2023—2024學(xué)年度上學(xué)期2023級高一10月月考數(shù)學(xué)試卷命題人：王鵬    審題人：鄒振斌考試時(shí)間：2023年10月19日一、單選題1．集合，，則（    ）A． B． C． D．2．命題“是無理數(shù)”的否定是（    ）A．不是無理數(shù)         B．不是無理數(shù)C．不是無理數(shù)         D．不是無理數(shù)3．下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價(jià)格：一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價(jià)格37元32元30元27元25元張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（    ）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>      ）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖像大致為（    ）A．  B． C．  D．  6．已知，，則（    ）A．3 B．1 C．-1 D．-57．設(shè)函數(shù)，其中實(shí)數(shù)．若的值域?yàn)?/span>，則a的取值范圍是（    ）A．         B．           C．            D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，為偶函數(shù)，且對任意都有，若，則不等式的解為（    ）A．      B．        C．     D．二、多選題9．已知實(shí)數(shù)a，b，c，則下列命題中正確的是（     ）A．若，，則   B．若且，則C．若，則           D．若，則10．下列說法正確的是（    ）A．函數(shù)的定義域可以是空集B．函數(shù)圖像與y軸最多有一個(gè)交點(diǎn)C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D．若，則定義域、值域分別是，11．已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，且，在單調(diào)遞減，則（    ）A． B．C． D．12．給出定義：若，則稱為離實(shí)數(shù)最近的整數(shù)，記作．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（    ）A．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，值域?yàn)?/span>B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)在上單調(diào)遞增三、填空題13．已知，則的解析式為           .14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為           .15．定義在上的函數(shù)滿足，且，，則不等式的解集為           16．已知，，若任給         ，存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍           四、解答題17．設(shè)集合(1)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.    18．已知，.(1)求的最小值；(2)求的最大值.    19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求，的值；(2)用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；(3)若對于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 20．已知函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，，又．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)求在區(qū)間的最小值；(3)解關(guān)于的不等式：． 21．2020年初，新型冠狀病毒（2019-nCOV）肆虐，全民開啟防疫防制．新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是40歲以上人群，該病毒進(jìn)入人體后有潛伏期，潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間．潛伏期越長，感染到他人的可能性越高．預(yù)防性消毒是有效阻斷新冠病毒的方法之一，針對目前嚴(yán)峻復(fù)雜的疫情，某小區(qū)每天都會對小區(qū)的公共區(qū)域進(jìn)行預(yù)防性消毒作業(yè)．據(jù)測算，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時(shí)間x單位：天）變化的函數(shù)關(guān)系式，近似為，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到消毒作用．(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則消毒時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6天后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值．   22．若函數(shù)同時(shí)滿足：①函數(shù)在整個(gè)定義域是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，則稱函數(shù)是該定義域上的“閉函數(shù)”.（1）判斷是不是上的“閉函數(shù)”？若是，求出區(qū)間；若不是，說明理由；（2）若是“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若在上的最小值是“閉函數(shù)”，求、滿足的條件. 高一10月月考數(shù)學(xué)答案1．C【詳解】由題意知，.故選：C.2．D【詳解】命題“是無理數(shù)”的否定是不是無理數(shù).故選：D.3．C【詳解】設(shè)購買的件數(shù)為，花費(fèi)為元，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最多可購買這種產(chǎn)品件，故選：C.4．C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，所以滿足，即，又函數(shù)有意義，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故選：C5．D【詳解】根據(jù)，根據(jù)分母不為0，則，，根據(jù)得，則，則，排除A、B項(xiàng)；而，其圖像關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最后將其向上平移1個(gè)單位，則得到圖中圖像，且當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：D6．B【詳解】設(shè)，定義域?yàn)?/span>，則，故為奇函數(shù)，又，則，所以.故選：B7．D【詳解】函數(shù)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且注意到，，，所以所求a的取值范圍是．故選：D8．B【詳解】對，滿足，等價(jià)于函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.則可化為，解得.故選：B.9．BC【詳解】對于A，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，故選項(xiàng)B正確；對于C，因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，故選項(xiàng)C正確；對于D，當(dāng)，時(shí)，，，則，不滿足，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10．BD【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，函數(shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集，不能為空集，A錯(cuò)誤；對于B，由函數(shù)的定義，函數(shù)的圖像與直線（軸）最多有一個(gè)交點(diǎn)，B正確；對于C，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，C錯(cuò)誤；對于D，若，則定義域滿足，解得，即函數(shù)定義域?yàn)?/span>，又，，所以，即函數(shù)的值域?yàn)?/span>，D正確；故選：BD．11．BD【詳解】因?yàn)?/span>是定義在R上的偶函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，且兩函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，，，所以BD正確，C錯(cuò)誤；若，則，A錯(cuò)誤.故選：BD12．ABC【詳解】根據(jù)的定義知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，即，所以，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，A正確；函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；由圖象知函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；由圖象知D不正確．故選：ABC．13．【詳解】，令，則，所以，所以.故答案為：.14．[0,1]【詳解】定義域?yàn)?/span>[0,2],由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷，單調(diào)區(qū)間為[0,1].15. 【詳解】，不妨設(shè)，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞減，，不等式兩邊同除以得：，因?yàn)?/span>，所以，即，根據(jù)在上單調(diào)遞減，故，綜上：16．當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的值域?yàn)?/span>，在上的值域?yàn)?/span>，所以在上的值域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，在上的值域?yàn)?/span>，所以，解得：當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，在上的值域?yàn)?/span>，所以，解得：當(dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，值域?yàn)?/span>，不符合題意；綜上：的取值范圍是. 17．1．(1)(2)【詳解】（1）由是的充分條件，則，則（2）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上：18．(1)4(2)【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為.（2）因?yàn)?/span>，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最大值為.19．(1)，(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由于奇函數(shù)在處有定義，所以，，，.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）由（1）知.任取、且，即，則，，所以，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，所以對于任意的恒成立,即對于任意的恒成立,所以，解得或,所以的取值范圍為.20．(1)為奇函數(shù)，證明見解析(2)(3)答案見解析【詳解】（1）為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對稱， 令得，解得，令得所以對任意恒成立，所以為奇函數(shù)，（2）任取，且，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.，即，所以在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最小值為，因?yàn)?/span>，令得，令，得，在區(qū)間的最小值為，（3）由，得，由得，由在上單調(diào)遞增得整理得，即，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解集為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解集為，當(dāng)時(shí)，，解集為，當(dāng)時(shí)，，解集為，綜上所述：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為．21．(1)8  (2)【詳解】（1）依題意，因?yàn)橐淮螄姙?/span>4個(gè)單位的消毒劑，所以濃度，當(dāng)時(shí)，由，解得，所以此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，所以此時(shí)；綜上得，所以一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則消毒時(shí)間可達(dá)8天.（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)天，可得濃度，令，則有，又因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)即時(shí)，，令，解得，所以；當(dāng)即時(shí)，，令，解得，所以；綜上可得：.所以a的最小值為：.22．（1）不是，理由見解析；（2）；（3）且.【詳解】（1）函數(shù)為上的增函數(shù)，若函數(shù)為“閉函數(shù)”，則存在、，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，則，則關(guān)于的方程至少有兩個(gè)不等的實(shí)根，因?yàn)?/span>，故方程無實(shí)根，因此，函數(shù)不是“閉函數(shù)”；（2）因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，若函數(shù)為上的“閉函數(shù)”，則存在、，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，則，所以，關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，設(shè)，則函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）因?yàn)?/span>.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，.所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上也為減函數(shù).①當(dāng)時(shí)，則，上述兩式作差得，因?yàn)?/span>，故，因?yàn)?/span>，則，矛盾；②當(dāng)時(shí)，則有，消去可得，解得，不合乎題意；③當(dāng)時(shí)，則，可得.因此，、滿足的條件為且               .

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