說明：本試卷滿分150分。試題答案請(qǐng)用2B鉛筆和0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效?？荚嚂r(shí)間120分鐘。
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知集合,則下列結(jié)論正確的是
A.B.C.D.
2.在的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為
A.B.C.D.
3.已知為奇函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為
A.B.C.D.
4.在中,“”是“”的
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
5.由這十個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于8的有
A.98個(gè)B.105個(gè)C.112個(gè)D.210個(gè)
6.已知函數(shù)在R上滿足,且當(dāng)時(shí),成立,若,則的大小關(guān)系是
A.B.C.D.
7.若,則
A.-1B.1C.D.-1或
8.已知函數(shù),若有6個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是
A.B.C.[4,5]D.
二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,選對(duì)但不全的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.
9.已知,下列說法正確的是
A.若，則B.若,則
C.D.
10.已知分別為隨機(jī)事件A,B的對(duì)立事件,,則
A.B.
C.若A,B獨(dú)立,則D.若A,B互斥,則
11.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,且,則下列選項(xiàng)正確的是
A.的取值范圍是B.
C.D.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.若,且,則___________.
13.已知二次函數(shù)的值域?yàn)?則的最小值為___________.
14.一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子,六個(gè)面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6.現(xiàn)隨機(jī)地將骰子拋擲三次（各次拋擲結(jié)果相互獨(dú)立），其向上的點(diǎn)數(shù)依次為，則事件“”發(fā)生的概率為_____.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.(13分)已知函數(shù).
（1）求的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
16.(15分)設(shè)是定義在上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)任意,,都有,且.
(1)求;
(2)證明:函數(shù)的一個(gè)周期為2;
(3)記,求.
17.（15分）甲、乙兩家公司進(jìn)行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目，且每門科目是否通過相互獨(dú)立.若小明報(bào)考甲公司，每門科目通過的概率均為，報(bào)考乙公司，每門科目通過的概率依次為，其中.
（1），分別求出小明報(bào)考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；
（2）招聘規(guī)則要求每人只能報(bào)考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)小明更希望通過乙公司的筆試時(shí)，求的取值范圍.
18.(17分)已知函數(shù)；
（1）求函數(shù)的極值;
（2）若不等式當(dāng)且僅當(dāng)在區(qū)間上成立（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求ab的最大值;
（3）實(shí)數(shù)m,n滿足,求證:.
19.(17分)已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是關(guān)于的函數(shù),給定集合U且，當(dāng)取U中不同的數(shù)值時(shí)可以得到不同的函數(shù).例如：定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，有，若存在非空集合滿足當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上存在零點(diǎn),則稱是上的“悅動(dòng)函數(shù)”.
（1）設(shè)，若函數(shù)是上的“悅動(dòng)函數(shù)”，求集合；
（2）設(shè),若不存在集合使為上的“悅動(dòng)函數(shù)”，求所有滿足條件的集合的并集；
（3）設(shè)為上的“悅動(dòng)函數(shù)”，滿足，，若對(duì)于任意，均有的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最大值.
山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三第一次診斷考試
數(shù)學(xué)試題答案2024.10
一、單項(xiàng)選擇題
BCDADBCD
二、多項(xiàng)選擇題
BCDACDBCD
三、填空題
四、解答題
15.（13分）解：（1）
……………………..3分
則；………………………………………………………5分
（2）令:,解得
的單調(diào)遞增區(qū)間為:；……………………………9分
（3）因?yàn)椤?1分
,
在區(qū)間上的值域?yàn)?.………………………………………13分
16.（15分）解：（1）因?yàn)閷?duì)任意的,都有,
所以,……………………………………1分
又,
,……………………3分
………………………………………………………………5分
（2）因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故,
即……………………………………………………………7分
又是偶函數(shù),
所以,……………………………………………………………9分
,
將上式中以代換,得（這一步不寫不扣分）
則是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期……………………………………………10分
(3)由（1）知,
………………………………………………………………12分
所以……………………………………………………………………………………15分
的一個(gè)周期是2,
,因此.……………………………………………………………15分
17.（15分）解：（1）設(shè)小明報(bào)考甲公司恰好通過一門筆試科目為事件，小明報(bào)考乙公司恰好通過一門筆試科目為事件，………………………………………………………………………………………1分
根據(jù)題意可得，……………………………………………………………3分
..……………………………………………………6分
(2)設(shè)小明報(bào)考甲公司通過的科目數(shù)為，報(bào)考乙公司通過的科目數(shù)為，
根據(jù)題意可知，，則，……………………………………………8分
的取值為0,1,2,3,…………………………………………………………………………………………9分
………………………………………………………………………………13分
所以,……………………………………………14分
令,即,解得,
即的取值范圍是……………………………………………………………………………15分
18.(17分)解:（1）由函數(shù)，得
,…………………………………………………………………………………………1分
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,…………………………………………3分
所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極小值,無極大值.…………………………………………………4分
(2)(法一)函數(shù),求導(dǎo)得,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
依題意,,即,解得,…………………………………………………6分
當(dāng)時(shí)，令，
,所以在單調(diào)遞增,………………………………7分
因?yàn)?所以存在唯一實(shí)數(shù)
在上,,在，
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,………………………………………………8分
因?yàn)?
又
所以不等式在區(qū)間上成立………………………………………9分
于是,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
所以ab的最大值是.………………………………………………………………………………10分
（法二），……………………………………………………5分
令,則,
若,則恒成立,所以在單調(diào)遞增,…………………………………………7分
所以,即.
所以,當(dāng)時(shí),ab取最大值.…………………………………………………8分
若,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),不等式在成立,不合題意,當(dāng)時(shí),.…9分
綜上ab的最大值.……………………………………………………………………………10分
（3）（法一）依題意，,……11分
令,由,得,令,求導(dǎo)得,
函數(shù)在上單調(diào)遞增,,因此,
即,于是;
,…………………14分
令,求導(dǎo)得,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
,…………………………………………………………………………………16分
因此,即,則,
所以…………………………………………………………17分
(法二)
.……………………………………………………………………………13分
令,則
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,
所以,即,………………………………………………………15分
所以成立,即原不等式成立.………………17分
19.（17分）解：（1）依題意，所求的A為使得在上有零點(diǎn)的全體。
由于在上有零點(diǎn)，
等價(jià)于關(guān)于的方程在上有解，
注意到當(dāng)時(shí)，的取值范圍是(0,9]，…………………………………………………………2分
故關(guān)于的方程在上有解,
當(dāng)且僅當(dāng),從而所求.………………………………………………………………4分
（2）依題意，不存在集合A使為A上的“悅動(dòng)函數(shù)”，
當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的在上都不存在零點(diǎn).
這表明，全體滿足條件的的并集，
就是使得在上不存在零點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合。
從而我們要求出全部的,
使得在上沒有零點(diǎn)，
即關(guān)于的方程在上沒有解.………………………………6分
該方程在上可等價(jià)變形為，
①當(dāng)時(shí)，方程恒無解，…………………………………………………………………………7分
②當(dāng)時(shí),可變形為.
因?yàn)?所以令,解得或分
綜上，使得在上沒有零點(diǎn)的構(gòu)成的集合為，
故所求的集合為.…………………………………………………………………10分
（3）首先用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意正整數(shù)，有.
當(dāng)時(shí),有,故結(jié)論成立;
假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，即，則有:
故結(jié)論對(duì)也成立。
綜上，對(duì)任意正整數(shù)，有。
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)，
有,
所以在上沒有零點(diǎn)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，對(duì)，
有，
,
從而在上一定存在零點(diǎn),
所以在上一定有零點(diǎn).
故對(duì)在上有零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是偶數(shù).……………………………………………13分
因此,只需要求實(shí)數(shù)的最大值,使得對(duì)于任意,
均有的零點(diǎn).
我們現(xiàn)在有，
由于當(dāng)時(shí)，
有
故在上的零點(diǎn)必定大于2.
而對(duì)任意給定的，我們定義函數(shù)，
則。
取,
則當(dāng)時(shí)，
有,
這表明在上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí)，
有，
取正整數(shù),使得且,
則我們有
,
但我們又有,
這表明在上必有一個(gè)零點(diǎn),
從而在上必有一個(gè)滿足的零點(diǎn).………………………………………16分
綜上所述,的最大值是2.……………………………………………………………………………17分

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