大聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué) 得分：___________本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁(yè).時(shí)量120分鐘，滿分150分.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則A. B. C. D.2.全集，集合，，則陰影部分表示的集合是A. B. C. D.3.函數(shù)的部分圖象大致是A. B. C. D.4.在邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)滿足，則A.4 B.3 C. D.5.某?？萍忌缋?/span>3D打印技術(shù)制作實(shí)心模型.如圖，該模型的上部分是半球，下部分是圓臺(tái).其中半球的體積為，圓臺(tái)的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半.打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（）A.3045.6g B.1565.1g C.972.9g D.296.1g6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，則“公比”是“對(duì)于任意，”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為A. B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，，且在上遞增，則的解集為A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于實(shí)數(shù)，，，下列選項(xiàng)正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則， D.若，，則10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是A.B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為D.函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到11.設(shè)是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題正確的是A.若，則是數(shù)列的最大項(xiàng)B.若數(shù)列有最小項(xiàng)，則C.若數(shù)列是遞減數(shù)列，則對(duì)任意的，均有D.若對(duì)任意的，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列12.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是A.四面體的體積為定值B.當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時(shí)，則在正方體中存在棱與平面平行C.直線與平面所成角的正切值的最小值為D.當(dāng)，分別為棱，的中點(diǎn)時(shí)，則過(guò)，，三點(diǎn)作正方體的截面，所得截面為五邊形答題卡題號(hào)123456789101112得分答案             第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為3，則__________.14.在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，在圓上，若射線平分，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為_____________.16.已知菱形中，對(duì)角線，將沿著折疊，使得二面角為120°， ，則三棱錐的外接球的表面積為__________.四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.18.（本小題滿分12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，的內(nèi)切圓半徑為，求的周長(zhǎng).19.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，，，，，且平面.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.20.（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓上一點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，直線交橢圓于點(diǎn)，且滿足，.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.21.（本小題滿分12分）如圖所示，是圓錐的一部分，是底面圓的圓心，，是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），滿足，是的中點(diǎn)，.（1）若平面，求的值；（2）若四棱錐的體積大于，求三棱錐體積的取值范圍.22.（本小題滿分12分）混管病毒檢測(cè)是應(yīng)對(duì)單管病毒檢測(cè)效率低下的問(wèn)題，出現(xiàn)的一個(gè)創(chuàng)新病毒檢測(cè)策略，混管檢測(cè)結(jié)果為陰性，則參與該混管檢測(cè)的所有人均為陰性，混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中至少有一人為陽(yáng)性.假設(shè)一組樣本有個(gè)人，每個(gè)人患病毒的概率相互獨(dú)立且均為.目前，我們采用人混管病毒檢測(cè)，定義成本函數(shù)，這里指該組樣本個(gè)人中患病毒的人數(shù).（1）證明：；（2）若，.證明：某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性.大聯(lián)考雅禮中學(xué)2024屆高三月考試卷（二）數(shù)學(xué)參考答案一、二、選擇題題號(hào)123456789101112答案CCDBCABDABDABBDACD1.C  【解析】.故選：C.2.C  【解析】韋恩圖的陰影部分表示的集合為，而全集，集合，，所以，故選：C.3.D  【解析】易知的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，B；又，排除選項(xiàng)C.故選：D.4.B  【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，，且邊長(zhǎng)為3，所以，，，，所以，，所以.故選：B.5.C  【解析】設(shè)半球的半徑為，因?yàn)?/span>，所以，由題意圓臺(tái)的上底面半徑及高均是3，下底面半徑為6，所以，所以該實(shí)心模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為.故選：C.6.A  【解析】若，且公比，則，所以對(duì)于任意，成立，故充分性成立；若，且，則，所以由“對(duì)于任意，”，推不出“”，故必要性不成立；所以“公比”是“對(duì)于任意，”的充分不必要條件.故選：A.7.B  【解析】在同一坐標(biāo)系中，作出和的圖象，當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只有，當(dāng)時(shí)，在上，必須要求和的圖象不在的同一側(cè).∴由圖可知的最大值是.故選：B.8.D  【解析】函數(shù)，滿足，則關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即，又在上遞增，所以在上遞減，則可得函數(shù)的大致圖象，如下圖：所以由不等式可得，或，解得或，故不等式的解集為.故選：D.9.ABD  【解析】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?/span>，所以，，所以，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，令，，滿足，不滿足，，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>，，所以，故D正確.故選：ABD.10.AB  【解析】，所以A正確；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，所以B正確；對(duì)于C，由，，得，，所以函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，，所以C不正確；對(duì)于D，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，所以函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以D不正確.故選：AB.11.BD  【解析】取數(shù)列為首項(xiàng)為4，公差為的等差數(shù)列，，故A錯(cuò)誤；等差數(shù)列中，公差，，是關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)數(shù)列有最小項(xiàng)，即有最小值，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)有最小值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象開(kāi)口向上，，B正確；取數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，，，即恒成立，此時(shí)數(shù)列是遞減數(shù)列，而，故C錯(cuò)誤；若數(shù)列是遞減數(shù)列，則，一定存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，之后所有項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，不能保證對(duì)任意，均有.故若對(duì)任意，均有，有數(shù)列是遞增數(shù)列，故D正確.故選：BD.12.ACD  【解析】，在棱，上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到距離始終為2，到平面的距離始終為2，所以恒為定值，故A正確；在正方體中，棱可分為三類，分別是與，，平行的棱，又，，不與平面平行，所以在正方體中，不存在棱與平面平行，故B錯(cuò)誤；設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，如圖1，過(guò)作于，則平面，所以與平面所成角即為，所以；又長(zhǎng)度的最大值為，所以與平面所成角的正切值的最小值為，故C正確；如圖2，取中點(diǎn)，連接，則，過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，此時(shí)，所以，即為過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線，連接，在上取點(diǎn)，使得，則，再過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，此時(shí)，則，即為過(guò)，，三點(diǎn)的平面與平面的交線；連接，則可得五邊形即為正方體中過(guò)，，三點(diǎn)的截面，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.  【解析】因?yàn)?/span>，所以.又函數(shù)的圖象在處的切線斜率為3，則，所以.故答案為：.14.  【解析】由題意可知圓的半徑為，設(shè)，由題意可知，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：.15.  【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的最小值為.故答案為：.16.  【解析】將沿折起后，取中點(diǎn)為，連接，，則，，所以即為二面角的平面角，所以，設(shè)，即，在中，，即，解得，即，所以，所以與是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.記與的重心分別為，，則，，即，因?yàn)?/span>與都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以點(diǎn)是的外心，點(diǎn)是的外心，記該幾何體的外接球球心為，連接，，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以，因?yàn)?/span>，，，且平面，平面，所以平面，又平面，所以，連接，則外接球半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為.四、解答題17.【解析】（1）依題意可得，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，整理可得，又?jǐn)?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，故可得，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.（2）證明：由（1）可知，所以，，所以成立.18.【解析】（1）因?yàn)?/span>，由正弦定理可得①，因?yàn)?/span>，所以，代入①式整理得，又因?yàn)?/span>，，，則，所以，又因?yàn)?/span>，解得.（2）由（1）知，，因?yàn)?/span>內(nèi)切圓半徑為，所以，即，所以②，由余弦定理，得，所以③，聯(lián)立②③，得，解得，所以的周長(zhǎng)為.19.【解析】（1）因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，所以.又因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.（2）以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，，所以，設(shè)二面角的大小為，因?yàn)?/span>，所以，所以二面角的正弦值為.20.【解析】（1）因?yàn)?/span>為橢圓上一點(diǎn)，所以.又因?yàn)?/span>，，可得，即，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，，所以直線的方程為，聯(lián)立，整理得，解得，，則.設(shè)點(diǎn)，到直線的距離為和，則，.因?yàn)橹?/span>線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，聯(lián)立，整理得，解得，.則.設(shè)四邊形面積為，則.設(shè)，則，所以，當(dāng)，即，即時(shí)，四邊形面積有最大值.21.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，則，所以平面，平面，則平面.由題設(shè)，當(dāng)平面時(shí)，因?yàn)?/span>，所以平面平面，因?yàn)?/span>平面，則平面.因?yàn)?/span>平面，平面平面，則，所以，，在中，由正弦定理可得，故.（2）四棱錐的體積，其中表示四邊形的面積，則，所以，可得，因?yàn)?/span>，則，故，解得.設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的體積為，由于是的中點(diǎn)，則.22.【解析】（1）由題意可得滿足二項(xiàng)分布，，由，知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).（2）記，（混管中恰有例陽(yáng)性），，令，，則，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)遞增，所以，且，，所以當(dāng)，，即，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，所以當(dāng)，時(shí)，所以，則.故某混管檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，則參與該混管檢測(cè)的人中大概率恰有一人為陽(yáng)性.

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