2023-2024學(xué)年四川省南充市閬中中學(xué)高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題含答案-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、單選題.（共40分，每小題5分）
1. 下列說法正確的是（）
A. 三點確定一個平面
B. 四邊形一定是平面圖形
C. 梯形一定平面圖形
D. 平面和平面有不同在一條直線上的三個公共點
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面的有關(guān)知識確定正確選項.
【詳解】A，不在同一直線上的三個點，確定一個平面，所以A錯誤.
B，四邊形可能是空間四邊形，不一定是平面圖形，所以B錯誤.
C，梯形有一組對邊平行，所以是平面圖形，所以C正確.
D，當(dāng)時，兩個平面沒有公共點.
故選：C
2. 已知，，則線段AB中點的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用中點坐標(biāo)公式直接計算即可.
【詳解】由中點坐標(biāo)公式得線段AB中點的坐標(biāo)為，即.
故選：A
3. 如圖，在平行六面體中，是的中點，設(shè)，，，則等于（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的基本定理求解即可.
【詳解】因為在平行六面體中，是的中點，
所以.
故選：A.
4. 已知是一平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）

A B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由給定的直觀圖畫出原平面圖形，再求出面積作答.
【詳解】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，所給的直觀圖對應(yīng)的原平面圖形，如圖，

其中，，
所以這個平面圖形的面積為.
故選：D
5. 在正方體中，為棱的中點，則．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形根據(jù)空間中的垂直的判定對給出的四個選項分別進行分析、判斷后可得正確的結(jié)論．
【詳解】畫出正方體，如圖所示．
對于選項A，連，若，又，所以平面，所以可得，顯然不成立，所以A不正確．
對于選項B，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以B不正確．
對于選項C，連，則．連，則得，所以平面，從而得，所以．所以C正確．
對于選項D，連，若，又，所以平面，故得，顯然不成立，所以D不正確．
故選C．
【名師點睛】本題考查線線垂直的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，然后結(jié)合圖形并利用排除法求解，考查數(shù)形結(jié)合和判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．
6. 龍洗，是我國著名的文物之一，因盆內(nèi)有龍線，故稱龍洗，為古代皇宮盥洗用具，其盆體可以近似看作一個圓臺.現(xiàn)有一龍洗盆高18cm，盆口直徑36cm，盆底直徑18cm.現(xiàn)往盆內(nèi)注水，當(dāng)水深為6cm時，則盆內(nèi)水的體積為（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)軸截面和相似關(guān)系, 以及圓臺體積即可求解.
【詳解】如圖所示, 畫出圓臺的立體圖形和軸截面平面圖形, 并延長 EC 與FD交于點G.

根據(jù)題意, ,
設(shè) ,
所以 ,
解得 ,
所以 ,
故選: B.
7. 直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
【答案】C
【解析】
【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問題，考查空間想象與計算能力．延長B1A1到E，使A1E=A1B1，連結(jié)AE，EC1，則AE∥A1B，∠EAC1或其補角即為所求，由已知條件可得△AEC1為正三角形，∴∠EC1B為，故選C．
8. 如圖所示，空間四邊形的各邊都相等，分別是的中點，下列四個結(jié)論中不正確的是（）
A. 平面B. 平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行、線面垂直、面面垂直等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，連接，由于分別是的中點，
所以，由于平面，平面，
所以平面，所以A選項正確.
B選項，連接，
由于三角形和三角形是等邊三角形，
是的中點，所以，
由于平面，所以平面，B選項正確.
C選項，幾何體是正四面體，
設(shè)在底面上的射影為，連接，則平面，
且是等邊三角形的中心，
連接，由于分別是的中點，
所以是等邊三角形的中位線，所以，
所以平面與平面不垂直，C選項錯誤.
D選項，連接，
同理B選項的分析可得平面，
由于平面，所以平面平面，所以D選項正確.
故選：C
二、多選題.（共20分，每小題5分，漏選扣3分，錯選不給分）
9. 已知空間向量，則下列說法正確的是（）
A.
B. 向量與向量共線
C. 向量關(guān)于軸對稱的向量為
D. 向量關(guān)于平面對稱的向量為
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)向量的模、共線向量、對稱等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，，A選項正確.
B選項，，所以共線，B選項正確.
C選項，關(guān)于軸對稱的向量為，C選項正確.
D選項，于平面對稱的向量為，D選項錯誤.
故選：ABC
10. 已知，為空間中不同的兩條直線，，為空間中不同的兩個平面，下列命題錯誤的是（）
A. 若，，則
B. 若，，，則
C. 若，，則和為異面直線
D. 若，，且，則
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系，逐一檢驗，可得答案.
【詳解】對于A，由，，則或，故A錯誤；
對于B，由，，，則或與異面，故B錯誤；
對于C，由，，則無法確定直線與的位置關(guān)系，
平行、相交、異面都有可能，故C錯誤；
對于D，由，，則與一定不相交；
假設(shè)與異面，由，，則，，，
由與異面，則與相交，但這與平行公理矛盾，故D正確.
故選：ABC.
11. 如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，與交于點，面，且，則以下說法正確的是（）

A. 平面B. 與平面所成角為
C. 面D. 點到面的距離為2
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用線線垂直可判定A項，利用線面角定義可判定B項，利用線線平行可判定C項，利用線面垂直可判定D項.
【詳解】由于四邊形是邊長為2的正方形，故，
又面，面，∴面，故A正確；

連接PO，由A可知：與平面所成角為，由條件可得，
故B正確；
易知面，面，即面，故C正確；
由A可知點到面的距離為，而，故D錯誤.
故選：ABC
12. 如圖,在正方體中,,為線段上的動點,則下列說法正確的是（）
A.
B. 平面
C. 三棱錐的體積為定值
D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A,由線面垂直的判定定理證明平面即可;對于B,根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面即可;對于C,根據(jù)線面平行將點到平面的距離等于點到平面的距離,再利用等體積法求解即可;對于D,將平面和平面沿直線展開為一個平面,利用余弦定理求解即可判斷.
【詳解】對于A,連接,如圖:

平面,平面,
,
又平面,平面,
平面,
平面,
,
連接,同理可得,
平面,平面,
平面,
平面,
,故A正確;
對于B,連接,如圖:

,
四邊形為平行四邊形,
,
平面,平面,
平面,
同理四邊形為平行四邊形,
,
平面,平面,
平面,
,平面,平面,
平面平面,
平面,
平面,故B正確;
對于C,如圖:

由B知,
平面,平面,
平面,
點到平面的距離等于點到平面的距離,
,故C錯誤;
對于D,將平面和平面沿直線展開為一個平面,如圖:

,
,
,
,
,
即的最小值為,故D正確.
故選:ABD.
三、填空題.（共20分，每小題5分）
13. 已知二面角的大小為60°，若直線，直線，則異面直線，所成的角是______
【答案】60°
【解析】
【分析】
結(jié)合圖像，根據(jù)二面角的定義，即可得解.
【詳解】
如圖，，，
作于，于，
作于，則，
所以為二面角的平面角，
則，
所以，
所以所成角為，
則異面直線，所成的角為.
故答案為：.
【點睛】本題考查了利用空間二面角求異面直線所成角的大小，考查了二面角的定義，同時考查了空間感，屬于基礎(chǔ)題.
14. 下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面MNP的圖形的序號是______（寫出所有符合要求的圖形序號）．
【答案】①③
【解析】
【分析】根據(jù)線面平行的判定和性質(zhì)，以及面面平行的性質(zhì)即可得解.
【詳解】對于①：易知平面MNP平行于正方體右側(cè)平面，
根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得出平行于平面MNP.
對于②：若平行于平面MNP，
因為平面ABD，且平面ABD與平面MNP交線為NQ,
則根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，平行于NQ，
所以，這與矛盾，故該選項錯誤；
對于③：
由中位線定理可得平行于,
而平行于，所以平行于,平面，平面，
所以平面
對于④：如圖，連接，因為為所在棱的中點，則，
故平面即為平面，由正方體可得，
而平面平面，若平面，
由平面可得，故，矛盾，故該選項錯誤
故答案為：①③.
15. 正方體的棱長為2，若動點在線段上運動，則的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可求出，再根據(jù)的范圍，求出的取值范圍．
【詳解】解：以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，．
，，．
點在線段上運動，
，且．
，
，
∵，∴，即，
故答案為：．
16. 在梯形中，，，，將沿折起，連接，得到三棱錐，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，該三棱錐的外接球的表面積為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)梯形的邊長可求出，由幾何體翻折過程中體積最大可得平面平面，由面面垂直性質(zhì)可確定外接球的球心以及半徑，即可求得其表面積.
【詳解】過點作，垂足為，如圖下圖所示：

因為為等腰梯形，，，所以，
，可得，
由余弦定理得，即，
易知，所以，
易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大，如圖所示：

此時，平面，易知，，
記為外接球球心，半徑為，
由于平面，，因此到平面的距離，
又的外接圓半徑，
因此外接球半徑，
即可得球表面積為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：在求解幾何體外接球問題時，需根據(jù)幾何體的特征確定球心位置，再利用半徑相等構(gòu)造等量關(guān)系解出半徑即可.
四、解答題.（共70分）
17. 已知，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）-6
（2）-4
【解析】
【分析】
（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，即得解；
（2）利用向量加法和向量垂直的坐標(biāo)表示，即得解；
【詳解】解：（1），
∴，
∴.
（2），
∵，
∴，
∴，
∴.
【點睛】本題考查了向量平行，加法，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.
18. 如圖，在正方體中，分別是的中點．

（1）求證：四點共面；
（2）求異面直線所成的角.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，證得，結(jié)合確定平面的性質(zhì)，得到與確定一個平面，即可得證；
（2）連結(jié)，證得，得到（或其補角）是異面直線與所成角，在中，即可求解.
【小問1詳解】
證明：因為分別是和的中點，所以且，
又因為且，所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，所以與確定一個平面，
所以點，即四點共面．
【小問2詳解】
解：連結(jié)，在正方體中，平行且等于,
所以四邊形為平行四邊形，可得，
因此（或其補角）是異面直線與所成的角，
設(shè)正方體的棱長為，在中，可得，
所以是等邊三角形，可得，
即異面直線與所成的角等于.

19. 如圖，平面，為圓O的直徑，分別為棱的中點．

（1）證明：平面．
（2）證明：平面平面．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用中位線定理與線面平行的判定定理即可得證；
（2）線面垂直與面面垂直的判定定理證明即可.
【小問1詳解】
因為分別為棱的中點，所以．
因為平面，平面，
所以平面．
【小問2詳解】
因為為圓O的直徑，所以．
因為平面，平面，所以．
又，平面，所以平面．
由（1）知，所以平面．
又因為平面，所以平面平面．
20. 如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，，，，平面平面，，分別為，的中點.

（1）證明：平面；
（2）求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理得，再利用面面垂直的性質(zhì)得平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理得，最后結(jié)合菱形性質(zhì)及線面垂直的判定定理證明即可；
（2）先通過線面關(guān)系及錐體體積求出，再利用等體積法求得點到平面的距離.
【小問1詳解】
由題知，，所以，所以.
又因為平面平面，且交線為，平面，所以平面，
又平面，所以，連接，

因為四邊形是邊長為2的菱形，，所以為等邊三角形.
又因為為的中點，所以，
又，平面，平面，所以平面.
【小問2詳解】
設(shè)點到平面的距離為，連接，則，
因為，所以，又由（1）知，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以，，
又，，
又由，，，平面，平面，
所以平面，且，，
所以，即，
即點到平面的距離為.
21. 如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點.
（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．
【解析】
【詳解】（Ⅰ）由已知得.
取的中點，連接，由為中點知，.
又，故，四邊形為平行四邊形，于是.
因為平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）取的中點，連結(jié).由得，從而，且
.
以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，
，，，，
，，.
設(shè)為平面的一個法向量，則
即
可取.
于是.
【考點】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角．
【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來處理．
22. 如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，沿將折起，使得點到點的位置，且，為的中點，是上的中點.

（1）證明：平面平面；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形三線合一性質(zhì)可證得；根據(jù)，和平行關(guān)系可證得平面，從而得到；由線面垂直的判定可得平面，根據(jù)面面垂直的判定可得結(jié)論；
（2）取中點，過作，由線面垂直的判定與性質(zhì)可證得，根據(jù)二面角平面角定義可知所求角為，由長度關(guān)系可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
為中點，，即，
又為中點，；
，，，四邊形為矩形，
，即，，
，平面，平面，
，平面，又平面，，
，平面，平面，
平面，平面平面.
【小問2詳解】
由（1）知：平面，又平面，，
，，平面，平面；
取中點，過作，垂足為，連接，

分別為中點，，平面，
平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
即為二面角的平面角，
，，
又，，

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