§3.6　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考試要求　導(dǎo)數(shù)中的不等式證明是高考的?？碱}型，常與函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)與極值、數(shù)列等相結(jié)合，雖然題目難度較大，但是解題方法多種多樣，如構(gòu)造函數(shù)法、放縮法等，針對(duì)不同的題目，靈活采用不同的解題方法，可以達(dá)到事半功倍的效果．題型一　將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題例1 (2023·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－a，a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)當(dāng)a＝1時(shí)，令g(x)＝.證明：當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時(shí)對(duì)復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得證．跟蹤訓(xùn)練1 設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln 2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二　將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較例2 (2023·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝e時(shí)，證明f(x)－＋2e≤0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無(wú)從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo)．本例中同時(shí)含ln x與ex，不能直接構(gòu)造函數(shù)，把指數(shù)與對(duì)數(shù)分離兩邊，分別計(jì)算它們的最值，借助最值進(jìn)行證明．跟蹤訓(xùn)練2 (2023·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；(2)證明：ex＋xln x＋x2－2x>0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三　適當(dāng)放縮證明不等式例3 已知函數(shù)f(x)＝aex－1－ln x－1.(1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))處的切線方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)≥0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 導(dǎo)數(shù)方法證明不等式中，最常見(jiàn)的是ex和ln x與其他代數(shù)式結(jié)合的問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題，可以考慮先對(duì)ex和ln x進(jìn)行放縮，使問(wèn)題簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明．常見(jiàn)的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)；(2)ln x≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)．跟蹤訓(xùn)練3 (2022·南充模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax－sin x.(1)若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：當(dāng)x>0時(shí)，ex>2sin x.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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