大聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué) 得分：___________本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁(yè)．時(shí)量120分鐘，滿(mǎn)分150分．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】．故選:C.2. 全集，集合，，則陰影部分表示的集合是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件利用韋恩圖反應(yīng)的集合運(yùn)算直接計(jì)算作答.【詳解】韋恩圖的陰影部分表示的集合為，而全集，集合，，所以.故選：C3. 函數(shù)的部分圖象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)即得.【詳解】易知的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，排除答案B，D；又，排除選項(xiàng)C．故選:A．4. 在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E滿(mǎn)足，則（     ）A. 3 B.  C.  D. 4【答案】A【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線(xiàn)分別為x，y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意得，所以，，所以.故選：A.5. 某?？萍忌缋?/span>3D打印技術(shù)制作實(shí)心模型．如圖，該模型的上部分是半球，下部分是圓臺(tái)．其中半球的體積為，圓臺(tái)的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半．打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（    ）（）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由題意可知所需要材料的體積即為半球體積與圓臺(tái)體積之和，先求出圓臺(tái)的體積，再利用組合體的體積乘以打印所用原料密度可得結(jié)果.【詳解】設(shè)半球的半徑為，因?yàn)?/span>，所以，由題意圓臺(tái)的上底面半徑及高均是3，下底面半徑為6，所以，所以該實(shí)心模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為故選：C6. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，則“公比”是“對(duì)于任意，”的（    ）A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，分別驗(yàn)證充分性以及必要性即可得到結(jié)果.詳解】若，且公比，則，所以對(duì)于任意，成立，故充分性成立；若，且，則，所以由對(duì)于任意，，推不出，故必要性不成立；所以“公比”是“對(duì)于任意，”的充分不必要條件.故選:A7. 若存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x∈[0，m]，都有(sin x－a)·(cos x－a)≤0恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為(    )A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知不等式得到，要求y＝sin x和y＝cos x圖象不在y＝a＝的同一側(cè)，利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作出y＝sin x和y＝cos x的圖象，當(dāng)m＝時(shí)，要使不等式恒成立，只有a＝，當(dāng)m＞時(shí)，在x∈[0，m]上，必須要求y＝sin x和y＝cos x的圖象不在y＝a＝的同一側(cè).∴由圖可知m的最大值是.故選：C.8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，，且在上遞增，則的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可得關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，根據(jù)可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)圖象，根據(jù)圖象列不等式求解集即可.【詳解】解：函數(shù)，滿(mǎn)足，則關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，又在上遞增，所以在上遞減，則可得函數(shù)的大致圖象，如下圖：所以由不等式可得，或，解得或，故不等式的解集為.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9. 對(duì)于實(shí)數(shù)，，，下列選項(xiàng)正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則， D. 若，，則【答案】ABD【解析】【分析】利用比較法、特例法逐一判斷即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以，，所以，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，令，，滿(mǎn)足，不滿(mǎn)足，，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>，，所以，故D正確．故選：ABD．10. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A. B. 函數(shù)的最小正周期為C. 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為D. 函數(shù)圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到【答案】AB【解析】【分析】利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】，所以A正確；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，所以B正確；對(duì)于C，由，，得，，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，，所以C不正確；對(duì)于D，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，所以函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以D不正確．故選：AB．11. 設(shè)是公差為（）的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（    ）A. 若，則是數(shù)列的最大項(xiàng)B. 若數(shù)列有最小項(xiàng)，則C. 若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的：，均有D. 若對(duì)任意的，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】取特殊數(shù)列判斷A；由等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)特性判斷B；取特殊數(shù)列結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性判斷C；討論數(shù)列是遞減數(shù)列的情況，從而證明D.【詳解】對(duì)于A：取數(shù)列為首項(xiàng)為4，公差為的等差數(shù)列，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：等差數(shù)列中，公差，，是關(guān)于n的二次函數(shù).當(dāng)數(shù)列有最小項(xiàng)，即有最小值，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象開(kāi)口向上，，B正確；對(duì)于C：取數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，，，即恒成立，此時(shí)數(shù)列是遞減數(shù)列，而，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，之后所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，不能保證對(duì)任意，均有.故若對(duì)任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確．故選：BD12. 如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（    ）A. 四面體的體積為定值B. 當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時(shí)，則在正方體中存在棱與平面平行C. 直線(xiàn)與平面所成角的正切值的最小值為D. 當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時(shí)，則過(guò)，，三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為五邊形【答案】ACD【解析】【分析】求出四面體的體積判斷A；把正方體的棱分成3類(lèi)，再判斷各類(lèi)中的一條即可判斷B；作出線(xiàn)面角，并求出其正切表達(dá)式判斷C；利用線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面平行的性質(zhì)作出截面判斷D.【詳解】點(diǎn)，在棱，上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到距離始終為2，到平面的距離始終為2，所以四面體的體積恒為定值，A正確；在正方體中，棱可分為三類(lèi)，分別是，及分別與它們平行的棱，又不與平面平行，則在正方體中，不存在棱與平面平行，B錯(cuò)誤；正方體棱長(zhǎng)為2，如圖1，過(guò)作于，則有平面，于是與平面所成角即為，于是，又長(zhǎng)度的最大值為，所以與平面所成角的正切值的最小值為，C正確；如圖2，取中點(diǎn)，連接，有，且，則四邊形是平行四邊形，有，過(guò)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，此時(shí)，則，即為過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線(xiàn)，連接，在上取點(diǎn)，使得，同證的方法得，在棱上取點(diǎn)，使，連接并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于，則，即，而，于是四邊形是平行四邊形，有，則為過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線(xiàn)，連接，則可得五邊形即為正方體中過(guò)，，三點(diǎn)的截面，D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線(xiàn)法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線(xiàn)與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線(xiàn)得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)斜率為3，則__________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，利用求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，又函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)斜率為3，則，所以．故答案為：14. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，在圓上，若射線(xiàn)平分，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【詳解】由題意可知圓的半徑為，設(shè)，由題意可知，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：．  15. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為_____________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，再結(jié)合基本不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為．故答案為：16. 已知菱形中，對(duì)角線(xiàn)，將沿著折疊，使得二面角為120°， ，則三棱錐的外接球的表面積為________.【答案】【解析】【分析】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，得到，在中由余弦定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出的長(zhǎng),分別記三角形與的重心為、，記該幾何體的外接球球心為，連接，，證明與全等，求出，再推出，連接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面積.【詳解】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，則，，所以即為二面角的平面角，所以；設(shè)，則,在中，即 解得，即，所以 所以與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.分別記三角形與的重心為、，則，；即；因?yàn)?/span>與都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以點(diǎn)是的外心，點(diǎn)是的外心；記該幾何體的外接球球心為，連接，，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以；因?yàn)?/span>，，，且平面，平面，所以平面；又平面，所以，連接，則外接球半徑為，所以外接球表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解幾何體外接球體積或表面積問(wèn)題時(shí)，一般需要結(jié)合幾何體結(jié)構(gòu)特征，確定球心位置，求出球的半徑，即可求解；在確定球心位置時(shí)，通常需要先確定底面外接圓的圓心，根據(jù)球心和截面外接圓的圓心連線(xiàn)垂直于截面，即可確定球心位置；有時(shí)也可將幾何體補(bǔ)型成特殊的幾何體（如長(zhǎng)方體），根據(jù)特殊幾何體的外接球，求出球的半徑.四、解答題：本題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）；    （2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，利用裂項(xiàng)求和法求得，即可證明.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，整理可得，又為正項(xiàng)數(shù)列，故可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】證明：由（1）可知，所以，，所以成立18. 在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若，的內(nèi)切圓半徑為，求的周長(zhǎng).【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出，結(jié)合余弦定理可求得的值，即可求得的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?/span>，由正弦定理可得，①因?yàn)?/span>，所以，代入①式整理得，又因?yàn)?/span>、，，則，所以，又因?yàn)?/span>，解得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，因?yàn)?/span>內(nèi)切圓半徑為，所以，即，所以，②，由余弦定理得，所以③，聯(lián)立②③，得，解得，所以的周長(zhǎng)為.19. 如圖，在三棱柱中，，，，，且平面．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)和判斷定理可得平面，從而即可證明；（2）建立以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸的空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，所以．又因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以．【小問(wèn)2詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，，所以，設(shè)二面角的大小為，因?yàn)?/span>，所以，所以二面角的正弦值為．20. 如圖，已知橢圓上一點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，且滿(mǎn)足， ．（1）求橢圓的方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得，由且 ，知，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)的方程為，與橢圓聯(lián)立求出，求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，求出四邊形的面積，整理化簡(jiǎn)利用二次函數(shù)求出最值.【詳解】（1）為橢圓上一點(diǎn)，又 ，可得，，即所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由（1）知，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立 ，整理得：，解得：，設(shè)點(diǎn)，到直線(xiàn)的距離為和，則，，直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，聯(lián)立，整理得：，解得：..設(shè)四邊形面積為，則.設(shè)，則，當(dāng)，即，即時(shí)，四邊形面積有最大值.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．21. 如圖所示，是圓錐的一部分(A為圓錐的頂點(diǎn))，是底面圓的圓心，，是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），滿(mǎn)足．是的中點(diǎn)，．（1）若平面，求的值；（2）若四棱錐的體積大于，求三棱錐體積的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，證明出，可得出，，然后在中利用正弦定理可求得的值；（2）計(jì)算得出四邊形的面積，結(jié)合可求得的取值范圍，設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，計(jì)算得出，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面，由題設(shè)，當(dāng)平面時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，平面平面，平面，則平面，因?yàn)?/span>平面，平面平面，則，所以，，，在中，由正弦定理可得，故.【小問(wèn)2詳解】解：四棱錐的體積，其中表示四邊形的面積，則，所以，，可得，，則，故，解得.設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，由于是的中點(diǎn)，則.22. 混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問(wèn)題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中至少有一人為陽(yáng)性．假設(shè)一組樣本有N個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為．目前，我們采用K人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)，這里X指該組樣本N個(gè)人中患病毒的人數(shù)．（1）證明：；（2）若，．證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性．公眾號(hào)：高中試卷君【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由均值的性質(zhì)及基本不等式即可證明.（2）由二項(xiàng)分布的概率及條件概率化簡(jiǎn)即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意可得滿(mǎn)足二項(xiàng)分布，由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；【小問(wèn)2詳解】記（混管中恰有1例陽(yáng)性|混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性），（混管中恰有i例陽(yáng)性）=，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當(dāng)，即，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，所以當(dāng)，時(shí)，所以，則．故某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性.

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