（2022·廣東佛山·三模）設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，記，且滿足．
(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．




51．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且.
(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.




52．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.




53．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為_(kāi)_______.

1．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（???????）
A． B． C． D．
2．（2020·江蘇·高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．
3．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．




4．（2021·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．




5．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；
（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．




6．（2020·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．
（1）求的公比；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．




7．（2020·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．
（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；
（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．




8．（2021·全國(guó)·高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)_____；如果對(duì)折次，那么______.



經(jīng)典題型一：通項(xiàng)分析法
1．【答案】
【解析】依題意，易得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，
；
故答案為： .
2．【解析】（1）由，
得，
即，
由是單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，得，
則，即，
故是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
則，即.
（2）要證：，
只需證：，
即證：，
即證：，
即證：，
即證：，
即證：，
而此不等式顯然成立，
所以成立.
3．【解析】∵
，
∴．

4．【解析】解數(shù)列通項(xiàng)，


．
故選：．
經(jīng)典題型二：公式法
5．【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得

解得，，
的通項(xiàng)公式為．
（2）由得
，
是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列．
．
6．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，，
由得
點(diǎn)處切線方程為
由得．
（Ⅱ），，得，



經(jīng)典題型三：錯(cuò)位相減法
7．【解析】（1）時(shí)，，
又，
所以是首項(xiàng)是1，公比是的等比數(shù)列，所以；
設(shè)的公差為，則由，得

.

（2）由（1）知，
所以

，
所以.
8．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故.
當(dāng)時(shí)，①，②，
由①②，得，可得，
所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.
（2），則，
所以，，
上述兩個(gè)等式作差可得，
所以，.
9．【解析】（1）選①，由得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
，所以．
選②，由得，
作差得，
符合上式，所以．
選③，由得
作差得，即，
即，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
，所以．
（2），
所以．
設(shè)，，
，
，
作差得，
化簡(jiǎn)得，
所以．
10．【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
，
所以數(shù)列是以1為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列；
（2）由（1）可得，
所以，
所以①，
②，
所以①-②得，
所以
經(jīng)典題型四：分組求和法
11．【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則
從而由，得，又，
所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，
所以

12．【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
所以所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為－1的等差數(shù)列，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；
（2）.
13．【解析】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，
所以，即，因?yàn)?，所以?br /> 所以的通項(xiàng)公式為；
（2）因?yàn)椋?br /> 所以
14．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，得，
解之得或（舍去），
由得，，
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）知，
所以的前項(xiàng)和為

15．【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，且，，
所以，解得，?????????????????
所以
綜上，．
（2）由（1）得：?????????????????
所以?????????????????
．
經(jīng)典題型五：裂項(xiàng)相消法
16．【解析】（1）由，
故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，滿足，
故對(duì)．
（2）證明：，
故，
故
17．【解析】（1）由題意得，則，
∴數(shù)列為等差數(shù)列．
又，∴，即數(shù)列的公差為1，
∴，即．
（2）由已知得，
∴

．
18．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，
由題意可得：
解得：

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由(1)，
，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以數(shù)列的前2022項(xiàng)和

19．【解析】（1），
，
兩式作差得:，
，
成等差數(shù)列，
又當(dāng)時(shí)，，
所以
即
（2）由（1）知，
則，
即
，
故
???????.
20．【解析】（1）因?yàn)?，所以?br /> 兩式相減得，
當(dāng)時(shí)，， 又，所以，
所以，
所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以；
（2）證明：，
所以， 由，得，
所以，
綜上，.
21．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴
（2）∵∴數(shù)列的前項(xiàng)和
22．【答案】A
【解析】因?yàn)閿?shù)列是遞增的等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差.
由題意得即
解得或（舍去）.
所以.
所以.
所以
故選：A.
經(jīng)典題型六：倒序相加法
23．【答案】
【解析】由得，
，
由，
得，
故，
故，
所以，
則，
兩式相減得：

故，
故答案為：
24．【答案】
【解析】由題設(shè)，，
所以，
即且n ≥ 2，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
故答案為：.
25．【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br /> 且，
令,
又
，
兩式相加得：，
解得，
故選：B
26．【答案】A
【解析】，∴
，
，∴
，
故選：A．
經(jīng)典題型七：并項(xiàng)求和
27．【答案】-2
【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
所以，，，，
則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540，
所以，
所以，解得．
故答案為：．
28．【答案】D
【解析】設(shè)的公差為d，則有，
解得，
∴，
設(shè)，
則，，…，
∴數(shù)列的前2020項(xiàng)的和
．
故選：D
29．【答案】
【解析】

，
∴.
故答案為：
30．【答案】C
【解析】由，，令，

可得，，
兩式相加可得，
，，
兩式相加，
進(jìn)行推論歸納可得，，
所以數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為．
故選：C.
31．【解析】（1）由可得
當(dāng)時(shí)，??????????（?。?br /> 所以，，…，，
因此.
（2）當(dāng)時(shí)，??????????（ⅱ），
（ⅰ）式減去（ⅱ）式得，
又，于是，
可得；當(dāng)時(shí)，；
又，
則時(shí)，；
又，
時(shí)，；
因此時(shí)，取得最大值，且.
經(jīng)典題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和
32．【解析】（1）時(shí)，，時(shí)，，
所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，
所以，
（2）當(dāng)時(shí)，，原式成立．
當(dāng)時(shí)，


所以．
33．【解析】（1）由，得，兩式相減，得.
由，，得，
所以，，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
從而有.
（2）證明：由（1）知，從而，
所以，當(dāng)時(shí)，，
從而有；
當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.
綜上有成立.
34．【解析】，




經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和
35．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，又，得，
由①
得②，①②兩式相除可得，
則，且，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故.
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
.
所以數(shù)列的前14項(xiàng)和為



.
36．【解析】(1)由題意得，，，，，
，，，
當(dāng)時(shí)，，
又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.
(2)由（1）知，所以，
所以
.
37．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，
當(dāng)n為奇數(shù)，且時(shí)，，顯然滿足；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
所以
（2）


．
38．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，
由，得，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以；
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，
所以，解得或(舍)，
所以.
(2)，
所以當(dāng)時(shí),，
當(dāng)時(shí)，，
即
經(jīng)典題型十：含絕對(duì)值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和
39．【解析】(1)，
或，
為正項(xiàng)數(shù)列，
；
(2)，
是周期為12的周期數(shù)列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，

.
40．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，
由，得，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以；
設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，
所以，解得或(舍)，
所以.
(2)，
所以當(dāng)時(shí),，
當(dāng)時(shí)，，
即
41．【解析】（1）∵；
∵，∴
兩式相減可得，又，∴.
（2）由（1）知：，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．
42．【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以數(shù)列的項(xiàng)依次為2，1，1，0，1，1，0，…，
所以從第2項(xiàng)起，3項(xiàng)一個(gè)循環(huán)，
所以的前100項(xiàng)的和為，
故選：B．
43．【答案】
【解析】由得：，
，，…，
，，，
累加得，
，
，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)；為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)；
則為偶數(shù)，
當(dāng)時(shí)，取得最小值．
當(dāng)數(shù)列滿足，（且為偶數(shù)），
（且為奇數(shù)）時(shí)，符合條件.
故答案為：
44．【答案】4956
【解析】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
.
故答案為：
45．【答案】
【解析】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
當(dāng)，，解得：，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng) ，
當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：
經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項(xiàng)求和
46．【解析】（1）因?yàn)?，所以?shù)列中前項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，共有14項(xiàng)，
數(shù)列中前項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，共有3項(xiàng)，
排列后為1，3,3,，5，7，9，9，…，27，27，29，…，
所以或17.
（2）因?yàn)椋?，?br /> 所以數(shù)列中前50項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項(xiàng)，它們都是正奇數(shù)，均屬于A，
所以數(shù)列中前50項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46項(xiàng)，
所以.
47．【答案】D
【解析】因?yàn)?，，，故?shù)列的前項(xiàng)中包含的前項(xiàng)，故數(shù)列的前150項(xiàng)包含的前項(xiàng)排除與公共的8項(xiàng).
記數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，
故選：D.
48．【答案】C
【解析】記“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，解得
當(dāng)時(shí)，，符合該式；
當(dāng)時(shí)，
，
A選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”不是等比數(shù)列，A故錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”的第項(xiàng)為，故B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”前項(xiàng)和為：
，故C正確；
D選項(xiàng)：由，得，成立；
時(shí)，，即，解得
，
“提丟斯數(shù)列”中，不超過(guò)的有項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．
故選：C
經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和
49．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，

，
又，

解得或，
，
，
.
（2）
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
故是以2為周期的周期數(shù)列，且，
.
50．【解析】(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）
又當(dāng)時(shí)，，所以有
化簡(jiǎn)得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列
所以
(2)由(1)可知
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
則，
①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，

②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，

綜上所述：
51．【解析】（1）因?yàn)椋?，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.
（2）由（1）得，則，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，綜上所述，
52．【解析】（1）證明：因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，即，則.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則，綜上所述，.
53．【答案】
【解析】∵，
∴時(shí)，，即，，
由已知，
當(dāng)時(shí)， (*)，
(*)式中為偶數(shù)時(shí)，，，此時(shí)為奇數(shù)，
∴為奇數(shù)時(shí)即時(shí)，；
(*)式中為奇數(shù)時(shí)，，，
即，此時(shí)為偶數(shù)，
∴為偶數(shù)即時(shí)，，
∴，
由，
得為奇數(shù)時(shí)，，
為偶數(shù)時(shí)，，
∴數(shù)列的前7項(xiàng)和為
．
故答案為：．


1．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以，?br /> 由
，即
根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
，
由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由裂項(xiàng)求和法得：
所以，即．
故選：A．
2．【答案】
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.
等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，
等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，
依題意，即，
通過(guò)對(duì)比系數(shù)可知，故.
故答案為：
3．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；
（2） ∴
4．【解析】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和
，
，
．
設(shè)，???????⑧
則．????????⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過(guò)等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法
設(shè)，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；
方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；
方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，
方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.
5．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項(xiàng)公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項(xiàng)公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，
對(duì)任意的正整數(shù)n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
6．【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，
，
；
（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，
，①
，②
①②得，
，
.
7．【解析】（1）
［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法
由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即．
證明如下：
當(dāng)時(shí)，成立；
假設(shè)時(shí)，成立.
那么時(shí)，也成立.
則對(duì)任意的，都有成立；
［方法二］：構(gòu)造法
由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時(shí)減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．
［方法三］：累加法
由題意可得，．
由得，即，，……．以上各式等號(hào)兩邊相加得，所以．所以．當(dāng)時(shí)也符合上式．綜上所述，．
［方法四］：構(gòu)造法
，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，故，即．
（2）由（1）可知，
［方法一］：錯(cuò)位相減法
，①
，②
由①②得：
，
即.
［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法
，所以．
［方法三］：構(gòu)造法
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，即，則，解得．
所以，即為常數(shù)列，而，所以．
故．
［方法四］：
因?yàn)?，令，則
，
，
所以．
故．
【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過(guò)遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問(wèn)題的通性通法，對(duì)于此題也是最優(yōu)解；
方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡(jiǎn)化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
方法三：由化簡(jiǎn)得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
方法四：通過(guò)遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯(cuò)位相減法解出，該法也是此類經(jīng)典題型的通性通法；
方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過(guò)程簡(jiǎn)單，是本題的最優(yōu)解法；
方法三：由時(shí)，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；
方法四：將通項(xiàng)公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可，其中數(shù)列的前項(xiàng)和借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡(jiǎn)化了運(yùn)算．
8．【答案】???? 5????
【解析】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過(guò)程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設(shè)，
則，
兩式作差得：


，
因此，.
故答案為：；.