山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第二次診斷考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2024.11
說(shuō)明：本試卷滿分150分.試題答案請(qǐng)用2B鉛筆和0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無(wú)效.考試時(shí)間120分鐘.
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1 設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)m=（）
A. 0B. C. 0或D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
所以或.
故選：C
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出,即可得出結(jié)果.
【詳解】由可得
，
所以的虛部是.
故選：A
3. 已知等比數(shù)列中，，則（）
A. 4B. C. 8D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)，結(jié)合同號(hào)可得.
【詳解】由等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，
又，所以.
故選：A
4. 設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分和兩種情況進(jìn)行求解即可得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，則，解得；
當(dāng)時(shí)，則，解得．
綜上，的取值范圍是．
故選：A．
5. 已知?jiǎng)t等于
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用和差角公式及同角關(guān)系式求得的值，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即得.
【詳解】，
，，
，
，
，
.
故選：C.
6. 已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得，利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的知識(shí)得，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.
故選：D
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正的值范圍.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
由在區(qū)間上有最小值，
得在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，
令，則在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，
因此，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D
8. 將一枚均勻的骰子獨(dú)立投擲兩次,所得的點(diǎn)數(shù)依次記為x,y,記A事件為“>”,則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可以分析出，拋擲兩次總的基本事件有36個(gè)，隨后進(jìn)行列舉分析.
【詳解】拋擲兩次總的基本事件有36個(gè).當(dāng)x=1時(shí),沒有滿足條件的基本事件；
當(dāng)x=2時(shí)，y=1滿足；當(dāng)x=3時(shí)，y=1，2，6滿足；當(dāng)x=4時(shí)，y=1，2，3，5，6滿足；
當(dāng)x=5時(shí)，y=1，2，6滿足；當(dāng)x=6時(shí)，y=1滿足.
總共有13種滿足題意，所以P(A)=.
故選：C.
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.
B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 是偶函數(shù)
D. 將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由最值求，由周期求，結(jié)合特殊點(diǎn)的三角函數(shù)值求，進(jìn)而可求函數(shù)解析式；將代入計(jì)算，得到最小值就可判斷；利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行判斷為奇函數(shù)即可判斷；直接進(jìn)行伸縮變化即可判斷．
【詳解】A．由圖可得，，，解得，
又函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，
因?yàn)椋?，解得，故，故A正確；
B．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)取得最小值，
的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；
C．是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，
得到函數(shù)的圖象，故D正確，
故選：ABD．
10. 如圖，在四邊形中，，，，，，則下列結(jié)果正確的是（）
A. B.
C. D. 的面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)A，由已知條件利用向量數(shù)量積運(yùn)算得解；對(duì)B，在中，由余弦定理可得解；對(duì)C，在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求得答案；對(duì)D，求出，利用三角形面積公式求解.
【詳解】對(duì)于A，如圖，連接，由，
解得，又，所以，故A正確；
對(duì)于B，在中，由余弦定理得，，
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，?br>，，，
在中，由正弦定理，，即
解得，
在中，由余弦定理可得，
即，則，故C正確；
對(duì)于D，在中，，，，
，
，故D正確.
故選：ACD.
11. 數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）.給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）
A. 圖形關(guān)于軸對(duì)稱
B. 曲線恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
C. 曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)
D. 曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3
【答案】ACD
【解析】
【分析】將換成方程不變，得到圖形關(guān)于軸對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，分類討論，逐一判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A，將換成方程不變，所以圖形關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，代入可得，解得，即曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，方程變換為，由，解得，所以只能取整數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，解得或，即曲線經(jīng)過(guò)，
根據(jù)對(duì)稱性可得曲線還經(jīng)過(guò)，故曲線一共經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由可得，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，，即曲線上軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)，
根據(jù)對(duì)稱性可得：曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，故C正確；
對(duì)于D，如圖所示，
在軸上圖形的面積大于矩形的面積：，軸下方的面積大于等腰三角形的面積：，
所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于，故D正確；
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，以及曲線與方程的應(yīng)用，其中解答中合理利用圖形的對(duì)稱性，逐一判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若為偶函數(shù)，則________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?br>所以，即，
則，故，
此時(shí)，
所以，
又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，
所以.
故答案為：2.
13. 已知向量滿足，則的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量減法的幾何意義確定點(diǎn)的軌跡，然后由數(shù)量積性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)椋?，整理得?br>所以，作，
因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，
因，所以，
記的夾角為，則，
所以，當(dāng)向量與向量同向時(shí)，取得最大值.
故答案為：
14. 定義：如果集合存在一組兩兩不交（任意兩個(gè)集合交集為空集時(shí)，稱為不交）的非空真子集，且，那么稱無(wú)序子集組構(gòu)成集合的一個(gè)劃分.若使函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的的取值集合為，則集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為__________.
【答案】14
【解析】
【分析】通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定，再結(jié)合新定義即可求解.
【詳解】函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則，
，
集合有4個(gè)元素，集合的2劃分個(gè)數(shù)為，
集合的3劃分個(gè)數(shù)為，集合的4劃分個(gè)數(shù)為1，
故集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為14.
故答案為：14
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義由前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；
（2）易知是公比為4的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)的公差為，
由可得，
解得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，
易知是公比為4的等比數(shù)列，
所以可得.
16. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求的值；
（2）若點(diǎn)在邊上，且，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）法一，由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和正弦公式以及誘導(dǎo)公式即可得證；法二，去分母利用射影定理可得結(jié)論；法三，去分母結(jié)合余弦定理可得結(jié)論；
（2）法一，首先在和中，運(yùn)用兩次余弦定理，得，，結(jié)合平方關(guān)系、三角形面積公式即可得解.法二，，，可求得，下同法一.法三，利用，兩邊平方結(jié)合余弦定理可求得，下同法一.
【小問(wèn)1詳解】
（法一）因?yàn)椋?br>由正弦定理知，
所以3，
所以3，
即，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，即.
（法二）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
由射影定理得，即.
（法三）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，即.
【小問(wèn)2詳解】
（法一）在中，，
在中，，
所以，所以，
所以，因?yàn)锽∈0,π，
所以，
所以.
（法二），
，
所以，解之得.
下同法一.
（法三）因?yàn)椋?br>所以①，
②，
將②代入①得，解之得，
下同法一.
17. 已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若有三個(gè)極值點(diǎn)，求正數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分，與討論，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，然后將極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根問(wèn)題，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
，則
當(dāng)時(shí)，的兩根為.
①若在上單調(diào)遞增；
②若，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
③若，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
④時(shí)，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
由函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)可知在上至少有三個(gè)實(shí)數(shù)根；顯然，則需方程，
也即有兩個(gè)不等于3的不相等的實(shí)數(shù)根；
由可得，
令，則，
顯然當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；
所以，
畫出函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖像，
由圖可得且時(shí)，在上有兩個(gè)不等于3的相異的實(shí)數(shù)根，
經(jīng)檢驗(yàn)可知當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)在左右符號(hào)不同，即均是的變號(hào)零點(diǎn)，滿足題意；
因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于分類討論以及合理構(gòu)造函數(shù)求解.
18. 口袋中共有7個(gè)質(zhì)地和大小均相同的小球，其中4個(gè)是黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，直到將4個(gè)黑球全部取出時(shí)停止.
（1）記總的抽取次數(shù)為X，求E（X）；
（2）現(xiàn)對(duì)方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個(gè)球分裝在甲乙兩個(gè)口袋中，甲袋裝3個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球；乙袋裝4個(gè)小球，其中2個(gè)是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個(gè)小球，當(dāng)甲袋的2個(gè)黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋的2個(gè)黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求E（Y）并從實(shí)際意義解釋E（Y）與（1）中的E（X）的大小關(guān)系.
【答案】（1）
（2）6，答案見解析
【解析】
【分析】（1）確定X可能取值為4，5，6，7，分別求出概率后，由期望公式計(jì)算出期望；
（2）Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，利用獨(dú)立事件概率公式求得的概率，再由期望公式計(jì)算出期望，根據(jù)白球?qū)θ〉胶谇虻挠绊懻f(shuō)明期望的大小關(guān)系．
【小問(wèn)1詳解】
X可能取值為4，5，6，7，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
Y可能取值為4，5，6，7，設(shè)甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，
，
，
，
，
.
在將球分裝時(shí)，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此時(shí)甲袋中還有其它球，則該球的干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要取出4個(gè)黑球，調(diào)整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.
19. 設(shè)為正整數(shù)，為正實(shí)數(shù)列．我們稱滿足（其中）的三元數(shù)組為“比值組”.
（1）若，且為等差數(shù)列，寫出所有的比值組；
（2）給定正實(shí)數(shù)，證明：中位數(shù)為4（即中）的比值組至多有3個(gè)；
（3）記比值組的個(gè)數(shù)為，證明：.
【答案】（1）；
（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由以及等差數(shù)列性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)比值組定義對(duì)和相應(yīng)的取值進(jìn)行分類討論即可得解.
（2）依據(jù)題意得固定時(shí)，則至多有一個(gè)使得成立，接著由得的取值有三種即可得證.
（3）由固定時(shí)，則至多有一個(gè)使得成立，結(jié)合值的取法數(shù)可得的三元數(shù)組的個(gè)數(shù)為，同理得固定時(shí)，進(jìn)而得，再對(duì)分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況計(jì)算即可得證.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，
若，則，，
所以當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)比值組為；
當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)比值組為；
當(dāng)且時(shí)，，即，不符合；
當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)比值組為；
當(dāng)且時(shí)，，即，不符合；
當(dāng)且時(shí)，，即，此時(shí)比值組為；
當(dāng)且時(shí)，，不符合；當(dāng)且時(shí)，，不符合；
綜上，若且為等差數(shù)列的所有的比值組為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，?br>所以當(dāng)固定時(shí)，則至多有一個(gè)使得成立，
因?yàn)?，所以或或共三種取法，
所以中位數(shù)為4（即中）的比值組至多有3個(gè).
【小問(wèn)3詳解】
對(duì)給定的，滿足，且①的三元數(shù)組的個(gè)數(shù)記為，
因?yàn)?，所以?dāng)固定時(shí)，則至多有一個(gè)使得①成立，
因?yàn)?，所以值有種取法，故，
同理，若當(dāng)固定時(shí)，則至多有一個(gè)使得①成立，
因，所以值有種取法，故，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
則有
，
所以綜上，記比值組的個(gè)數(shù)為，則.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求證的關(guān)鍵1是得出固定時(shí)至多有一個(gè)使得成立，從而結(jié)合值的取法數(shù)可得的三元數(shù)組的個(gè)數(shù)為，同理得固定時(shí)，進(jìn)而得，關(guān)鍵2是明確到影響到的大小，而的奇偶性影響的取值，進(jìn)而對(duì)分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況計(jì)算并將分成兩部分計(jì)算即可得證.

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