2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)四十三講29 解決空間問題中的平行與垂直問題（十一大經(jīng)典題型）（原卷附答案）

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)四十三講29 解決空間問題中的平行與垂直問題（十一大經(jīng)典題型）（原卷附答案），共47頁。試卷主要包含了定義，判定方法，性質(zhì)定理，.已知分別是的中點.等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?考向29解決空間問題中的平行與垂直問題

經(jīng)典題型一：平行的判定
經(jīng)典題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法
經(jīng)典題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法
經(jīng)典題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行
經(jīng)典題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行
經(jīng)典題型六：面面平行的證明
經(jīng)典題型七：面面平行的性質(zhì)
經(jīng)典題型八：垂直性質(zhì)的簡單判定
經(jīng)典題型九：證明線線垂直
經(jīng)典題型十：證明線面垂直
經(jīng)典題型十一：證明面面垂直

方法技巧一：直線和平面平行
1．定義
直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥
2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言
圖形語言
符號語言
線∥線線∥面
如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行


面∥面線∥面
如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面


3．性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言
圖形語言
符號語言
線∥面線∥線
如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行


方法技巧二：兩個平面平行
1．定義
沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥
2．判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理線∥面面∥面
如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行



線面面∥面
如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行

∥
3．性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言
圖形語言
符號語言
面//面
線//面
如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面


性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）


面//面
線面
如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線


方法技巧三：直線與平面垂直的定義
如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．
方法技巧四：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言
圖形語言
符號語言
判斷定理
一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直


面⊥面?線⊥面
兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直


平行與垂直的關(guān)系
一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直




平行與垂直的關(guān)系
兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直


方法技巧五：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言
圖形語言
符號語言
性質(zhì)定理
垂直于同一平面的兩條直線平行


垂直與平行的關(guān)系
垂直于同一直線的兩個平面平行




線垂直于面的性質(zhì)
如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直


方法技巧六：平面與平面垂直的定義
如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
方法技巧七：判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直


方法技巧八：性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言
圖形語言
符號語言
性質(zhì)定理
兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直



一．線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．


（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結(jié)合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對邊，不同向進(jìn)面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面．
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
二．線線線面面面
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數(shù)量積為零；
⑥線面垂直的性質(zhì)；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質(zhì)（）；
平行線垂直平面的傳遞性（）；
⑤面面垂直的性質(zhì)（）．
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）．
空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置．


經(jīng)典題型一：平行的判定
1．（2022·河南·寶豐縣第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））在正方體中，P，Q分別為AB，CD的中點，則（????）
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線平面，表示直線，表示平面，有以下四個結(jié)論：①；②；③；④若與相交，則與相交.其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（????）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，，為正方體的兩個頂點，，，為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（????）
A． B．
C． D．
經(jīng)典題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法
4．（2022·北京四中高三開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，，，是中點.

求證：平面；




5．（2022·北京·高三開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，側(cè)面，都是正方形，∠ABC為直角，，M，N分別為，AC的中點.

求證：平面；




6．（2022·江蘇省包場高級中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點M是AC與BD的交點，點N在線段PB上，且PN＝PB.

證明：MN平面PDC；




經(jīng)典題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法
7．（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面，，且，，為棱的中點.

求證：平面；




8．（2022·安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)高三階段練習(xí)）在等腰梯形（圖1）中，，是底邊上的兩個點，且.將和分別沿折起，使點重合于點，得到四棱錐（圖2）.已知分別是的中點.

證明：平面.




9．（2022·云南·高三階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點.

證明：直線平面；




經(jīng)典題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在長方體中，AB=4，，G為AB的中點，E，F(xiàn)分別在線段，AC上，且，求證：平面.





11．（2022·福建省福州第一中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別在，上，且，，沿將四邊形折成四邊形，使點在平面上的射影H在直線上．

求證：平面；




12．（2022·四川巴中·模擬預(yù)測（理））如圖，正方形和直角梯形所在平面互相垂直，，，且，．

證明：平面；




13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形BCEF為直角梯形，BF//CE，BF⊥BC，，BF=2，AB=1，．

(1)求證：BC⊥AF；
(2)求證：AF//平面DCE；




14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱中分別為，，，的中點，求證：∥平面





經(jīng)典題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行
15．（2022·吉林省實驗中學(xué)模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的菱形，，點D為棱上動點（不與A，C重合），平面與棱交于點E．

求證；




16．（2022·福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，，，.記平面與平面的交線為.

證明：；




17．（2022·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）如圖，三棱柱中，平面平面，過的平面交線段于點（不與端點重合），交線段于點.

(1)證明：；




經(jīng)典題型六：面面平行的證明
18．（2022·上?！じ呷_學(xué)考試）在如圖所示的多面體中，，四邊形為矩形，，．

(1)求證：平面平面；




19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱柱的底面為正方形，為的中點，，求證：平面∥平面





20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點．證明：平面平面；





21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，是所在平面外的一點，、、分別是、、的重心，求證：平面平面.





經(jīng)典題型七：面面平行的性質(zhì)
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示正四棱錐，，P為側(cè)棱上的點．且，求：

(1)正四棱錐的表面積；
(2)側(cè)棱上是否存在一點E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．




23．（2022·山西長治·模擬預(yù)測（理））在四棱錐中，底面平分為的中點，，分別為上一點，且.

(1)求的值，使得平面；




24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在三棱柱中，點、分別是、上的點，且平面平面，試求的值.




經(jīng)典題型八：垂直性質(zhì)的簡單判定
25．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）在正方體中，點在線段上，點為線段的中點，記平面平面 ，則下列說法一定正確的是（????）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
26．（2022·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知正方體中，是的中點，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．與相交 B．
C．平面 D．平面
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是平面內(nèi)的兩條直線，是空間的一條直線，則“”是“且”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知是正方體的中心O關(guān)于平面的對稱點，則下列說法中正確的是（????）

A．與是異面直線 B．平面
C． D．平面
經(jīng)典題型九：證明線線垂直
29．（2022·河北邯鄲·高三開學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，平面平面.

(1)證明：；




30．（2022·河南·商丘市第一高級中學(xué)高三開學(xué)考試（文））如圖，三棱柱中，，交于點O，AO⊥平面.

(1)求證：；




31．（2022·安徽·合肥市第十中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，點是的中點.

(1)求證：；




經(jīng)典題型十：證明線面垂直
32．（2022·廣西·模擬預(yù)測（文））如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是菱形，是的中點.

(1)證明：平面；




33．（2022·遼寧朝陽·高三階段練習(xí)）如圖，在多面體中，平面，四邊形是平行四邊形.為的中點.

(1)證明: 平面.




34．（2022·廣西·模擬預(yù)測（理））如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是菱形，是的中點.

(1)證明：平面；




經(jīng)典題型十一：證明面面垂直
35．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））在三棱柱中，平面平面，三角形是等邊三角形，，．

(1)證明：平面平面；




36．（2022·湖南·模擬預(yù)測）如圖，在以P，A，B，C，D為頂點的五面體中，四邊形ABCD為等腰梯形，∥，，平面平面，．

(1)求證：平面平面；




37．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖（一）所示，四邊形ABCD是等腰梯形，，，，，過D點作，垂足為E點，將沿DE折到位置如圖（二）所示，且.

(1)證明：平面平面EBCD；




38．（2022·江蘇省高郵中學(xué)高三開學(xué)考試）在四棱錐中，．

(1)證明：平面平面﹔





1．（多選題）（2022·全國·高考真題）已知正方體，則（????）
A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為
C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為
2．（多選題）（2021·全國·高考真題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（????）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津·高考真題）直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．

求證：平面；




4．（2022·全國·高考真題（理））在四棱錐中，底面．

證明：；




5．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點．

證明：；




6．（2022·全國·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點．

證明：平面；




7．（2022·全國·高考真題（文））如圖，四面體中，，E為AC的中點．

(1)證明：平面平面ACD；
(2)設(shè)，點F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．




8．（2022·全國·高考真題（文））小明同學(xué)參加綜合實踐活動，設(shè)計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．

(1)證明：平面；
(2)求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）．




9．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點．

求證：平面；





經(jīng)典題型一：平行的判定
1．【答案】D
【解析】如圖，因為，而與平面相交，則A選項不正確；

因為，，所以平面平面，
而平面與平面相交，則B選項不正確；
在矩形中，與不垂直，即與平面不垂直，則C選項不正確；
設(shè)的中點為G，因為，所以，
又因為，，所以，
所以平面，所以平面平面，則D選項正確.
故選：D.
2．【答案】C
【解析】對于①，或，故①錯誤；
對于②，，，又，所以，故②正確；
對于③，，，故③正確；
對于④，若與相交，則與相交或平行，故④錯誤.
故正確的結(jié)論的個數(shù)是2.
故選：C.
3．【答案】A
【解析】對A，如圖，易得平面平面，但平面與相交，故直線與平面不平行；

對B，如圖，為所在棱的中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)有，且，，故平行四邊形，故，故，故直線與平面平行.

對C，根據(jù)中位線與平行四邊形的性質(zhì)，同理可得，直線與平面平行；

對D，根據(jù)中位線與平行四邊形的性質(zhì)，同理可得，直線與平面平行；

故選：A??
經(jīng)典題型二：線面平行構(gòu)造之三角形中位線法
4．【解析】連接，交于點N，連接，如圖

直三棱柱中，是的中點，又是中點，
所以，又平面，平面，
所以平面.
5．【解析】連接， 在中，
因為是，的中點，
所以∥，?????????????????????????????????????????????????
又平面，平面???????????????????????????
所以平面.
6．【解析】在四邊形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1，
可得△ABD≌△CBD，可得AC⊥BD，且M為AC的中點，
由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，可得DM＝CDcos 60°＝，AC＝2CDsin 60°＝，
則BM＝×＝，由＝＝，可得MN∥PD，
而MN?平面PCD，PD?平面PCD，可得MN∥平面PDC.
經(jīng)典題型三：線面平行構(gòu)造之平行四邊形法
7．【解析】在四棱錐中，取PB的中點E，連OE，CE，如圖，

因為棱的中點，則，，
因平面，有平面，而平面，則，
則有，在直角梯形中，，又是邊長為2的等邊三角形，
即，又，因此，而，則，
于是得四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，
所以平面.
8．【解析】由題意可得，在等腰梯形中，，
在中，因為，
所以，四邊形為正方形.
在四棱錐中，連接，因為分別是的中點，

所以，且，
在正方形中，因為是的中點，
所以，且，
所以，且，
∴四邊形是平行四邊形，，
因為平面，平面，
所以平面；
9．【解析】證明：取中點，連接，
因為為的中點，所以，且，
又為的中點，所以，且，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.
又平面平面，所以直線平面.
經(jīng)典題型四：線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行
10．【解析】在長方體中，取的中點，連接，如圖，

因G為AB的中點，則，而平面，平面，從而平面，
四邊形為矩形，而，則有，又，
即有四邊形為平行四邊形，則，而平面，平面，
從而平面，而，平面，因此平面平面，又平面，
從而平面.
11．【解析】，平面，平面．
平面，
由，同理可得平面，
又，
平面平面，平面，
平面；
12．【解析】由正方形的性質(zhì)知：，又平面，平面，∥平面，
，平面，平面，∥平面，，平面，
平面∥平面，平面，平面；
13．【解析】（1）四邊形ABCD為矩形，即AB⊥BC，又BF⊥BC，平面ABF，，
則有BC⊥平面ABF，而平面ABF，所以BC⊥AF．
（2）因，平面CDE，平面CDE，則平面CDE，
矩形ABCD中，，平面CDE，平面CDE，則平面CDE，
又平面ABF，，于是得平面平面CDE，而平面ABF，所以平面DCE．
14．【解析】證明：∵P，D分別為，的中點，
∴∥，且平面，平面，
∴∥平面，
∵D，N分別為，的中點，
∴∥，且平面，平面，
∴∥平面，又，平面，
∴平面∥平面，
又∵平面PDN，
∴∥平面.
經(jīng)典題型五：利用線面平行的性質(zhì)證明線線平行
15．【解析】，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
；
16．【解析】因為，平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
17．【解析】（1）在三棱柱中，面，面，
所以面，又過的平面面，
所以.
經(jīng)典題型六：面面平行的證明
18．【解析】（1）證明：，平面，平面，平面，
因為四邊形為矩形，則，
平面，平面，平面，
，、平面，因此，平面平面.
19．【解析】證明：因為四棱柱的底面ABCD為正方形，
所以∥，，∥，，
所以∥，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以∥．
又平面，平面，
所以 ∥平面，
同理可證：∥平面．
又，平面,平面
所以平面∥平面．

20．【解析】證明：連接EG，．
因為E，G分別是棱，的中點，所以，．
因為，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，則．
因為平面，平面，
所以平面．
因為E，F(xiàn)分別是棱，的中點，所以．
因為，所以．
因為平面，平面，所以平面．
因為平面，平面，且，
所以平面平面．

21．【解析】連接、，如圖，因、、分別是、、的重心，

則有、、分別為、、的中點，且，
因此， ，
平面，平面，于是得平面，
平面，平面，于是得平面，，平面，
所以平面平面.
經(jīng)典題型七：面面平行的性質(zhì)
22．【解析】（1）正四棱錐中，，，
側(cè)面的高，
正四棱錐的表面積．
（2）

在側(cè)棱上存在一點，使平面，滿足．
理由如下：
取中點為，因為，則，
過作的平行線交于，連接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面，
23．【解析】（1）證明：在中，為直角，且，
所以，可得，
又因為平分，所以，
因為，
由余弦定理可得，所以.
當(dāng)時，，
因為平面，平面，所以平面，
又因為，且平面，平面，所以平面，
因為，且平面，所以平面平面，
又因為平面，所以平面.
24．【解析】連接交于點，連接，如下圖所示：

由棱柱的性質(zhì)可知，四邊形為平行四邊形，所以，為的中點，
因為平面平面，平面平面，平面平面，
，則為的中點，則，
平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
又因為，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，，因此，.
經(jīng)典題型八：垂直性質(zhì)的簡單判定
25．【答案】D
【解析】由題意得，，平面,平面,則平面，又平面平面，∴，因為平面,平面,故平面,因此平面．故D正確
而，平面,平面,則平面,故平面,選項A錯誤，同理選項B錯誤；
由于與相交不垂直，故與平面不垂直，因此不垂直平面，故C錯誤；
故選：D．
26．【答案】B
【解析】對于A，由題意可作圖如下：

因為與異面，故A錯誤；
對于B，連接在正方體中，如下圖：

，平面，因為平面，所以，
因為，所以平面，平面，
所以，故B正確；
對于C，連接，如下圖：

可得平面，因為與不平行，所以不垂直平面，
故C錯誤；
對于D，取中點，連接，如下圖：

則，因為交平面于，不平行平面，即不平行平面，故D錯誤．
故選：B.
27．【答案】A
【解析】當(dāng)時，，所以且；
當(dāng)且，，但，是否相交無法判斷，所以可能成立，也可能不成立．綜上，“”是“且”的充分不必要條件．
故選：A．
28．【答案】B
【解析】

連接、，交于點，連接、，交于點.
連接、、、、.
由題可知，在平面上，所以與共面，故A錯誤；
在四邊形中，且，所以四邊形為平行四邊形.
.
平面，平面，平面，故B正確；
由正方體的性質(zhì)可得，因為，所以，又，平面， ，又，
，而與所成角為，所以顯然與不垂直，故C錯誤；
顯然與不垂直，而平面，所以與平面不垂直，故D錯誤.
故選：B.
經(jīng)典題型九：證明線線垂直
29．【解析】（1）證明：由題意，設(shè)，又，
得，又，
所以，所以，
又平面平面，且平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以；
30．【解析】（1）證明：∵AO⊥平面，平面，∴，
∵，，∴，∴四邊形為菱形，∴，
又，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴.
31．【解析】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因為，，，則，所以，
又，平面，平面，所以平面，平面，所以.
經(jīng)典題型十：證明線面垂直
32．【解析】（1）證明：連接，因為四邊形是菱形，所以，
因為，所以為等邊三角形，所以，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
平面，所以，
因為，即，所以，
又，平面，所以平面；

33．【解析】（1）因為平面，平面，則，而，，平面，
于是得平面，因，且為的中點，即有，
又，因此四邊形是平行四邊形，則，
所以平面．
34．【解析】（1）

連接，因為四邊形是菱形，所以，
因為，所以
為等邊三角形，所以.
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
平面，所以.
因為，即，所以.
又，平面，平面，所以平面；
經(jīng)典題型十一：證明面面垂直
35．【解析】（1）證明：因為，，，
所以，
則，即，
所以，
因為平面平面，且平面平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
36．【解析】（1）（1）因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又因為平面，所以平面平面．
37．【解析】（1）證明：在等腰梯形中，，所以，所以，
因為，，，
可得，，，
在中，由余弦定理得，
在等腰梯形中，，
因為，可得，所以，
又因為面EBCD，，所以面,
因為面，所以平面平面.
38．【解析】（1）在平面四邊形ABCD中，，所以四邊形ABCD是等腰梯形，過點作于,因為四邊形ABCD是等腰梯形，
所以,,
，
所以，所以，
又，BC，平面，所以平面，????????
又平面，所以，平面平面.

1．【答案】ABD
【解析】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，
因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；

連接，因為平面，平面，則，
因為，，所以平面，
又平面，所以，故B正確；
連接，設(shè)，連接，
因為平面，平面，則，
因為，，所以平面，
所以為直線與平面所成的角，
設(shè)正方體棱長為，則，，，
所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；
因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.
故選：ABD
2．【答案】BC
【解析】設(shè)正方體的棱長為，
對于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯誤.

對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.

對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.

對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，
則，
因為，故，故，
所以或其補角為異面直線所成的角，

因為正方體的棱長為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯誤.
故選：BC.
3．【解析】證明：在直三棱柱中，平面，且，則
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、、、、，則，
易知平面的一個法向量為，則，故，
平面，故平面.
4．【解析】證明：在四邊形中，作于，于，
因為，
所以四邊形為等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因為平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因為平面，
所以；

5．【解析】過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、．
∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，則，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中點，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
6．【解析】證明：連接并延長交于點，連接、，
因為是三棱錐的高，所以平面，平面，
所以、，
又，所以，即，所以，
又，即，所以，，
所以
所以，即，所以為的中點，又為的中點，所以，
又平面，平面，
所以平面

7．【解析】（1）由于，是的中點，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）解法1：判別幾何關(guān)系
依題意，，三角形是等邊三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以當(dāng)最短時，三角形的面積最小
過作，垂足為，
在中，，解得，
所以，
所以

過作，垂足為，則，所以平面，且，
所以，
所以.

解法2：等體積轉(zhuǎn)換
，，
是邊長為2的等邊三角形，

連接




8．【解析】（1）如圖所示：

，
分別取的中點，連接，因為為全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．
（2）如圖所示：

分別取中點，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識可知，，，，所以該幾何體的體積等于長方體的體積加上四棱錐體積的倍．
因為，，點到平面的距離即為點到直線的距離，，所以該幾何體的體積．
9．【解析】取的中點為，連接，
由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，
而，則，
而平面，平面，故平面，
而，則，同理可得平面，
而平面，
故平面平面，而平面，故平面，