命題人：鄧兵 審題人：蔡德高
滿分：150分 考試時間：120分鐘
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1. 若一條直線經(jīng)過兩點和，則該直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】應(yīng)用直線斜率公式，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系進行求解即可.
【詳解】因為一條直線經(jīng)過兩點，，
所以該直線的斜率為，
則有該直線的傾斜角滿足，因為，
所以，
故選：B
2. 雙曲線上點到左焦點的距離是，則到右焦點的距離是（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求到右焦點的距離.
【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，右焦點為，
則，故，故或（舍）.
故選B.
【點睛】本題考查雙曲線的定義，注意可根據(jù)（左焦點為）的大小判斷在雙曲線的左支上還是在右支上，一般地，如果，則在左支上，解題中注意這個結(jié)論的應(yīng)用.
3. 方程表示圓，則的范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)方程表示圓，應(yīng)當(dāng)滿足求解即可.
【詳解】因為方程表示圓，
所以，解得：.
故選：B.
4. 已知棱長為2的正方體的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正方體外接球的直徑為正方體的體對角線，容易求解．
【詳解】棱長為2的正方體，其體對角線長為2 ，
而正方體的外接球直徑即為正方體的體對角線，
故外接球半徑為，
∴
故選A．
【點睛】此題考查了正方體的外接球問題，屬容易題．球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.
5. 高二（1）班7人宿舍中每個同學(xué)的身高分別為170，168，172，172，175，176，180，求這7人的第60百分位數(shù)為
A. 168B. 175C. 172D. 176
【答案】B
【解析】
【分析】將7人的身高從低到高排列，最后由百分位數(shù)的求法求解即可.
【詳解】將7人的身高從低到高排列：
第5個數(shù)據(jù)為所求的第60百分位數(shù)，即這7人的第60百分位數(shù)為
故選：B
【點睛】本題主要考查了求百分位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.
6. 我們把離心率為的橢圓稱為“最美橢圓”.已知橢圓C為“最美橢圓”，焦點在軸上，且以橢圓C上一點P和橢圓兩焦點和為頂點的三角形的面積最大值為4，則橢圓C的方程為（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由得到與，再由的最大值得，進而求得，，故可得到橢圓C的方程.
【詳解】由已知，得，故，
∵，即，
∴，得，故，
所以橢圓C的方程為.
故選：D.
7. 若過橢圓內(nèi)一點的弦被該點平分，則該弦所在的直線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出端點，代入橢圓，兩式作差，變形，即可得到直線的斜率，再由點斜式寫出直線即可．
【詳解】設(shè)弦兩端點為，則
①-②得 即直線為
化簡得
故選C
【點睛】本題考查根據(jù)橢圓中弦的中點求弦所在的直線，解決本類題的思路是點差法：設(shè)點-作差-變形，根據(jù)中點坐標(biāo)，即可求出所在直線的的斜率，即可寫出直線，屬于基礎(chǔ)題．
8. 已知球的半徑為，、是球面上的兩點，且，若點是球面上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出圖形，取線段的中點，利用向量的加法法則可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范圍.
【詳解】作出圖形，取線段的中點，連接、、、、，可知，
由勾股定理可得，且有，
由向量的加法法則可得，，
.
，由向量的三角不等式可得，
，所以，.
因此，的取值范圍是.
故選：B.
【點睛】本題考查向量數(shù)量積取值范圍的計算，解題的關(guān)鍵就是選擇合適的基底來表示向量，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計算能力，屬于中等題.
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
9. 直線l的方向向量，平面的法向量，則下列結(jié)論不正確的有（ ）
A. B. C. 與斜交D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】判斷直線l的方向向量與平面的法向量的位置關(guān)系，從而可得直線l與平面的位置關(guān)系.
【詳解】解：因為，，
則，所以，
所以，
故不正確的結(jié)論有ABC.
故選：ABC.
10. 過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分兩種情況求解，過原點時和不過原點時，結(jié)合所過點的坐標(biāo)，即可求解.
【詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時，此時直線方程為，符合題意；
當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點時，設(shè)所求直線方程為，
代入點，可得，即.
綜上可得，所求直線方程為和
故選：AC.
11. 已知是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若且，則
B. 若是平面內(nèi)不共線三點，，則
C. 若直線，直線，則與為異面直線
D. 若直線是異面直線，直線是異面直線，則直線異面
【答案】AB
【解析】
【分析】確定，A正確，若推出和重合，得到B正確，CD選項都有多種情況，錯誤，得到答案.
【詳解】對選項A：若且，則，正確；
對選項B：若，又，則和重合，不成立，正確；
對選項C：直線，直線，則與為異面直線或或相交，錯誤；
對選項D：若直線是異面直線，直線是異面直線，
則直線異面或相交或平行，錯誤；
故選：AB
12. 已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為、，為雙曲線右支上的一點，且直線與的斜率之積等于，則下列說法正確的是（ ）
A. 雙曲線的漸近線方程為
B. 若，且，則
C. 分別以線段、為直徑的兩個圓內(nèi)切
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】通過求得，從而求得雙曲線的漸近線方程，由此判斷A選項的正確性；結(jié)合三角形的面積以及雙曲線的定義求得，由此判斷B選項的正確性；通過圓心距和兩個圓半徑間的關(guān)系判斷C選項的正確性；結(jié)合二倍角的正切公式來判斷D選項的正確性.
【詳解】對于A選項，設(shè)點，則，
因為、，所以，
由，得，故雙曲線的漸近線方程為，A對；
對于B選項，因為，所以，
根據(jù)雙曲線的定義可得，
又因為，所以，整理得.
由，可得，
即，解得，B錯；
對于C，設(shè)的中點為，為原點.因為、分別為、的中點，
所以，

則可知以線段、為直徑的兩個圓內(nèi)切，C對；
對于D，當(dāng)點在第一象限時，設(shè)點，則，.
因為漸近線方程為，
所以，.
當(dāng)時，即當(dāng)軸時，則，
所以，，可得，所以，，
此時，為等腰直角三角形，則，滿足；
當(dāng)時，，，
所以
，
因為，所以；
當(dāng)點在第四象限時，同理可得，
綜上可知，D對.
故選：ACD.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知，，若，則實數(shù)m的值為________．
【答案】7
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】因為，所以，解得．
故答案為：7．
【點睛】本題考查了空間向量垂直的性質(zhì)，考查了空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.
14. 若直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是________．
【答案】且
【解析】
【分析】根據(jù)直線方程寫出其所過定點，結(jié)合其與橢圓的位置關(guān)系，可得答案.
【詳解】由直線，則可知其過定點，
易知當(dāng)該點在橢圓內(nèi)或橢圓上時，直線與橢圓恒有公共點，
則，解得且.
故答案為：且.
15. 已知雙曲線兩個焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線定義以及余弦定理得,再根據(jù)面積公式得結(jié)果.
【詳解】因為
,
所以，
【點睛】本題考查雙曲線定義以及焦點三角形，考查基本分析求解能力，屬中檔題.
16. 已知A，B為橢圓上兩個不同的點，F(xiàn)為右焦點，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點T，則__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè),利用焦半徑公式得到,設(shè)，寫出垂直平分線方程，代入，化簡得到值，最終求出的值.
【詳解】取橢圓方程為，，直線方程為（橢圓右準(zhǔn)線），
橢圓上點，右焦點，設(shè)點到直線的距離為d，
則
，
所以，
因為本題橢圓離心率:，設(shè)
由焦半徑公式:得:,
即中點，，則垂直平分線斜率為
根據(jù)點在橢圓上，則有，，作差化簡得，
則線段的垂直平分線方程為,代入得:
,即,則.
故答案為：.
【點睛】橢圓中常見的二級結(jié)論對解決橢圓相關(guān)難題，尤其是選擇填空題具有很好的作用，例如本題中的焦半徑公式，，，點在橢圓上適合橢圓方程這一條件做題時容易忽略，但是卻是設(shè)點法做題必要的步驟.
四、解答題（本大題共6小題，共70分）
17. 的三個頂點是，，，求：
（1）邊BC上的中線所在直線的方程；
（2）邊BC上的高所在直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由中點坐標(biāo)公式求出BC邊中點的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點式寫出直線的方程；
（2）根據(jù)垂直關(guān)系求出斜率，再寫出點斜式直線方程得出結(jié)果.
【小問1詳解】
因為，，則BC邊中點E的坐標(biāo)為，，
則直線AE的方程為，即；
【小問2詳解】
因為，，則，
∵BC邊上的高與BC垂直，∴BC邊上的高所在直線的斜率為，
∴BC邊上的高所在的直線方程為，即．
18. 已知圓C過兩點，且圓心C在直線上．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線與圓C相交于M，N兩點，求弦的長度．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓的圓心為，半徑為，由題意，列出關(guān)于、、的方程組即可求解；
（2）結(jié)合（1）求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理即可求出弦的長．
詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，半徑為，則圓方程為，
又由圓過，兩點，且圓心在直線上，
則有，解可得，，，
所以圓的方程為；
（2）由（1）知圓的圓心，半徑為4，
所以點到直線的距離，
所以．
19. 已知函數(shù).
（1）求求函數(shù)的最小正周期及對稱中心.
（2）求函數(shù)在值域.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由三角恒等變換可得正弦型三角函數(shù)，據(jù)此求周期、對稱中心即可；
（2）利用整體代換法求正弦函數(shù)的值域即可.
【小問1詳解】
所以函數(shù)的最小正周期為
，令，
解得
∴對稱中心是
【小問2詳解】
令由，則，
則，
所以的值域是.
20. 某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產(chǎn)的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的補貼.某調(diào)研機構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費者，就補貼金額的心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.
（1）求實數(shù)的值；
（2）估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的中位數(shù)；（精確到0.01）
（3）現(xiàn)在要從補貼金額的心理預(yù)期值在的已購車消費者中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行調(diào)查，求抽到2人中補貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率.
【答案】（1）
（2）中位數(shù)的估計值為萬元
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；
（2）首先判斷中位數(shù)位于內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為，再根據(jù)中位數(shù)計算規(guī)則得到方程，計算可得；
（3）根據(jù)分層抽樣求出、中抽取的人數(shù)，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計算可得.
【小問1詳解】
解：由題意知，，
解得.
【小問2詳解】
解：因為，則中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為，則，
得，所以中位數(shù)的估計值為萬元
【小問3詳解】
解：從補貼金額的心理預(yù)期值在的已購車消費者中用分層抽樣的方法抽取6人，
則補貼金額的心理預(yù)期值在間的有人，記為，，，，
補貼金額的心理預(yù)期值在間的有人，記為，，
則基本事件有，，，，，，，，
，，，，，，，共15種情況.
其中補貼金額的心理預(yù)期值都在間有，，，，，，共種情況，
所以抽到人中補貼金額的心理預(yù)期值都在間的概率.
21. 如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為的中點，為上一點.

（1）求證：平面；
（2）若面，求平面與平面的夾角.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）連接交于點O，連接，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面.
（2）連接，以點D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面和一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.
【小問1詳解】
證明：連接交于點O，連接，
由是正方形可得，O是的中點，又由F為的中點，
在中，為中位線，所以，
因為平面，且平面，所以平面.
【小問2詳解】
解：連接，由面，因為面，所以，
又由平面，且面，所以，所以，
所以點G為的中點，以點D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，，，所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，所以平面的一個法向量為，
又平面的一個法向量為，
所以，所以平面與平面的夾角.

22. 已知橢圓C：過點．右焦點為F，縱坐標(biāo)為的點M在C上，且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)過A與x軸垂直的直線為l，縱坐標(biāo)不為0的點P為C上一動點，過F作直線PA的垂線交l于點Q，證明：直線PQ過定點．
【答案】（1）
（2）過定點；證明過程見詳解
【解析】
【分析】（1）由題可得，結(jié)合條件可知，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，即可得解；
（2）設(shè)點，求出點的坐標(biāo)，寫出直線的方程，結(jié)合條件變形即得.
【小問1詳解】
設(shè)點，其中，則，
因為橢圓過點，則，
將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，
所以，解得，
因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
【小問2詳解】
設(shè)點， 則，所以直線的垂線的斜率為，
由題可知，故直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，
所以直線的方程為，
即，
因為，所以，
所以，
所以，
所以直線過定點．
【點睛】求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．

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