儀隴中學(xué)2023—2024學(xué)年度上期第一次月考高二數(shù)學(xué)試卷命題人：何文科  審題人：張虹滿分：150分  考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題（每小題5分，共40分）1．若，則的虛部為（    ）A．     B．－1     C．1     D．32．下列給出的圖形中，繞給出的軸旋轉(zhuǎn)一周，能形成圓臺(tái)的是（    ）A．  B．   C．   D．3．已知角終邊上有一點(diǎn)，則為（    ）
A．第一象限角     B．第二象限角C．第三象限角     D．第四象限角4．一個(gè)水平放置的平面四邊形采用斜二側(cè)畫法得到的直觀圖是菱形，如圖所示，則平面四邊形的形狀為（    ）A．正方形     B．長(zhǎng)方形   C．菱形     D．梯形5．已知，若，則的最小值為（    ）A．5      B．6    C．7     D．96．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)到平面的距離是（    ）A．      B．   C．     D．7．計(jì)算等函數(shù)值時(shí)，計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過計(jì)算該多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)近似值，如，，其中，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（B.Taylor,1685－1731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，從中可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出和的值也就越精確．運(yùn)用上述思想，可得到的近似值為（    ）A．－0.50     B．－0.52    C．－0.54    D．－0.568．在直三棱柱中分別為的中點(diǎn)，沿棱柱的表面從到兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為（    ）A．     B．   C．    D．二、多選題（每小題5分，選錯(cuò)不得分，部分選對(duì)得2分，共20分）9．在中，三個(gè)內(nèi)角分別為，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．B．若，則是銳角三角形C．D．若，則10．已知向量，則（    ）A．    B．C．    D．11．下列命題中，真命題的是（    ）
A．，都有B．，使得C．若，則D．式子的最小值為212．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列命題正確的是（    ）A．三棱錐的體積不變B．直線與直線的所成角的取值范圍為C．直線與平面所成角的大小不變D．二面角的大小不變第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（每小題5分，共20分）13．從某小學(xué)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中樣本數(shù)據(jù)分組，則=______．14．已知，若，則=______．15．電流隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時(shí)的電流為______．16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)做面，使得，則面與正方形的交線的長(zhǎng)度為______．四、解答題（第17題10分，其余各題每題12分，共70分）17．已知（1）求的坐標(biāo)；（2）若四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．18．習(xí)近平總書記指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會(huì)心態(tài)。”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用．某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分100分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分心理等級(jí)有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知調(diào)查評(píng)分在[70，80）的市民為400人．（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取3人，進(jìn)行心理疏導(dǎo)．據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評(píng)分在的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問在抽取的3人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少？19．如圖，矩形所在平面與直角梯形所在的平面垂直，．（1）求證：；（2）若，求證：．20．已知函數(shù)．（1）求的值．（2）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．（3）求在區(qū)間上的最大值和最小值．21．在四棱錐中，．底面為梯形，，且．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；22．已知．（1）求函數(shù)在的最小值．（2）對(duì)于任意，都有成立，求的取值范圍．參考答案：1．B  2．A  3．D  4．B  5．D  6．A【解析】由，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以由題意可知，即，所以．故選：A．7．C【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式，結(jié)合題中所給公式進(jìn)行求解即可．【詳解】．故選：C8．B【詳解】由題意得直三棱柱底面為等腰直角三角形．①若把面和面展開在同一個(gè)平面內(nèi)，則線段在直角三角形中，由勾股定理得②若把面和面展開在同一個(gè)平面內(nèi)，設(shè)的中點(diǎn)為，在直角三角形中，由勾股定理得．③若把面和面展開在同一個(gè)面內(nèi)，過作與行的直線，過作與平行的直線，所作兩線交于點(diǎn)，則在直角三角形中，由勾股定理得．綜上可得從到兩點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)度為．答案：9．BC【分析】利用誘導(dǎo)公式可判定；注意考察角可能為鈍角，判定B；由，根據(jù)三角形內(nèi)角的范圍，利用三角函數(shù)線可得或，利用三角形內(nèi)角和定理否定后者，即可判定D正確．【詳解】對(duì)A：∵，∴，∴，故A正確；對(duì)B：若，則為銳角，但或可能是鈍角，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，由于，∴或，但在三角形中不可能有，故，故D正確．故選：BC．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)線，和三角函數(shù)值的符號(hào)的綜合應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．10．CD【分析】根據(jù)空間向量的模長(zhǎng)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平行、垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】對(duì)于A，∵，∴，∴，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵，則，則，故C正確；對(duì)于D，∵，∴，∴，故D正確．故選：CD．11．ABC【分析】AC選項(xiàng)，作差法比較出大小；B選項(xiàng)，解方程，得到，B正確；D選項(xiàng)，利用基本不等式進(jìn)行求解．【詳解】A選項(xiàng)，，故，都有，A正確；B選項(xiàng)，變形得到，解得，故，使得，B正確；C選項(xiàng)，，因?yàn)?/span>，所以，故，故，C正確；D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，但無實(shí)數(shù)解，故式子的最小值不是2，D錯(cuò)誤．故選：ABC12．ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由已知可得，可得上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，由此可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由，可得直線與直線的所成角即為直線與直線的所成角，由此可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，即二面角的大小不受影響，故D正確．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，，，所以，所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，又，所以三棱錐的體積不變，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以直線與直線的所成角即為直線與直線的所成角，因?yàn)?/span>為等腰直角三角形，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角和直線與平面所成的角不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，即二面角的大小不受影響，故D正確．故選：ABD．13．0.0214．1【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解．【詳解】由向量，因?yàn)?/span>，可得，解得．故答案為：1．15．0【分析】根據(jù)圖象可求函數(shù)的解析式，從而可求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．【詳解】由函數(shù)的圖象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案為：0．16．【分析】首先取的中點(diǎn)，連接，易證，從而得到點(diǎn)在平面的軌跡為，再計(jì)算的長(zhǎng)度即可．
【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>，，所以．因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在平面的軌跡為．所以．故答案為：17．【詳解】（1）∵，∴，（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，又，∴，∴，即．18．【詳解】（1）由已知條件可得，每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距為1，所以，解得（2）由（1）知，所以調(diào)查評(píng)分在的人數(shù)占調(diào)查評(píng)分在人數(shù)的，若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評(píng)分在有1人，有2人，因?yàn)榻?jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，所以選出的3人經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，心理等級(jí)均達(dá)不到良好的概率為，所以經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為良好的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件的概率，利用對(duì)立事件的概率關(guān)系求概率，屬于簡(jiǎn)單題．19．【詳解】（1）因?yàn)?/span>是矩形，所以，又，所以（2）因?yàn)?/span>是矩形，所以．因?yàn)?/span>，且，，所以，而，所以因，，所以，因?yàn)?/span>，所以20．【詳解】（1）∵，∴；（2）最小正周期，由，得，∴單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）∵，∴，∴，∴，∴在上最大值為，最小值為．
21．（第2小題用射影面積法求解扣2分）【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>，，，所以，又因?yàn)?/span>，所以（2）∵，∴，又，所以，延長(zhǎng)交于，過作，連接，則為二面角的平面角中，，則中，，則，即，故二面角的余弦值為．22．【詳解】（1）令，則，故．由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞增。又由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)可知：在上單調(diào)遞增。故．（2）由（1）知，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∵對(duì)于，使得成立，∴對(duì)于任意成立，即對(duì)于任意成立，由對(duì)于任意成立，則，∵，則，∴．（*）式可化為，即對(duì)于任意成立，即成立，即對(duì)于任意成立，因?yàn)?/span>，所以對(duì)于任意成立，即任意成立，所以，由得，所以的取值范圍為． 

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