§8.6　空間向量與立體幾何考試要求　1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.2.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量，能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理．知識梳理1．空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有____和____的量相等向量方向____且模____的向量相反向量方向____且模____的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相____或____的向量共面向量平行于________的向量 2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使________________．(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝________________________.(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝__________________________，{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．空間向量的數(shù)量積及運算律(1)數(shù)量積非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝________________________________.(2)空間向量的坐標表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示坐標表示數(shù)量積a·b 共線a＝λb(b≠0，λ∈R) 垂直a·b＝0(a≠0，b≠0) 模|a| 夾角余弦值cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝____________ 4.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a為平面α的法向量．(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l，m的方向向量分別為a，bl∥ma∥b?a＝kb(k∈R)l⊥ma⊥b?a·b＝0直線l的方向向量為u，平面α的法向量為v，l?αl∥αu⊥v?u·v＝0l⊥αu∥v?u＝kv(k∈R)平面α，β的法向量分別為u，vα∥βu∥v?u＝kv(k∈R)α⊥βu⊥v?u·v＝0 常用結(jié)論1．三點共線：在平面中A，B，C三點共線?＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點．2．四點共面：在空間中P，A，B，C四點共面?＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．(　　)(2)空間中模相等的兩個向量方向相同或相反．(　　)(3)若A，B，C，D是空間中任意四點，則有＋＋＋＝0.(　　)(4)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.(　　)教材改編題1.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD的交點為點M，設(shè)＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c   B.a＋b＋cC．－a－b－c   D．－a－b＋c2.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點，A1M＝AN＝，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(　　) A．相交   B．平行C．垂直   D．不能確定3．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m＝________.題型一　空間向量的線性運算例1 (1)在空間四邊形ABCD中，＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，點E，F分別為線段BC，AD的中點，則的坐標為(　　)A．(2,3,3)   B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1)   D．(－5,2，－1)聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·北京日壇中學(xué)模擬)在三棱柱A1B1C1－ABC中，D是四邊形BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，則等于(　　) A.a＋b＋c   B.a－b＋cC.a＋b－c   D．－a＋b＋c聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 用已知向量表示某一向量的三個關(guān)鍵點(1)要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義．(3)在立體幾何中，三角形法則、平行四邊形法則仍然成立．跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，則x等于(　　)A．(0,3，－6)   B．(0,6，－20)C．(0,6，－6)   D．(6,6，－6)(2)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．①化簡－－＝________；②用，，表示，則＝________. 題型二　空間向量基本定理及其應(yīng)用例2 (1)下列命題正確的是(　　)A．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B．向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C．若空間向量a，b，c不共面，則a，b，c都不為0D．若a，b，c共面，則存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使得a＝xb＋yc聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)下列說法中正確的是(　　)A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件B．若，共線，則AB∥CDC．A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若＝＋＋，則P，A，B，C四點共面D．若P，A，B，C為空間四點，且有＝λ＋μ(，不共線)，則λ＋μ＝1是A，B，C三點共線的充要條件聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 應(yīng)用共線(面)向量定理、證明點共線(面)的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面＝λ＝x＋y對空間任一點O，＝＋t對空間任一點O，＝＋x＋y對空間任一點O，＝x＋(1－x)對空間任一點O，＝x＋y＋(1－x－y) 跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知空間中A，B，C，D四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)P為空間中任意一點，若＝6－4＋λ，則λ等于(　　)A．2  B．－2  C．1  D．－1(2)(2023·金華模擬)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，且滿足＝x＋y＋(1－x－y)，則||的最小值是(　　)A.  B.  C.  D. 題型三　空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用例3 (1)(2022·長春模擬)已知a＝(－1,3,1)，b＝(2,0，－4)，c＝(3，－2,3)，則a·(b＋c)＝________.聽課記錄：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. ①求線段AC1的長；②求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；③求證：AA1⊥BD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算；二是利用坐標運算．跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2023·益陽模擬)在正三棱錐P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，則·等于(　　)A.  B.  C.  D.(2)(2022·營口模擬)已知A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)．①求〈，〉；②求在上的投影．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 題型四　向量法證明平行、垂直例4 如圖所示，在長方體ABCD －A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．(1)求證：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 (1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?/span>(盡可能利用垂直條件，準確寫出相關(guān)點的坐標，進而用向量表示涉及到直線、平面的要素)．(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理．跟蹤訓(xùn)練4 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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