2023湖北省沙市中學(xué)高二下學(xué)期2月月考試題數(shù)學(xué)含解析

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2022—2023學(xué)年度下學(xué)期2021級(jí)二月月考數(shù)學(xué)試卷命題人：陳婷     審題人：肖述友考試時(shí)間：2023年2月23日一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1. 若數(shù)列的前6項(xiàng)為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】觀察每項(xiàng)的特點(diǎn)，分別確定項(xiàng)的符號(hào)以及分子分母的取值的規(guī)律，即可找出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】通過觀察數(shù)列的前6項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故用表示各項(xiàng)的正負(fù)；各項(xiàng)的絕對(duì)值為分?jǐn)?shù)，分子等于各自的序號(hào)數(shù)，而分母是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故第n項(xiàng)的絕對(duì)值是，所以數(shù)列的通項(xiàng)可為，故選：D2. 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，的值為（    ）A. 128 B. 64 C. 63 D. 127【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的求和公式，列出方程，即可求得，從而求得結(jié)果.【詳解】由題意，顯然首項(xiàng)不為0且公比不為1，可得，解得，所以故選:A3. 數(shù)列滿足，則的值為（    ）A.  B. 1 C. 3 D. 2【答案】B【解析】【分析】計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，歸納出數(shù)列的周期性，從而易得結(jié)論．【詳解】由已知，，，，，，，因此數(shù)列是周期數(shù)列，周期是6，所以．故選：B．4. 若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5. 若橢圓的弦AB被點(diǎn)平分，則AB所在直線的方程為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)差法求解得，再根據(jù)點(diǎn)斜式求解即可得答案.【詳解】設(shè)，則所以，整理得，因?yàn)?/span>為弦的中點(diǎn)，所以，所以，所以弦所在直線的方程為，即.故選：A.6. 已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（    ）．A. 30 B. 29 C. 28 D. 27【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴．偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴．故選：B．7. 斐波拉契數(shù)列滿足：，，．該數(shù)列與如圖所示的美麗曲線有深刻聯(lián)系，設(shè)，，給出以下三個(gè)命題：（    ）①；②；③．其中真命題的個(gè)數(shù)為（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】由且即可判斷①的正誤；利用，應(yīng)用累加法判斷②的正誤；由，應(yīng)用累加法判斷③的正誤.【詳解】由，則且，所以，故①正確；由，故②正確；由，則，又，，所以，，，…，，則，故③正確.故選：D8. 已知是圓上兩點(diǎn)，且．若存在，使得直線與的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相交弦長(zhǎng)可得的中點(diǎn)的軌跡方程為圓，又根據(jù)直線的方程可確定，交點(diǎn)的軌跡，若恰為的中點(diǎn)，即圓與圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：圓，半徑，因?yàn)?/span>恰為的中點(diǎn)，直線與圓相交弦長(zhǎng)，所以，的軌跡方程是．又直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，且，則點(diǎn)是兩垂線的交點(diǎn)，所以在以為直徑的圓上，則圓心，半徑為的軌跡方程是由于的斜率存在，所以點(diǎn)的軌跡要除去點(diǎn)，由已知得圓與圓有公共點(diǎn)，，即，又，所以，解得.∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、多選題(本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.)9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的有（    ）A. 是遞減數(shù)列 B. C.  D. 當(dāng)最小時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】由數(shù)列前項(xiàng)和為，可求數(shù)列通項(xiàng)，然后逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，注意到時(shí)也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，，是遞增數(shù)列，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，，當(dāng)最小時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（    ）A. 數(shù)列為遞增數(shù)列 B. C. 為最小項(xiàng) D. 為最大項(xiàng)【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分離常數(shù)法得出，結(jié)合及函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A、C、D；求得即可判斷B．【詳解】，當(dāng)()時(shí)，，且單調(diào)遞減；當(dāng)()時(shí)，，且單調(diào)遞減，則為最小項(xiàng)，為最大項(xiàng)，故C、D正確，A錯(cuò)誤；，，則，故B錯(cuò)誤，故選：CD．11. 已知曲線C的方程為，圓，則（    ）A. C表示一條直線B. 當(dāng)時(shí)，C與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)C. 當(dāng)時(shí)，存在圓N，使得圓N與圓M相切，且圓N與C有4個(gè)公共點(diǎn)D. 當(dāng)C與圓M的公共點(diǎn)最多時(shí)，r的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，由，得，則表示兩條直線；對(duì)于B，C，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行判斷；對(duì)于D，舉反例判斷即可【詳解】由，得，即，則表示兩條直線，其方程分別與，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>到直線的距離，所以當(dāng)時(shí)，直線與圓相切，易知直線與圓相交，與圓有3個(gè)公共點(diǎn)，所以B正確；當(dāng)時(shí)，存在圓，使得圓內(nèi)切于圓，且圓與這兩條直線都相交，即與有4個(gè)公共點(diǎn)與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最大值為4，所以C正確；當(dāng)時(shí)，圓與直線、 交于一點(diǎn)，所以公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，所以D錯(cuò)誤，故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對(duì)方程得，即，從而可得曲線表示的是直線與，從而進(jìn)行分析即可，考查計(jì)算能力，屬于中檔題12. 已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)在雙曲線的右支上,則(   )A. 若直線的斜率為,則B. 使得為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有個(gè)C. 點(diǎn)到兩條漸近線的距離乘積為D. 已知點(diǎn),則的最小值為【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A,設(shè),根據(jù)題意,將直線的斜率為化簡(jiǎn)為二次函數(shù),利用二次函數(shù)求出范圍;對(duì)于B,和各有兩個(gè),可判斷正誤;對(duì)于C,利用點(diǎn)到直線距離公式可求點(diǎn)到兩條漸近線的距離,進(jìn)而判斷C的正誤;對(duì)于D,根據(jù)點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系可求最小值.【詳解】對(duì)于A,由題意可知,,設(shè),則直線的斜率為,,令則，令則在單調(diào)遞減,則故A正確.對(duì)于B,當(dāng),則滿足條件的有兩個(gè);當(dāng),則滿足條件的有兩個(gè);易得不存在滿足,滿足為等腰三角形的有4個(gè),故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,漸近線方程為,即,所以,故C正確.對(duì)于D,點(diǎn)Q與在雙曲線兩側(cè)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),有最小值,此時(shí),故D錯(cuò)誤.故選:AC.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13. 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足①，②是遞增數(shù)列，③，寫出一個(gè)滿足上述三個(gè)條件的一個(gè)數(shù)列通項(xiàng)=________.【答案】(答案不唯一，只要滿足,即可)【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可，【詳解】因?yàn)?/span>，是遞增數(shù)列，所以由且，而，所以，即只需滿足取，則故答案為: 14. 已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前項(xiàng)和為________．【答案】【解析】【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.15. 在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，找到與直線平行且與曲線相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與相切，則切線的斜率為且，令，則，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，將，代入，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P到直線的距離的最小值即為到直線的距離，即，故答案為: 16. 已知是橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，經(jīng)過右焦點(diǎn)，若且，則該橢圓的離心率是_____．【答案】##【解析】【分析】方法一：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由條件證明四邊形為矩形，設(shè)，結(jié)合橢圓的定義求，，利用勾股定理列方程可得關(guān)系由此可求離心率.方法二：設(shè)，，由可得，由可得，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿足橢圓方程列方程，消元可得關(guān)系由此可求離心率.【詳解】方法一：設(shè)橢圓的半焦距為，左焦點(diǎn)為，則因?yàn)?/span>兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，又，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，由橢圓的定義可得，，在，，，，所以，所以，故，，在中，，所以，所以，所以離心率.方法二：設(shè)橢圓的半焦距為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且①，②，②×4－①可得，，因?yàn)?/span>經(jīng)過右焦點(diǎn)，，所以，所以，故，所以，又，所以，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以，所以離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17. 已知數(shù)列為等差數(shù)列．（1），，求；（2）若，求．【答案】（1）11    （2）【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義求出首項(xiàng)公差即可；(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式求解.【小問1詳解】設(shè)公差為，由，解得，所以，【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以.18. 在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)在同一個(gè)圓E上．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若點(diǎn)在圓E上，求的取值范圍．【答案】（1）或5；    （2）[，]．【解析】【分析】(1)利用圓的一般方程，待定系數(shù)法求解；(2)根據(jù)幾何幾何意義求解.【小問1詳解】設(shè)過A、B、C的圓的方程為將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別代入圓的方程，得，解得： 得圓的方程為將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上述所得圓的方程，得解得a＝1或5；【小問2詳解】點(diǎn)在圓E：上，其幾何意義為圓E上的點(diǎn)到距離的平方減1．如圖： ∴的最小值為＝；的最大值為．∴的取值范圍是[，]．19. 在數(shù)列中，，，．（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）利用，化簡(jiǎn)可知，進(jìn)而可知數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列；（2）通過可知，進(jìn)而利用分組求和法計(jì)算即得結(jié)論．【小問1詳解】證明：又數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可知，即， .20. 已知公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且、、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的最大的正整數(shù).【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，結(jié)合可求得的值，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)求和法求出，解不等式即可得出結(jié)果.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，即，整理得，，解得，故.【小問2詳解】解：，所以，，由得，可得，所以，滿足成立的最大的正整數(shù)的值為.21. 汶川震后在社會(huì)各界的支持和幫助下，汶川一中臨時(shí)搭建了學(xué)校，學(xué)校餐廳也做到了保證每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有A、B兩樣菜可供選擇（每個(gè)學(xué)生都將從二者中選一），為了讓學(xué)生們能夠安心上課對(duì)學(xué)生的用餐情況進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查資料表明，凡是在本周星期一選A菜的，下周星期一會(huì)有20％改選B，而選B菜的，下周星期一則有30％改選A，若用分別表示在第個(gè)星期一選A、B菜的人數(shù)．（1）試以表示；（2）若，求的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，問第個(gè)星期一時(shí)，選A與選B的人數(shù)相等？【答案】（1）．（2）；（3）第3個(gè)星期一．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合，即可以用表示；（2）由（1）確定是首項(xiàng)為﹣400，公比為的等比數(shù)列，即可求的通項(xiàng)公式；（3）確定An＝500，利用通項(xiàng)建立方程，即可求得結(jié)論．【詳解】（1）由題可知，∵在本周星期一選A菜的，下周星期一會(huì)有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，∴又，所以整理得：．（2）若，且，設(shè)，則∴，即可以看成是首項(xiàng)為﹣400，公比為的等比數(shù)列．∴； （3）∵又，則由得即第3個(gè)星期一時(shí)，選A與選B的人數(shù)相等．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查求數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列遞推式，從而確定數(shù)列的通項(xiàng)．22. 已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為, 聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進(jìn)而得直線恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點(diǎn)的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?/span>，所以，即，根據(jù),代入整理可得：，        所以，整理化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，由得：，得，結(jié)合可得：， 解得：或（舍）.此時(shí)直線過點(diǎn).令為中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標(biāo)系將原坐標(biāo)系平移，原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)?/span>則，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A點(diǎn)處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點(diǎn)的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點(diǎn)A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對(duì)比項(xiàng)、x項(xiàng)及y項(xiàng)系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡(jiǎn)得，即．故直線的方程為，直線過定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因?yàn)?/span>，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因?yàn)?/span>，所以，即或．當(dāng)時(shí)，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因?yàn)?/span>，即，所以點(diǎn)D在以線段為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．取線段的中點(diǎn)為，則．所以存在定點(diǎn)Q，使得為定值．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過題目條件可知直線過定點(diǎn)，再根據(jù)平面幾何知識(shí)可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法也是本題的通性通法；方法二：通過坐標(biāo)系平移，將原來的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，設(shè)直線的方程為，再通過與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達(dá)定理求出的關(guān)系，從而可知直線過定點(diǎn)，從而可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)，該法是本題的最優(yōu)解；方法三：設(shè)直線，再利用過點(diǎn)的曲線系，根據(jù)比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過定點(diǎn)，故可知定點(diǎn)即為的中點(diǎn)；方法四：同方法一，只不過中間運(yùn)算時(shí)采用了一元二次方程的零點(diǎn)式賦值，簡(jiǎn)化了求解以及的計(jì)算．