高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))8.6雙曲線方程及其性質(zhì)(精講)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)必備】
1．雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
必備結(jié)論
(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq \f(2b2,a).
(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.
(5)與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【題型精講】
【題型一雙曲線的定義及應(yīng)用】
例1 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，.雙曲線上有一點(diǎn)，若，則______.
例2 (2023·福建高三期末）已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1
B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
例3 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選題）若曲線C的方程為，則（）
A．當(dāng)時(shí)，曲線C表示橢圓，離心率為
B．當(dāng)時(shí)，曲線C表示雙曲線，漸近線方程為
C．當(dāng)時(shí)，曲線C表示圓，半徑為1
D．當(dāng)曲線C表示橢圓時(shí)，焦距的最大值為4
例4 (2023·河南高三高三模擬）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，則當(dāng)取最小值10時(shí)，面積的最大值為（）
A．25B．C．D．
【跟蹤精練】
1. (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與該雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若，則周長(zhǎng)為（）
A．16B．24C．36D．40
2. (2023·深圳模擬)“”是“為雙曲線”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3.(2023·全國(guó)高三模擬）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn) ，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）
A．9B．5C．8D．4
4.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一動(dòng)圓過定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動(dòng)圓的軌跡方程是（）
A．（）B．（）
C．D．
【題型二焦點(diǎn)三角形問題】
例5 (2023·青島高三模擬）已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則的面積為____________
例6(2023·山東日照高三模擬）已知?是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，且在以為直徑的圓上，若，則（）
A．B．C．D．
【跟蹤精練】
1．(2023·武功縣普集高級(jí)中學(xué)期末）設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時(shí)，面積為（）．
A．B．C．D．
2．(2023·全國(guó)高三模擬）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，且，則___________.
【題型三雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】
方法技巧求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.
(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根據(jù)條件求λ的值．
例7 (2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)(3，eq \r(2))，且漸近線方程是y＝±eq \f(1,3)x，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
例8 (2023·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：（，）的左焦點(diǎn)為F，直線過點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（）
A．B．C．D．
【題型精練】
1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
2. (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的離心率為2，右頂點(diǎn)為，過的左焦點(diǎn)作軸的垂線，且與交于，兩點(diǎn)，若的面積為9，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
3.(2023·山西太原五中高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為 .
【題型四雙曲線的幾何性質(zhì)】
方法技巧求雙曲線的離心率的方法
求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
例9 (2023·湖北模擬）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與的左支交于、兩點(diǎn)，且，，則的漸近線方程為（）
A．B．C．D．
例10 (2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三月考）已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，，則雙曲線C的離心率是（）
A．B．C．D．
例11 (2023·濱州模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
【題型精練】
1. (2023·德陽三模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)是F，左?右頂點(diǎn)分別是，過作軸的垂線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為（）
A．B．C．D．
2. (2023·江西·高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，，為雙曲線右支上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足，且，則該雙曲線的離心率為（）
A．B．C．2D．
3.(2023·威海模擬)若雙曲線C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1與雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點(diǎn)，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，＋∞))
【題型五直線與雙曲線的位置關(guān)系】
例12 (2023·湖北模擬）已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．B．C．D．
例13 (2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三月考）直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【題型精練】
1. (2023·德陽三模）直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，則的取值范圍為_____.
2. (2023·江西·高三開學(xué)考試）設(shè)直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則k的取值范圍為___________.
【題型六弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦】
例14 (2023·湖北模擬）過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為______．
例15 (2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三月考）直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（）
A．4B．3C．2D．1
【題型精練】
1. (2023·德陽三模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為，則b的值是（）
A．2B．C．D．
2. (2023·江西·高三開學(xué)考試）（多選）已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點(diǎn)作直線交該雙曲線于和兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）
A．該雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸不能確定
B．該雙曲線的離心率為
C．若和在雙曲線的同一支上，則
D．若和分別在雙曲線的兩支上，則
【題型七雙曲線的綜合應(yīng)用】
例16 (2023·湖北模擬）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，一條漸近線的傾斜角為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交與兩點(diǎn)，與軸交與點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，求證：．
【題型精練】
1. (2023·德陽三模）在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線有共同的頂點(diǎn)（2，0），且雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，雙曲線的漸近線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)求橢圓的方程；
(3)過橢圓的左焦點(diǎn)作直線（直線的斜率不為零）與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求證：為定值．
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：2b，實(shí)半軸長(zhǎng)：a，虛半軸長(zhǎng)：b
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
8.6 雙曲線方程及其性質(zhì)
【題型解讀】
【知識(shí)必備】
1．雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
必備結(jié)論
(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq \f(2b2,a).
(4)若P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.
(5)與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
【題型精講】
【題型一雙曲線的定義及應(yīng)用】
例1 (2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，.雙曲線上有一點(diǎn)，若，則______.
答案：1或13
【解析】因?yàn)殡p曲線：，
所以a=3，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以或，
故答案為：1或13.
例2 (2023·福建高三期末）已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為( )
A．x2－eq \f(y2,8)＝1
B.eq \f(x2,8)－y2＝1
C．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
D．x2－eq \f(y2,8)＝1(x≥1)
答案：C
【解析】設(shè)圓M的半徑為r，由動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切，
得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，
|MC2|－|MC1|＝20)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
2. (2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的離心率為2，右頂點(diǎn)為，過的左焦點(diǎn)作軸的垂線，且與交于，兩點(diǎn)，若的面積為9，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
答案：
【解析】設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為
令，則，得，所以，
易知，所以…①，
又…②，…③，聯(lián)立①②③求解得，所以雙曲線方程為。
故答案為：。
3.(2023·山西太原五中高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則曲線的方程為 .
答案：
【解析】因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，所以，
由雙曲線的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線，則，，得，所以曲線的方程為，故答案為：
【題型四雙曲線的幾何性質(zhì)】
方法技巧求雙曲線的離心率的方法
求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲線基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)，通過解方程(或不等式)求得離心率的值(或范圍)．
例9 (2023·湖北模擬）已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與的左支交于、兩點(diǎn)，且，，則的漸近線方程為（）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由題意，得，；
根據(jù)雙曲線的定義，，
所以，．
在直角三角形中，，即，
解得；
在直角三角形中，，即，
即，解得，所以的漸近線方程為.
故答案為：C．
例10 (2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三月考）已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，，則雙曲線C的離心率是（）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由題意可知，，，
又，，即，
∴，即，∴.故答案為：C.
例11 (2023·濱州模擬)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為( )
A．(1,2) B．(1,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)
答案：A
【解析】在△PF1F2中，
sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，
由正弦定理得，|PF1|＝3|PF2|，
又點(diǎn)P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
在△PF1F2中，由|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，
得3a＋a>2c，即2a>c，
所以e＝eq \f(c,a)1，所以10)有公共點(diǎn)，則雙曲線C2的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(13),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，＋∞))
答案：D
【解析】因?yàn)殡p曲線C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1的漸近線方程為y＝±eq \f(2,3)x，
雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，
為使雙曲線C1：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,9)＝1與雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共點(diǎn)，
只需eq \f(b,a)>eq \f(2,3)，
則離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)>eq \r(1＋\f(4,9))＝eq \f(\r(13),3).
【題型五直線與雙曲線的位置關(guān)系】
例12 (2023·湖北模擬）已知直線l的方程為，雙曲線C的方程為.若直線l與雙曲線C的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】聯(lián)立整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：D.
例13 (2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三月考）直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】聯(lián)立直線和雙曲線：，消去得，
當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)方程為，解得，此時(shí)直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)，此時(shí)，
解得或，所以時(shí)直線與雙曲線無交點(diǎn)；故選：A
【題型精練】
1. (2023·德陽三模）直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，則的取值范圍為_____.
答案：
【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，
因?yàn)橹本€過原點(diǎn)且與雙曲線沒有交點(diǎn)，
故需滿足，
故答案為：
2. (2023·江西·高三開學(xué)考試）設(shè)直線l：與雙曲線C：相交于不同的兩點(diǎn)A，B，則k的取值范圍為___________.
答案：
【解析】聯(lián)立消去y：，，
得到，又直線不與漸近線平行，
所以.
故答案為：.
【題型六弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦】
例14 (2023·湖北模擬）過雙曲線的右焦點(diǎn)作傾斜角為30°的直線l，直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，則AB的長(zhǎng)為______．
答案：
【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l的方程為．由，得．設(shè)，，則，，
所以．
故答案為：
例15 (2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三月考）直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（）
A．4B．3C．2D．1
答案：C
【解析】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)锳B的中點(diǎn)，則有，
又點(diǎn)A，B在雙曲線上，則，即，
則l的斜率，此時(shí)，直線l的方程：，
由消去y并整理得：，，即直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以l的斜率為2.故選：C
【題型精練】
1. (2023·德陽三模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為，則b的值是（）
A．2B．C．D．
答案：D
【解析】設(shè)、，則，，
兩式相減可得，
為線段的中點(diǎn)，，，
，又，，
，即，，
故選：D.
2. (2023·江西·高三開學(xué)考試）（多選）已知雙曲線的一條漸近線方程為，過點(diǎn)作直線交該雙曲線于和兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的有（）
A．該雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸不能確定
B．該雙曲線的離心率為
C．若和在雙曲線的同一支上，則
D．若和分別在雙曲線的兩支上，則
答案：BC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，可得，
且有，解得，則雙曲線的方程為，其焦點(diǎn)在軸上；
若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，可得，且有，無解，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，，
所以，雙曲線的離心率為，B對(duì)；
對(duì)于CD選項(xiàng)，當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
則，解得，
由韋達(dá)定理可得，，
，
，
.
若和在雙曲線的同一支上，則，可得，
則，C對(duì)；
若和分別在雙曲線的兩支上且直線不與軸重合時(shí)，
，可得，則，
若直線與軸重合，則、分別為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，則，
故當(dāng)和分別在雙曲線的兩支上時(shí)，，D錯(cuò).
故選：BC.
【題型七雙曲線的綜合應(yīng)用】
例16 (2023·湖北模擬）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，一條漸近線的傾斜角為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交與兩點(diǎn)，與軸交與點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，求證：．
答案：（1）；（2）證明見解析．
【解析】（1）由題意得，，
解得所以雙曲線的方程為：
（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，得，，
設(shè)，，
聯(lián)立，整理可得
，
所以
所以
直線與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以
所以，設(shè)，
所以
【題型精練】
1. (2023·德陽三模）在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在軸上的橢圓和雙曲線有共同的頂點(diǎn)（2，0），且雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，雙曲線的漸近線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)求橢圓的方程；
(3)過橢圓的左焦點(diǎn)作直線（直線的斜率不為零）與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求證：為定值．
答案：(1)2；(2)；(3)證明見解析.
【解析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，
由題可得.
因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，
所以雙曲線的離心率．
（2）由已知可設(shè)橢圓的方程為，由(1)可知雙曲線的漸近線方程為．因?yàn)殡p曲線的漸近線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以代入漸近線方程可得，，
代入橢圓的方程可得，所以橢圓的方程為．
（3）證明：由已知可得，橢圓的左焦點(diǎn)，直線的斜率不為零．
設(shè)直線，直線與橢圓的交點(diǎn)，，
的中點(diǎn)，
聯(lián)立消去并化簡(jiǎn)得，
，
，，
則，．
直線的方程為，則，
所以，
所以，即為定值．標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
焦點(diǎn)
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范圍
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
實(shí)軸：線段A1A2，長(zhǎng)：2a；虛軸：線段B1B2，長(zhǎng)：2b，實(shí)半軸長(zhǎng)：a，虛半軸長(zhǎng)：b
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(1，＋∞)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多