絕密★啟用并使用完畢前山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題  2023.10注意事項(xiàng)：1．答卷前，先將自己的考生號等信息填寫在試卷和答題紙上，并在答題紙規(guī)定位置貼條形碼．2．本試卷滿分150分，分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為第1頁至第2頁，第Ⅱ卷為第3頁至第4頁．3．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．4．非選擇題的作答：用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 2. 已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則為（    ）A.  B.  C.  D. 3. “”是“，成立”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4. 設(shè)隨機(jī)變量，滿足：，，則（    ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 75. 設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（    ）A  B.  C.  D. 6. 已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 7. 已知函數(shù)為R上奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（    ）A.  B. C.  D. 8. 已知，，均為單位向量，滿足，，，，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. -1二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 下列說法正確的是（    ）A. 在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1B. 樣本數(shù)據(jù)：27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)與第50百分位數(shù)之和為68C. 已知隨機(jī)變量，若，則D. 將總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，，若，則總體方差10. 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 11. 已知函數(shù)，則（    ）A. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B. 的最小正周期為C. 的圖象關(guān)于直線對稱 D. 的值域?yàn)?/span>R12. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（    ）A. 存在“90°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”B. “70°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”一定是“80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”C. 若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則D. 若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若，則______．14. 已知平面向量，為單位向量，且，若，則______．15. 二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為______．16. 若函數(shù)在區(qū)間恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 在中，內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求；（2）若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積．18. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．19. 如圖，某公園擬在長為8（百米）的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)跑道，跑道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)，的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為，跑道的后一部分為折線段MNP．為保證跑步人員的安全，限定．（1）求A，；（2）求折線段跑道MNP長度的最大值．20. 已知、分別為定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意實(shí)數(shù)均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21. 某品牌女裝專賣店設(shè)計(jì)摸球抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，每位顧客只用一個(gè)會(huì)員號登陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸球的機(jī)會(huì)．已知顧客第一次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為．（1）求值，并探究數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求該顧客第幾次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大，請給出證明過程．22. 已知函數(shù)的最小值為1．（1）求a；（2）若數(shù)列滿足，且，證明：．
絕密★啟用并使用完畢前山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題  2023.10注意事項(xiàng)：1．答卷前，先將自己的考生號等信息填寫在試卷和答題紙上，并在答題紙規(guī)定位置貼條形碼．2．本試卷滿分150分，分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷為第1頁至第2頁，第Ⅱ卷為第3頁至第4頁．3．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．4．非選擇題的作答：用0.5mm黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】化簡集合和，即可得出的取值范圍.【詳解】解：由題意在，中，，∴故選：B.2. 已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則為（    ）A  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】計(jì)算，再計(jì)算共軛復(fù)數(shù)得到答案.【詳解】，則.故選：C3. “”是“，成立”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由，成立求出b的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由，成立，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)，，解得，因此，成立時(shí)，，因?yàn)?/span>?，所以“”是“，成立”的充分不必要條件.故選：A4. 設(shè)隨機(jī)變量，滿足：，，則（    ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A【解析】【分析】二項(xiàng)分布與次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．先利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式求出，再利用方差的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：因?yàn)?/span>，則，又，所以．故選：A．5. 設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由已知條件求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：C.6. 已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義，列式求解.【詳解】∵滿足對任意，都有成立，∴在上是減函數(shù)，，解得，∴a的取值范圍是.故選：C．7. 已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，逐項(xiàng)分析、判定選項(xiàng)，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)為偶函數(shù)，則有，可得，又由為奇函數(shù)，則，則有，所以，即，所以A錯(cuò)誤；對于B中，函數(shù)為偶函數(shù)，則有，所以B不正確；對于C中，由，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，所以C正確；對于D中，由是周期為4的周期函數(shù)，可得，其中結(jié)果不一定為0，所以D錯(cuò)誤.故選：C.8. 已知，，均為單位向量，滿足，，，，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. -1【答案】B【解析】【分析】首先確定向量的夾角，從而構(gòu)建單位圓，確定向量的坐標(biāo)，并利用三角函數(shù)表示，并利用三角函數(shù)求最小值.【詳解】，所以，  根據(jù)，，則,,如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，由，可知，，得，，，其中，所以，則，所以當(dāng)時(shí)，所以的最小值是.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 下列說法正確的是（    ）A. 在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1B. 樣本數(shù)據(jù)：27，30，37，39，40，50的第30百分位數(shù)與第50百分位數(shù)之和為68C. 已知隨機(jī)變量，若，則D. 將總體劃分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為和，，若，則總體方差【答案】ABC【解析】【分析】A由相關(guān)系數(shù)的實(shí)際意義判斷；B由百分位數(shù)定義求出對應(yīng)分位數(shù)判斷；C根據(jù)正態(tài)分布對稱性判斷；D由分層抽樣中樣本、總體間的均值、方差關(guān)系判斷.【詳解】A：由成對數(shù)據(jù)相關(guān)性中相關(guān)系數(shù)實(shí)際意義知：相關(guān)系數(shù)越接近于1，線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，反之也成立，對；B：由，則第30百分位數(shù)與第50百分位數(shù)分別為，故和為68，對；C：由，故，根據(jù)正態(tài)分布對稱性：，對；D：由題意，總體均值為，若兩層樣本容量依次為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，錯(cuò).故選：ABC10. 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】首先由條件得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由，得，則，所以，故A正確；，，則，故B正確；由，則，故C錯(cuò)誤；由，則，故D錯(cuò)誤故選：AB11. 已知函數(shù)，則（    ）A. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 B. 的最小正周期為C. 的圖象關(guān)于直線對稱 D. 的值域?yàn)?/span>R【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷A，根據(jù)周期的定義即可判斷B，根據(jù)即可判斷C，根據(jù)奇偶性以及單調(diào)性即可判斷D.【詳解】令,故的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對稱，有為奇函數(shù)，A正確，，不是的周期，故B錯(cuò)誤，，由于，故是的一條對稱軸，故C正確，令，在單調(diào)遞增，故在上的范圍為，由于為奇函數(shù)，所以在上的范圍為，故的值域?yàn)?/span>R，D正確，故選：ACD12. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則（    ）A. 存在“90°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”B. “70°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”一定是“80°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”C. 若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則D. 若為“45°旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，則【答案】ACD【解析】【分析】對A，舉例說明即可；對B，舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷即可；對CD，將旋轉(zhuǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方程，分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可．【詳解】對于A，如，旋轉(zhuǎn)90°后為滿足條件，故A正確；對于B，如傾斜角為的直線是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對與C，若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個(gè)以上的交點(diǎn)．故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．即與至多1個(gè)交點(diǎn)．聯(lián)立，可得．當(dāng)時(shí)，最多1個(gè)解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，的判別式，對任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意，故．故C正確；對與D，同C，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于1，即對任意的，至多1個(gè)解，故為單調(diào)函數(shù)，由，故恒成立，即恒成立．即圖象在上方，故，即．當(dāng)與相切時(shí)，可設(shè)切點(diǎn)，對求導(dǎo)有，故，解得，此時(shí)，故．故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)中的新定義題目解題策略：①仔細(xì)閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應(yīng)知識進(jìn)行再遷移.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式即可求解.【詳解】由得，故，故答案為：14. 已知平面向量，為單位向量，且，若，則______．【答案】【解析】【分析】代入向量數(shù)量積的夾角公式，即可求解.【詳解】，，所以.故答案為：15. 二項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和被7除所得余數(shù)為______．【答案】6【解析】【分析】利用賦值法可得系數(shù)和為，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的特征可得余數(shù).【詳解】令得，由于，由于，均能被7整除，所以余數(shù)為6，故答案為：616. 若函數(shù)在區(qū)間恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】在時(shí)，，此時(shí)的圖象關(guān)于直線對稱，若，則，易知或時(shí)，，因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故，此時(shí)只能取到，如下圖所示，符合題意；若，則，同上，有，此時(shí)只能取到，如下圖所示，符合題意；綜上.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于對符號的討論，還需要考慮到的對稱性，取零點(diǎn)時(shí)通過數(shù)形結(jié)合注意端點(diǎn)即可.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，．（1）求；（2）若D為BC上一點(diǎn)，且，求的面積．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理求解，即可由三邊求解，進(jìn)而可求正弦值，（2）根據(jù)面積公式即可求解.【小問1詳解】由余弦定理可得：，則，，,所以．【小問2詳解】由三角形面積公式可得，則． 18. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)即可求解，（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>也符合上式．所以．【小問2詳解】由（1）可知，所以．19. 如圖，某公園擬在長為8（百米）的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)跑道，跑道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)，的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為，跑道的后一部分為折線段MNP．為保證跑步人員的安全，限定．（1）求A，；（2）求折線段跑道MNP長度的最大值．【答案】（1），    （2）百米【解析】【分析】（1）由圖象即可得A和函數(shù)的周期，繼而求得；（2）解法一，由（1）的函數(shù)解析式，即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，求出MP的長，在中利用余弦定理結(jié)合基本不等式即可求得答案；解法二，在中利用正弦定理求得的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換化簡，即可求得答案.【小問1詳解】依題意，有，，則，又，∴；【小問2詳解】由（1）知，．當(dāng)時(shí)，，∴．又，∴．解法一：在中，，，由余弦定理得．故，從而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．故折線段賽道MNP最長為百米．解法二：在中，，．設(shè)，則．由正弦定理得，∴，．故．∵，∴當(dāng)時(shí)，取到最大值，即折線段賽道MNP最長，故折線段賽道MNP最長為百米．20. 已知、分別為定義域?yàn)?/span>偶函數(shù)和奇函數(shù)，且.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）對任意實(shí)數(shù)均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為    （2）【解析】【分析】（1）對于將換成結(jié)合奇偶性求出、的解析式，在利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，參變分離可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?/span>①，、分別為定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，所以，即②，①②解得，，所以，，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，即的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，分離參數(shù)得在時(shí)恒成立，由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故最小值為，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.21. 某品牌女裝專賣店設(shè)計(jì)摸球抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，每位顧客只用一個(gè)會(huì)員號登陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸球的機(jī)會(huì)．已知顧客第一次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率為．（1）求的值，并探究數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求該顧客第幾次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大，請給出證明過程．【答案】（1），    （2）第二次，證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，利用抽獎(jiǎng)規(guī)則，結(jié)合全概率公式即可由等比數(shù)列的定義求解，（2）根據(jù)，即可對分奇偶性求解.【小問1詳解】記該顧客第次摸球抽中獎(jiǎng)品為事件A，依題意，，．因?yàn)?/span>，，，所以，所以，所以，又因?yàn)?/span>，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．【小問2詳解】證明：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則隨著n的增大而減小，所以，．綜上，該顧客第二次摸球抽中獎(jiǎng)品的概率最大．22. 已知函數(shù)的最小值為1．（1）求a；（2）若數(shù)列滿足，且，證明：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)的取值；（2）由（1）的結(jié)果可知，，，并設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)，即可證明.【小問1詳解】，．①若，恒成立，可得在上單調(diào)遞增，沒有最小值，不符合題意；②若，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以．【小問2詳解】證明：由（1）可得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則有，因?yàn)?/span>，所以，．令，，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，而，所以，所以，即，即，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值以及不等式的綜合應(yīng)用問題，第二問是本題的難點(diǎn)，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，，并結(jié)合，即可求解.

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