廣東省廣州市荔灣區(qū)廣東省廣州市南海中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中（數(shù)學(xué)）一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個選項中，只有一個是正確的，請把答題卡上對應(yīng)題目所選的選項涂黑。 1.下列關(guān)于矩形的說法，正確的是（　?。?/span> A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相平分的四邊形是矩形C．矩形的對角線互相垂直且平分D．矩形的對角線相等且互相平分 2.在一個密閉不透明的袋子里有若干個白球．為估計白球個數(shù)，小何向其中投入8個黑球，攪拌均勻后隨機摸出一個球，記下顏色，再把它放入袋中，不斷重復(fù)摸球400次，其中80次摸到黑球，則估計袋中大約有白球（　?。?/span> A．40個 B．32個 C．48個 D．24個 3.用配方法解關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可變形為（　　）A． B．C． = D． 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，則∠A的度數(shù)是（　　） A．60° B．45° C．30° D．無法確定 5.平面直角坐標系中，點A（1，a）和點B（﹣1，b）關(guān)于原點對稱，則a+b的值分別是（　?。?/span> A．1 B．﹣1 C．0 D．無法確定 6.已知一矩形的兩鄰邊長分別為10cm和15cm，其中一個內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（　　） A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 7.如圖，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 8.如圖，在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADE，則∠AEB的度數(shù)為（　　） A．10° B．12.5° C．15° D．20° 9.矩形紙片ABCD中，AB=5，AD=4，將紙片折疊，使點B落在邊CD上的B′處，折痕為AE．延長B′E交AB的延長線于M，折痕AE上有點P，下列五個結(jié)論中正確的有（　?。﹤€①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，則EB′=B′P． A．2 B．3 C．4 D．5 10.關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（　?。?/span> A．2 B．1 C．0 D．﹣1 二、填空題（本大題5小題，每小題5分，共25分）請將下列各題的正確答案填寫在答題卡的位置上． 11.如圖，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向陰影部分的概率是　   　．12.關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一個根是0，則a的值是　   　． 13.如圖所示，甲乙兩建筑物在太陽光的照射下的影子的端點重合在C處，若BC=20m，CD=40m，乙的樓高BE=15m，則甲的樓高AD=　   　m． 14.將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若OA＝2，將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)75°，則點A的對應(yīng)點A′的坐標為　   　． 15.如圖△ABC與△A′B′C′是位似圖形，點O是位似中心，若OA=AA′，S△ABC=4，S△A′B′C′=　   　． 三、計算題（本大題2小題，每小題6分，共12分) 16.（1）解方程：x2﹣6x﹣4=0． （2）（x﹣3）2=2x﹣6． 四、解答題（本大題4小題，共33分） 17.作圖題用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：菱形ABCD邊長為a，有一個內(nèi)角等于∠α，求作此菱形ABCD．結(jié)論： 18.在鄭州外國語中學(xué)的文化建設(shè)進程中，“打造書香校園”一直是其最重要的內(nèi)容之一．我校為滿足學(xué)生的閱讀需求，欲購進一批學(xué)生喜歡的圖書，學(xué)校組織學(xué)生會成員隨機抽取部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，被調(diào)查學(xué)生須從“文史類、社科類、小說類、生活類”中選擇自己喜歡的一類，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了統(tǒng)計圖（未完成），請根據(jù)圖中信息，解答下列問題： （1）此次共調(diào)查了　   　名學(xué)生；（2）將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）小紅與小明每人從四類圖書中任選一種，用樹狀圖或列表法求二人恰好選擇文史類的概率是多少？ 19.如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：四邊形OCED為矩形；（2）過點O作OF⊥BC，垂足為F，若AC=16，BD=12，則OF=　   　． 20.如圖1，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，E為AC上一點，D為BC延長線上一點，且CE=CD，連接AD，BE，并延長BE交AD于F．（1）求證：BF⊥AD．（2）若點N與C關(guān)于直線AD對稱，連接CN，連接AN．①如圖2，作∠ACB的角平分線CM交BE于點M，連接AM．判斷∠DAN與∠DAM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．②如圖3，若AF=1，CN=4，求AB的長．                  答案1.【解答】解：A、因為對角線相等的平行四邊形是矩形，所以本選項錯誤；B、因為對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以本選項錯誤；C、因為矩形的對角線相等且互相平分，所以本選項錯誤；D、因為矩形的對角線相等且互相平分，所以本選項正確．故選：D． 2.【解答】解：由題意可得：8÷﹣8=32（個）答：白球的個數(shù)大約有32個；故選：B． 3.【解答】解：∵ax2+bx+c=0，∴ax2+bx=﹣c，∴x2+x=﹣，∴x2+x+=﹣+，∴．故選：C． 4.【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴∠A=30°．故選C． 5.【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出a＝﹣b，進而得出答案．【解答】解：∵點A（1，a）和點B（﹣1，b）關(guān)于原點對稱，∴a＝﹣b，∴a+b＝0．故選：C． 6.【解答】解：∵矩形ABCD中，BE是角平分線．∴∠ABE=∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB=∠EBC．∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE．當AB=15cm時：則AE=15cm，不滿足題意．當AB=10cm時：AE=10cm，則DE=5cm．故選：B． 7.【分析】先由圓心角、弧、弦的關(guān)系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】解：連接CO，如圖：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故選：C． 8.【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，又∵△ADE是正三角形，∴AE=AD，∠DAE=60°，∴△ABE是等腰三角形，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°．故選：C． 9.【解答】解：連接AB'，①由題意得∠M=∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A=∠DAB'+∠DB'A=90°，∴∠M=∠CB'E=∠DAB'，故可得①正確；②根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AB'=AB，AP=AP，∠B'AP=∠BAP，從而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，∴PB=PB'，故可得②正確；③在Rt△ADB'可得，B'D==3，從而可得CB'=5﹣3=2，設(shè)AE=x，則EB'=EB=，在Rt△CEB'中，CE2+CB'2=EB'2，即（4﹣）2+4=x2﹣25，解得：x=，即AE=．故可得③正確；④假如MB′=CD，則可得MB'=AB=AB'，∴∠M=∠BAB'，由①得∠M=∠DAB′，故有∠BAB'=∠DAB'，而本題不能判定∠BAB'=∠DAB'，即假設(shè)不成立．故可得④錯誤．⑤若B′P⊥CD，則B'P∥BC，∴∠B'PE=∠BEP=∠B'EP，∴EB'=B'P，故可得⑤正確．綜上可得①②③⑤正確，共四個．故選：C． 10.【解答】解：根據(jù)題意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，則整數(shù)a的最大值為0．故選：C． 11.【解答】解：觀察這個圖可知：轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向陰影部分的面積與非陰影部分面積相等，各占，故其概率等于．故答案為． 12.【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一個根是0，∴x=0滿足該方程，且a﹣1≠0．∴a2﹣1=0，且a≠1．解得a=﹣1．故答案是：﹣1． 13.【解答】解：根據(jù)題意得AD∥BE，∴△CBE∽△CDA，∴=，即=，∴DA=30（m）．故答案為30． 14.【解答】解：∵三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)75°，∴旋轉(zhuǎn)后OA與y軸夾角為45°，∵OA＝2，∴OA′＝2，∴點A′的橫坐標為2×＝，縱坐標為﹣2×＝﹣，所以，點A′的坐標為（，﹣）．故答案為：（，﹣）． 15.【解答】解：△ABC與△A′B′C′是位似圖形且由OA=2AA′可得兩位似圖形的位似比為2：3，所以兩位似圖形的面積比為4：9，又∵S△ABC=4，∴S△A'B'C'=4×=9．故答案是：9． 16.（1）x2﹣6x﹣4=0移項得，x2﹣6x=4，配方得，x2﹣6x+9=4+9，（x﹣3）2=13，開方得，x﹣3=±，x1=3+，x2=3﹣． （2）∵（x﹣3）2=2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0，則（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x=3或x=5． 17.【解答】解：如圖菱形ABCD即為所求． 18.【解答】解：（1）∵喜歡文史類的人數(shù)為76人，占總?cè)藬?shù)的38%，∴此次調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：76÷38%=200人，故答案為：200； （2）∵喜歡生活類書籍的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15%，∴喜歡生活類書籍的人數(shù)為：200×15%=30人，∴喜歡小說類書籍的人數(shù)為：200﹣24﹣76﹣30=70人，如圖所示： （3）記社科類圖書為A、文史類圖書為B、生活類圖書為C、小說類圖書為D，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有16種等可能情況，其中二人恰好選擇文史類的只有1種結(jié)果，所以二人恰好選擇文史類的概率為． 19.【解答】（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，∴四邊形OCED為矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=AC=8，OB=BD=6，由勾股定理得：BC==10，∵△BOC的面積=BC?OF=OB?OC，∴OF==4.8．故答案為：4.8．  20.【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CBE=∠CAD，又∵Rt△ACD中，∠CAD+∠D=90°，∴∠CBE+∠D=90°，∴∠BFD=90°，即BF⊥AD； （2）①∠DAN=∠DAM．證明：∵CM平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM，在△ACM和△BCM中，，∴△ACM≌△BCM（SAS），∴∠CBE=∠CAM，由（1）可得，∠CBE=∠CAD，∴∠CAM=∠CAD，∵點N與C關(guān)于直線AD對稱，∴AD垂直平分CN，∴AC=AN，∴∠CAD=∠DAN，∴∠DAN=∠ACD=∠CAM，即∠DAN=∠DAM；②如圖，連接FN，過C作CH⊥CF，交BE于H，∵AC⊥BD，∴∠BCH+∠ACH=∠ACF+∠ACH=90°，∴∠BCH=∠ACF，由（1）可得，∠CBH=∠CAF，又∵BC=AC，∴△BCH≌△ACF，∴BH=AF=1，CH=CF，∴△FCH是等腰直角三角形，∴∠HFC=45°，∵BF⊥AD，CN⊥AD，∴BF∥CN，∴∠FCN=∠BFC=45°，又∵AD垂直平分CN，∴FC=FN，∴∠FNC=∠FCN=45°，∴△NCF是等腰直角三角形，∴Rt△NCF≌Rt△HFC，∴HF=NC=4，∴BF=1+4=5，∴Rt△ABF中，AB===．  

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