2022-2023學(xué)年重慶市北碚區(qū)西南大學(xué)附中九年級（下）月考數(shù)學(xué)試卷（2月份）一、選擇題（本大題共12小題，共48.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列各數(shù)中的正數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.據(jù)聯(lián)合國世界人口展望報(bào)告，全球人口在年月日預(yù)計(jì)達(dá)到人聯(lián)合國秘書長古特雷斯表示，抵達(dá)這一里程碑的時(shí)刻，是慶祝多樣性和進(jìn)步的時(shí)刻，同時(shí)也應(yīng)思考人類對地球的共同責(zé)任用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 3.如圖所示是重慶某日一段時(shí)間內(nèi)氣溫隨時(shí)間的變化情況，下列說法正確的是(    )
A. 此圖能反映出全天的氣溫變化
B. 時(shí)到時(shí)期間恰好有四個(gè)時(shí)刻氣溫為
C. 時(shí)到時(shí)氣溫逐漸上升
D. 時(shí)氣溫最低4.下列代數(shù)式變形正確的是(    )A.  B.
C.  D. 5.已知，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為位似中心，作的位似圖形，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則與的面積之比是(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：7.小張家在小王家西邊米，他們同時(shí)從各自家里出發(fā)，前往小張家西邊的博物館設(shè)小張每分鐘走米，小王每分鐘走米，如果出發(fā)分鐘后兩人同時(shí)到達(dá)了博物館，并且小張分鐘行走的路程比小王分鐘行走的路程少米，則可列方程組(    )A.  B.
C.  D. 8.下列命題中正確的是(    )A. 函數(shù)與軸的交點(diǎn)是
B. 三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)
C. 絕對值等于本身的數(shù)是和
D. 對角線相等的四邊形是矩形9.如圖，和是的兩條切線，切點(diǎn)分別是、，點(diǎn)在線段上，與交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 10.如圖，在中，，，內(nèi)切圓半徑為，將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)到與點(diǎn)到的距離之比為(    )
 A.  B.  C.  D. 11.若關(guān)于的不等式組的解集為，關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)是(    )A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)12.已知點(diǎn)在二次函數(shù)上，其中，，，，令，，，；為的個(gè)位數(shù)字為正整數(shù)，則下列說法：
；；；的最小值為，此時(shí)；的個(gè)位數(shù)字為．
正確的有個(gè)(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共4小題，共16.0分）13.計(jì)算： ______ ．14.從，，，這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)分別作為數(shù)，的值，則使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的概率是______ ．15.如圖，在矩形中，以為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，再以為圓心，的長為半徑畫弧，交于點(diǎn)已知，，則圖中陰影部分的面積為______ ．
 16.某工廠評選年度優(yōu)秀員工，分為兩輪進(jìn)行第一輪有四名員工勝出，分別為小張、小王、小吳和小李；第二輪通過相同時(shí)間做出的零件個(gè)數(shù)多少作為評判標(biāo)準(zhǔn)每個(gè)人做的零件個(gè)數(shù)均為整數(shù)比賽同時(shí)開始，直到四名員工把提前準(zhǔn)備的零件做完要用的總零件個(gè)數(shù)大于且不超過，小張與小吳做出的零件個(gè)數(shù)之和乘以小張與小李做出的零件個(gè)數(shù)之和其結(jié)果為，小王與小吳做出的零件個(gè)數(shù)之和乘以小王與小李做出的零件個(gè)數(shù)之和其結(jié)果為，已知小王與小吳做出的零件個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)則小張與小吳做出的零件個(gè)數(shù)之和乘以小王與小李做出的零件個(gè)數(shù)之和其結(jié)果為______ ．三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
計(jì)算
；
．18.本小題分
如圖，在四邊形中，，于．
尺規(guī)作圖：在邊上截取，過點(diǎn)作對角線的垂線，交于點(diǎn)；要求：保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論
連接，證明≌請將下面證明過程補(bǔ)充完整．
證明：，    ，
四邊形是平行四邊形，
，    ，
    ，
，，
，
在和中，
≌．
19.本小題分
為了了解甲乙兩個(gè)中學(xué)的學(xué)生的身高情況，我們從兩個(gè)學(xué)校各隨機(jī)抽取名中學(xué)生測量了身高并對數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理、分析身高用表示，單位共分為四個(gè)等級：等級，等級，等級，等級
抽取的甲校名學(xué)生的身高為：
，，，，，，，，，，，
抽取的乙校名學(xué)生的身高中等級包含的數(shù)據(jù)為：，，，，
抽取的甲校、乙校學(xué)生各人身高統(tǒng)計(jì)表： 學(xué)校平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲乙抽取的乙校名學(xué)生身高分布直方圖：
根據(jù)以上信息解答下列問題
補(bǔ)全直方圖，并填空： ______ ， ______ ；
若兩校共有人，其中甲校有人，估計(jì)兩個(gè)學(xué)校身高達(dá)到及以上的學(xué)生有多少人？
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪個(gè)學(xué)校的學(xué)生更高？請說明理由寫出一條理由即可
20.本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)．
求一次函數(shù)的解析式，并畫出一次函數(shù)的圖象；
請直接寫出不等式的解集；
求的面積．
21.本小題分
甲乙兩組要加工一批零件，乙組每小時(shí)加工的零件數(shù)比甲的倍少個(gè)，甲組加工個(gè)零件與乙組加工個(gè)零件時(shí)間相同．
甲乙兩組每小時(shí)各加工多少個(gè)零件？
由于突發(fā)情況，甲乙兩組需要加急完成個(gè)零件的加工任務(wù)因此，甲組每小時(shí)比之前多加工個(gè)零件，乙組每小時(shí)加工的零件個(gè)數(shù)也比之前增加了，即便如此，也需要個(gè)小時(shí)才能完成任務(wù)求的值．22.本小題分
年月日，重慶市北碚區(qū)縉云山突發(fā)山火，山火無情，人間有愛，各地消防迅速出動(dòng)，沖鋒在前，共抗險(xiǎn)情消防員在縉云山山腳觀測到一處著火點(diǎn)的仰角為，然后沿著坡比為：的斜坡前進(jìn)米到達(dá)處平臺，繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)，測得斜坡的坡角為，沿斜坡前行米到達(dá)著火點(diǎn)．
求著火點(diǎn)距離山腳的垂直高度；
已知消防員在平地的平均速度為，求消防員通過平臺的時(shí)間保留一位小數(shù)
參考數(shù)據(jù)：，，，
23.本小題分
一個(gè)四位正整數(shù)，將千位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字交換，得到，我們稱這個(gè)數(shù)為原數(shù)的“披荊數(shù)”，并規(guī)定；將千位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字交換，百位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換，得到，我們稱這個(gè)數(shù)為原數(shù)的“斬棘數(shù)”，規(guī)定，且分母為時(shí)舍去．
如：的“披荊數(shù)”為，，的“斬棘數(shù)”為，．
的“披荊數(shù)”是______ ，的“斬棘數(shù)”是______ ；
證明任意一個(gè)四位數(shù)的“披荊數(shù)”與“斬棘數(shù)”的差能被整除；
設(shè)四位正整數(shù)，且，均為正整數(shù)，交換其十位和個(gè)位的數(shù)字得到，若為完全平方數(shù)且能被整除，則稱為“乘風(fēng)破浪數(shù)”，請求出所有“乘風(fēng)破浪數(shù)”中的最大值．24.本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，且．

求這個(gè)拋物線的解析式；
如圖，點(diǎn)為線段上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂線交于點(diǎn)，作軸的平行線交于點(diǎn)，當(dāng)的周長最大時(shí)，請求出周長的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；
在的條件下，將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位到新拋物線，為新拋物線與原拋物線的交點(diǎn)，為原拋物線對稱軸上一點(diǎn)，為平面上任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．25.本小題分
在直角中，，，點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊．

如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，交于點(diǎn)，且平分，若，求的面積；
如圖，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接、、，證明：；
如圖，旋轉(zhuǎn)使得落在的角平分線上，、分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足，連接，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，若，當(dāng)面積最小時(shí)，直接寫出的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，是負(fù)數(shù)，故不符合題意；
B、，是負(fù)數(shù)，故不符合題意；
C、，是正數(shù)，故符合題意；
D、，是負(fù)數(shù)，故不符合題意；
故選：．
根據(jù)大于的數(shù)是正數(shù)，小于的數(shù)是負(fù)數(shù)，對各選項(xiàng)計(jì)算后選取答案．
本題主要考查正負(fù)數(shù)的定義，絕對值的意義，有理數(shù)的乘方，對各選項(xiàng)正確計(jì)算便不難確定答案．2.【答案】 【解析】解：，
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于時(shí)，是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于時(shí)是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．3.【答案】 【解析】解：、此圖不能反映出全天的氣溫變化，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、時(shí)到時(shí)期間恰好有四個(gè)時(shí)刻氣溫為，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C、時(shí)到時(shí)氣溫首先下降然后逐漸上升，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、時(shí)氣溫不是最低，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：．
根據(jù)函數(shù)圖象即可一一判定．
本題考查了函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取相關(guān)信息是解決本題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：，選項(xiàng)不符合題意；
，選項(xiàng)符合題意；
，選項(xiàng)不符合題意；
，選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
利用分式的基本性質(zhì)計(jì)算后判斷正誤．
本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)．5.【答案】 【解析】解：，
，



，
故選：．
將代入，計(jì)算可得．
此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

以點(diǎn)為位似中心，作的位似圖形，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，
，，
，，即：，
，即與的相似比為：，
與的面積之比為：，
故選：．
直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對應(yīng)線段長，進(jìn)而得出相似比，即可得出面積比．
本題考查了位似變換，正確得出位似比是解題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：由題意得，，
故選：．
出發(fā)分鐘后兩人同時(shí)到達(dá)了博物館，可列方程，小張分鐘行走的路程比小王分鐘行走的路程少米，可列方程，由此即可得到答案．
本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出二元一次方程組，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：令，，函數(shù)與軸的交點(diǎn)是，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
B.三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，選項(xiàng)正確，符合題意；
C.非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
D.等腰梯形的對角線也相等，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意．
故選：．
根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形內(nèi)心，絕對值的意義，特殊四邊形的性質(zhì)判斷即可．
本題考查了命題與定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形內(nèi)心，絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：連接，，

，是的切線，切點(diǎn)分別是、，
，
，
．
，，
≌，
，
，
，
，
，
故選：．
連接，，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可先求出的度數(shù)，然后利用證明≌，從而可得得，由，可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答．
本題考查了切線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)分別作，，邊得垂線，垂足分別為，，，連接，如圖，

內(nèi)切圓，即點(diǎn)為的內(nèi)心，亦即平分，
，，分別為，，于的切點(diǎn)，，
由切線長定理可知：，，
，
，
則，
，
，
四邊形為正方形，
，
將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得，
，
故：，，則，
，，
則點(diǎn)到與點(diǎn)到的距離之比為：．
故選：．
過點(diǎn)分別作，，邊得垂線，垂足分別為，，，連接，如圖，由內(nèi)心和切線長定理可知，，，可得，進(jìn)而可證四邊形為正方形，由此得，由旋轉(zhuǎn)可得，再利用含的直角三角形可得距離，進(jìn)而求得比值．
本題考查三角形的內(nèi)心，切線長定理，解直角三角形，利用切線長定理證明四邊形為正方形是解決問題得關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：解不等式：，得：，
解不等式：，得：，
不等式組的解集為，
，即：，
解關(guān)于的分式方程，
得，
分式方程的解為整數(shù)解，
為整數(shù)，且，，即，，
所有滿足條件的整數(shù)的值有：，，共個(gè)．
故選：．
先分別解不等式組里的兩個(gè)不等式，根據(jù)解集求出的取值范圍，再由分式方程的解求出的范圍，得到兩個(gè)的范圍必須同時(shí)滿足，即求得可得到的整數(shù)的值．
本題考查了解一元一次不等式組及應(yīng)用，解分式方程，掌握分式方程的解法是關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：，則當(dāng)時(shí)，，
，即：，
當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；，故正確；
，
，故正確；
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
又為整數(shù)，
取得最小值，此時(shí)或，故錯(cuò)誤；
為的個(gè)位數(shù)字，且，
由此可知，，，，，，，，，，分別為：
，，，，，，，，，，
即的規(guī)律為以，，，，，五次一循環(huán)，且這五個(gè)數(shù)相加為，
則的個(gè)位，且也是五次一循環(huán)，
，
，，
的個(gè)位為，故錯(cuò)誤；
故選：．
根據(jù)題意可得，由此得，利用兩個(gè)式子可判斷，將變形為，可計(jì)算出解果進(jìn)而判斷，由得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及為正整數(shù)可判斷其最值，進(jìn)而判斷，由為的個(gè)位數(shù)字，且，計(jì)算出，，，，，，，，，，找其規(guī)律可判斷．
本題考查了二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的性質(zhì)，找出數(shù)字的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：


．
故答案為：．
由題意直接根據(jù)零次冪和去絕對值以及特殊角的三角函數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握零次冪和去絕對值以及特殊角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】解：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，即，
列表如下：     由表格可知一共有種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中滿足的結(jié)果數(shù)有種，
從，，，這四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)分別作為數(shù)，的值，則使方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的概率是，
故答案為：．
先根據(jù)根的判別式得到，再列出表格得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到滿足的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．
本題主要考查了列表法或樹狀圖法求解概率，一元二次方程根的判別式，正確列出表格是解題的關(guān)鍵．15.【答案】 【解析】解：由題意和題圖可知，與扇形只有一個(gè)交點(diǎn)，則與扇形相切，設(shè)這個(gè)切點(diǎn)為，
連接，，則．
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

四邊形是矩形，
，．
由題意可得，，
在中，由勾股定理，得．
，，
，
，
即扇形的圓心角為．
在和中，
，
≌，
，
．
，
即扇形的圓心角為．




．
故答案為：．
利用割補(bǔ)法將陰影部分分成三部分，即，然后分別求每部分的面積即可．
本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算、切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，要熟練運(yùn)用扇形的面積公式和三角形的面積公式．解題的關(guān)鍵是能夠正確運(yùn)用割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形面積的和差．16.【答案】 【解析】解：設(shè)小張、小王、小吳和小李四位員工做出的零件個(gè)數(shù)分別為：，，，，根據(jù)題意，可以得到以下關(guān)系式：，，，為偶數(shù)，
，為偶數(shù)，
則可拆為，
可拆為
或，，
當(dāng)時(shí)，即，
則：，消元可得：，無解；，消元可得：無解；，消元可得：無解；，消元可得：，無解；
當(dāng)時(shí)，即，
則：，消元可得：，此時(shí)有解，即，；，消元可得：，無解；，消元可得：，無解；，消元可得：無解；
即：，，
，
故答案為：．
設(shè)小張、小王、小吳和小李四位員工做出的零件個(gè)數(shù)分別為：，，，，根據(jù)題意，可以得到以下關(guān)系式：，，，為偶數(shù)，分別對和進(jìn)行因數(shù)分解，結(jié)合整體范圍，可以得到或，進(jìn)行分類討論即可．
本題主要考查了學(xué)生的推理能力，數(shù)的因式分解，尤其是面對四個(gè)未知數(shù)時(shí)，對題目進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．17.【答案】解：原式
；
原式

． 【解析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；
先計(jì)算括號內(nèi)分式的減法，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，繼而約分即可．
本題主要考查分式的混合運(yùn)算和整式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整式的乘法運(yùn)算則及分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．18.【答案】解：如圖，即為所求；

證明：，，
四邊形是平行四邊形
，

，

在和中，
≌，
故答案為：，，，． 【解析】先在邊上截取，利用基本作圖作得到，然后連接即可；
根據(jù)已知條件依次寫出相應(yīng)的解答過程即可．
本題考查了尺規(guī)作圖復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了全等三角形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)．19.【答案】   【解析】解：由題意可知：乙校組人數(shù)為：人，
補(bǔ)全直方圖如圖所示：

乙校名學(xué)生的身高按從小到大的順序排列，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，
中位數(shù)，
甲校名學(xué)生的身高中的最多，
眾數(shù)，
故答案為：，；
人，
答：兩個(gè)學(xué)校身高達(dá)到及以上的學(xué)生約有人．
甲校更高，
理由：雖然甲乙兩校的平均分均為，但甲校的中位數(shù)和眾數(shù)均高于乙校．
求出乙校組人數(shù)，畫出條形圖即可，根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義，可以得到、的值；
利用樣本估計(jì)總體思想求解可得；
根據(jù)甲校的中位數(shù)和眾數(shù)均高于乙校，于是得到甲校的學(xué)生更高．
本題考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20.【答案】解：一次函數(shù)經(jīng)過，，
，
解得：，
，
如圖所示，

反比例函數(shù)過點(diǎn)，
，
，
解得：或，
，
即，
根據(jù)函數(shù)圖象可知：，；
如圖，連接，，

，令，解得：，
，
． 【解析】根據(jù)待定系數(shù)法求解析式，然后描出點(diǎn)，，作直線即可畫出一次函數(shù)圖象；
聯(lián)立一次函數(shù)與反比例數(shù)解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解；
根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)即可求解．
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求解析式，求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：設(shè)甲每小時(shí)加工的零件數(shù)為個(gè)，則乙組每小時(shí)加工的零件數(shù)為個(gè)，根據(jù)題意得，，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
個(gè)；
答：甲每小時(shí)加工的零件數(shù)為個(gè)，乙組每小時(shí)加工的零件數(shù)為個(gè)；
依題意得：，
解得：舍去，
故． 【解析】設(shè)甲每小時(shí)加工的零件數(shù)為個(gè)，則乙組每小時(shí)加工的零件數(shù)為個(gè)，根據(jù)題意列出分式方程，解方程即可求解；
分別表示出甲、乙每小時(shí)的加工的零件數(shù)量，根據(jù)題意，列出一元二次方程即可求解．
本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．22.【答案】如圖所示，

過點(diǎn)，，分別作水平線的垂線，垂足分別為，，，延長交于點(diǎn)，則四邊形，是矩形，則，
依題意，，米，，米，
在中，，設(shè)米，則米，
，
米，
，
米，米，
在中，米，米，
米，
即著火點(diǎn)距離山腳的垂直高度為米；
依題意，，
米，
中，米，
又米，
米，
消防員在平地的平均速度為，
消防員通過平臺的時(shí)間為秒． 【解析】過點(diǎn)，，分別作水平線的垂線，垂足分別為，，，延長交于點(diǎn)，則四邊形，是矩形，則，分別解，，即可求解；
結(jié)合的結(jié)論求得米，解中，根據(jù)圖形求得的長，進(jìn)而即可求解．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23.【答案】   【解析】解：的“披荊數(shù)”是，的“斬棘數(shù)”是，
故答案為：，；
證明：設(shè)任意四位正整數(shù)為，
則其“披荊數(shù)”為，“斬棘數(shù)”為，

“披荊數(shù)”與“斬棘數(shù)”的差能被整除；
解：，且，均為正整數(shù)，
，
，
為完全平方數(shù)，
為正整數(shù)，且，為整數(shù)，
則：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，舍去；
當(dāng)時(shí)，舍去；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，舍去；
故或，
又為的倍數(shù)，
應(yīng)為的倍數(shù)，且，
當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或；，
則當(dāng)，時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，；
故：的最大值為．
利用“披荊數(shù)”，“斬棘數(shù)”的定義解答即可；
設(shè)任意四位正整數(shù)為，則其“披荊數(shù)”為，“斬棘數(shù)”為，直接計(jì)算，即計(jì)算可得得證結(jié)論；
根據(jù)題意得，計(jì)算，得，易知為正整數(shù)，且，為整數(shù)，可得或，由為的倍數(shù)，知應(yīng)為的倍數(shù)，且，可得當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或；由定義得，將，所對應(yīng)得值代入即可求得，再找出最大值即可．
本題主要考查了整式的加減，因式分解的應(yīng)用，數(shù)字變化的規(guī)律，本題是新定義型，準(zhǔn)確理解新定義的規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：，
，
，
，
，
拋物線過點(diǎn)，，
把，代入，
得，解得，
拋物線的解析式為：；

，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
的周長為，
當(dāng)最大時(shí)，的周長最大，
再作軸，交直線于點(diǎn)，
則的面積，
當(dāng)的面積最大時(shí)，線段最大，
此時(shí)的周長達(dá)到最大值，
拋物線為，
，，
設(shè)直線為，
把點(diǎn)代入，
得，
直線為，
設(shè)，則，
，
，
，開口向下，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
由得，最大值為，
的最大周長為，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；


解：存在，理由如下：
將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位到新拋物線，
即將拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，得到新拋物線，
拋物線，
新拋物線，
聯(lián)立，
解得：，
，
拋物線的對稱軸為：，
設(shè)，，分三種情況分類討論：
當(dāng)，為對角線時(shí)，
由，解得，
，
當(dāng)，為對角線時(shí)，
由，解得或，
或，
當(dāng)，為對角線時(shí)，
由，解或，
或，
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為或或或或時(shí)，以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形． 【解析】根據(jù)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
先求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)∽得到，進(jìn)而用表示出，得，當(dāng)最長時(shí)，的周長最大，再過點(diǎn)作軸，根據(jù)面積公式得，當(dāng)的面積最大時(shí)，線段最大，設(shè)，則，由，得面積最大值是，最大值為，進(jìn)行求得的周長最大值．
根據(jù)平移規(guī)則，求出拋物線的解析式，聯(lián)立兩個(gè)解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，，分三種情況分類討論，分別列出方程組，進(jìn)而求解即可．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．25.【答案】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

在直角中，，，
，
平分，
，
是等邊三角形，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，，
設(shè)，則，

，
，
，
；
如圖所示，延長至，使得，連接，，

在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
又，
是等邊三角形，
又是等邊三角形，
，，，
，
，
≌，
，，
，
如圖，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，

設(shè)，則，
，
，
，
，
又，
，
在中，，
，
；
、分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)，，則，

旋轉(zhuǎn)使得落在的角平分線上，
到，的距離相等，設(shè)到，的距離為，
，
當(dāng)面積最小時(shí)，即當(dāng)取得最大值時(shí)，
，即，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，
如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，則是等腰直角三角形，
又是等邊三角形，
，，
，，
，
，

在，中，
，
≌，
，
又，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
，
如圖所示，過作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，
，
是線段上的點(diǎn)，而與無交點(diǎn)，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，即取得最小值，

的最小值為． 【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明是等腰直角三角形，，設(shè)，則，根據(jù)已知條件得出，繼而根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可求解；
延長至，使得，連接，，證明≌，是等邊三角形，證明≌，得出，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，則，在中，，進(jìn)而即可得出結(jié)論；
當(dāng)面積最小時(shí)，即當(dāng)取得最大值時(shí)，證明≌，得出是等邊三角形，如圖所示，過作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，即取得最小值，進(jìn)而即可求解．
本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．

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