2023-2024學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)湖北大學(xué)附中九年級(上)月考數(shù)學(xué)試卷(10月份)一、選擇題(本大題共10小題,共30.0分。在每小題列出的選項中,選出符合題目的一項)1.下列方程是一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.將一元二次方程化成一般式后,二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為(    )A.  B. , C.  D. ,3.用配方法解方程時,原方程應(yīng)變形為(    )A.  B.  C.  D. 4.拋物線,,共有的性質(zhì)是(    )A. 開口向下 B. 對稱軸為
C. 都有最低點(diǎn) D. 的增大而減小5.關(guān)于的一元二次方程的一個根是,則的值為(    )A.  B.  C.  D. 6.當(dāng)時,的圖象大致是(    )A.  B.  C.  D. 7.如圖,長,寬的矩形基地上有三條寬的小路,剩余種花,依題意列方程(    )
 A.  B.
C.  D. 8.已知是方程的根,則的值是(    )A.  B.  C.  D. 9.如圖所示,矩形,,,點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn),點(diǎn)是對角線上一個動點(diǎn),連接,則的最小值是(    )A.
B.
C.
D. 10.若關(guān)于的一元二次方程為實(shí)數(shù),在的范圍內(nèi)有解,則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題(本大題共6小題,共18.0分)11.方程的解為______12.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個支干長出同樣數(shù)量的小分支若主干,支干和小分支的總數(shù)是,設(shè)每個支干長出個小分支,則可列方程為______ 13.是方程的一個根,則的值為______ 14.已知,點(diǎn),都在函數(shù)的圖象上,則,的大小關(guān)系是______15.已知拋物線為常數(shù)的一般形式為:為常數(shù)該拋物線與軸的一個交點(diǎn)在點(diǎn)之間則下列結(jié)論:
;
;
一元二次方程的兩根,,則
對于任意實(shí)數(shù),不等式恒成立.
其中正確的說法有______ 填序號16.如圖,在中,,,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)上,,若,,則的長是______
 三、解答題(本大題共8小題,共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.本小題
解下列方程:

 18.本小題
參加一次商品交易會的每兩家公司之間都簽定了一份合同,所有公司共簽定了份合同,共有多少家公司參加商品交易會?19.本小題
已知是二次函數(shù),且當(dāng)時,的增大而增大.
的值;
如果點(diǎn)是此二次函數(shù)的圖象上一點(diǎn),若,那么的取值范圍為______20.本小題
已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
的取值范圍;
若方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根是,,求的值.21.本小題
如圖均是由邊長為的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格,的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上,僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格中完成下列畫圖,畫圖過程用虛線表示,畫圖結(jié)果用實(shí)線表示.
如圖,過點(diǎn)作線段,使得
如圖,過格點(diǎn)作直線于點(diǎn),并在直線上作出點(diǎn)不與點(diǎn)重合,使得;
如圖,以為邊,向右作正方形,與網(wǎng)格線的交點(diǎn),在上求作一點(diǎn)使得

 22.本小題
隨旅游旺季的到來,北湖濕地公園的游客人數(shù)逐月增加,月份游客人數(shù)為萬人,月份游客人數(shù)為萬人.
求這兩個月中北湖濕地公園游客人數(shù)的月平均增長率;
預(yù)計月份北湖濕地公園游客人數(shù)會繼續(xù)增長,但增長率不超過前兩個月的月平均增長率已知北湖濕地公園日至日已接待游客萬人,則月份后天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人?23.本小題
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖,已知矩形的對角線的垂直平分線與邊分別交于點(diǎn),求證:四邊形是菱形;
【類比應(yīng)用】如圖,直線分別交矩形的邊,于點(diǎn),,將矩形沿翻折,使點(diǎn)的對稱點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,若,,求四邊形的周長;
【拓展延伸】如圖,直線分別交平行四邊形的邊,于點(diǎn),,將平行四邊形沿翻折,使點(diǎn)的對稱點(diǎn)與點(diǎn)重合,點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,若,,,求的長.

 24.本小題
拋物線軸于,兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊?頂點(diǎn)軸的正半軸上,點(diǎn)在拋物線上,
求點(diǎn),的坐標(biāo);
之間的關(guān)系式;
?的面積是,求點(diǎn)的坐標(biāo).

答案和解析 1.【答案】 【解析】解:符合一元二次方程的定義,故本選項符合題意;
B.整理后可得,是一元一次方程,故本選項不合題意;
C.是分式方程,故本選項不合題意;
D.是一元三次方程,故本選項不合題意;
故選:
根據(jù)一元二次方程的定義,只含有一個未知數(shù),并且最高次項的次數(shù)是次,并且得是整式方程,即可判斷.
本題考查了一元二次方程的概念,只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是特別要注意的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn).2.【答案】 【解析】解:一元二次方程化成一般式為:,
故二次項系數(shù)是,一次項系數(shù)是
故選:
先把方程化為一元二次方程的一般形式,進(jìn)而可得出結(jié)論.
本題考查是一元二次方程的一般形式,熟知一般地,任何一個關(guān)于的一元二次方程經(jīng)過整理,都能化成如下形式,這種形式叫一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵.3.【答案】 【解析】解:,

,
,
故選:
利用解一元二次方程配方法,進(jìn)行計算即可解答.
本題考查了解一元二次方程配方法,熟練掌握解一元二次方程配方法是解題的關(guān)鍵.4.【答案】 【解析】解:拋物線,共有的性質(zhì)是頂點(diǎn)坐標(biāo)是都是,對稱軸都是軸,故選項B符合題意,選項A、、不符合題意,
故選:
根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)可以解答本題.
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.5.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定義,掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵.解答此題將代入方程可得:,解之求得的值,在根據(jù)一元二次方程的定義求解可得.
【解答】
解:根據(jù)題意將代入方程可得:
解得:,
,即,

故選B6.【答案】 【解析】解:根據(jù)題意,,則同號,
當(dāng)時,,開口向上,過原點(diǎn),過一、二、三象限;
此時,沒有選項符合,
當(dāng)時,,開口向下,過原點(diǎn),過二、三、四象限;
此時,選項符合,
故選:
根據(jù)題意,,則、同號,分兩種情況討論,分析選項可得答案.
本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的性質(zhì),要求學(xué)生理解系數(shù)與圖象的關(guān)系.7.【答案】 【解析】解:由題意可得,
,
故選:
根據(jù)題意可知:大長方形的面積路的面積種花的面積,然后利用平移即可寫出相應(yīng)的方程.
本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,列出相應(yīng)的方程.8.【答案】 【解析】解:原式

,
是方程的根,
,
,
原式
故選:
先把括號內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算,再約分得到原式,接著利用一元二次方程根的定義得到,然后利用整體代入的方法得到原式,最后約分即可.
本題考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.9.【答案】 【解析】解:作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn),連接,,過點(diǎn)于點(diǎn),交于點(diǎn),如圖:

由對稱性可得,
,
當(dāng),三點(diǎn)共線,且時,即點(diǎn)在點(diǎn)處,點(diǎn)在點(diǎn)處時,的值最小.
,,
,,

,

,

故選:
作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn),連接,,過點(diǎn)于點(diǎn),交于點(diǎn),即可得到的最小值為,再運(yùn)用銳角三角函數(shù)即可解答.
本題主要考查矩形的性質(zhì)和線段和最小值問題,解題的關(guān)鍵在于作出適當(dāng)?shù)妮o助線.10.【答案】 【解析】解:設(shè),

,
解得
對稱軸為,
時,,
解得
的取值范圍是
故選:
先設(shè),根據(jù)根的判別式得到,再利用拋物線的對稱軸求出時,,解得,進(jìn)一步得出的取值范圍.
本題考查了根的判別式:一元二次方程的根與有如下關(guān)系:當(dāng)時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)時,方程無實(shí)數(shù)根.11.【答案】 【解析】解:方程,
移項,得
開平方,得
故答案為:
移項,再直接開平方求解.
本題考查了直接開方法解一元二次方程.用直接開方法求一元二次方程的解的類型有:;同號且;同號且法則:要把方程化為“左平方,右常數(shù),先把系數(shù)化為,再開平方取正負(fù),分開求得方程解”.12.【答案】 【解析】解:根據(jù)題意,得,
故答案為:
根據(jù)主干,支干和小分支的總數(shù)是,列一元二次方程即可.
本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程,理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.13.【答案】 【解析】解:是方程的一個根,
,
,

故答案為:
先根據(jù)一元二次方程解的定義得到,再把變形為,然后利用整體的方法計算.
本題考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.14.【答案】 【解析】解:當(dāng)時,,
而拋物線的對稱軸為直線,開口向上,
三點(diǎn)都在對稱軸的左邊,的增大而減小,

故本題答案為:
拋物線的對稱軸為軸,即直線,圖象開口向上,當(dāng)時,,在對稱軸左邊,的增大而減小,由此可判斷,的大小關(guān)系.
本題考查了二次函數(shù)的增減性.當(dāng)二次項系數(shù)時,在對稱軸的左邊,的增大而減小,在對稱軸的右邊,的增大而增大;時,在對稱軸的左邊,的增大而增大,在對稱軸的右邊,的增大而減?。?/span>15.【答案】 【解析】解:拋物線為常數(shù),
拋物線開口向下,對稱軸為直線,頂點(diǎn)為,
拋物線與軸的一個交點(diǎn)在點(diǎn)之間,
拋物線與軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)之間.
當(dāng)時,
,所以結(jié)論正確;
拋物線的對稱軸為直線,

,
,所以結(jié)論正確;
一元二次方程的兩根,
拋物線軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
拋物線的對稱軸為直線,
,所以結(jié)論錯誤;
時,函數(shù)有最大值,
任意實(shí)數(shù),
,所以結(jié)論正確;
故答案為:
利用拋物線的對稱性,借組圖象即可判斷;根據(jù)對稱軸為直線即可判斷;根據(jù)題意得出拋物線軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,據(jù)對稱軸為直線即可判斷;根據(jù)時,函數(shù)有最大值即可判斷
本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:對于二次函數(shù),二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)時,拋物線向上開口;當(dāng)時,拋物線向下開口;一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置:當(dāng)同號時,對稱軸在軸左;當(dāng)異號時,對稱軸在軸右;常數(shù)項決定拋物線與軸交點(diǎn)位置:拋物線與軸交于:拋物線與軸交點(diǎn)個數(shù)由決定:時,拋物線與軸有個交點(diǎn);時,拋物線與軸有個交點(diǎn);時,拋物線與軸沒有交點(diǎn).16.【答案】 【解析】解:作,交
,

,
,
是等腰直角三角形,

,

,
,
,

;,
是等腰直角三角形,
,
,

,

,
,

,
等腰直角三角形,
,


,

故答案為:
,交,,可以證明,得到;,求出,由銳角的正切推出,得到,因此,由勾股定理即可求出的長.
本題考查等腰直角三角形,相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造相似三角形,求出17.【答案】解:
,

,
;
,
,
; 【解析】根據(jù)配方法即可求出答案;
根據(jù)因式分解法即可求出答案.
本題考查一元二次方程,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法,本題屬于基礎(chǔ)題型.18.【答案】解:設(shè)有家公司參加,依題意,得

整理得:
解得:舍去
答:共有公司參加商品交易會. 【解析】每家公司都與其他公司鑒定了一份合同,設(shè)有家公司參加,則每個公司要簽份合同,簽訂合同共有份.
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,甲乙之間互簽合同,只能算一份,本題屬于不重復(fù)記數(shù)問題,類似于若干個人,每兩個人之間都握手,握手總次數(shù);或者平面內(nèi),個點(diǎn)沒有三點(diǎn)共線之間連線,所有線段的條數(shù).解答中注意舍去不符合題意的解.19.【答案】 【解析】解:根據(jù)題意得,解得,,
二次函數(shù)當(dāng)時,的增大而增大,
二次函數(shù)的圖象的開口向下,即,
;

拋物線開口向下,對稱軸為軸,頂點(diǎn)為原點(diǎn),
當(dāng)時,;時,,
二次函數(shù)的圖象上點(diǎn),且,則的取值范圍為
故答案為:
根據(jù)二次函數(shù)的定義得到,解得,,由于當(dāng)時,的增大而增大,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)則有,于是得到;
求得當(dāng)時,;時,,然后關(guān)鍵二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到的取值范圍.
本題考查了二次函數(shù)的定義,二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.20.【答案】解:方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,

解得
的取值范圍為;
由根與系數(shù)關(guān)系得,,
 【解析】此題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用,時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;時,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根;時,方程沒有實(shí)數(shù)根;,
根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根可得,解不等式求出的取值范圍;
由根與系數(shù)的關(guān)系可得,,代入整理后的代數(shù)式,計算即可.21.【答案】解:如圖,線段即為所求;
如圖,圖形如圖所示;
如圖,圖形如圖所示:
 【解析】利用平移變換的性質(zhì)作出圖形即可;
利用數(shù)形結(jié)合的射線作出直線,再利用網(wǎng)格特征解決問題即可;
構(gòu)造等腰直角三角形解決問題即可.
本題考查作圖應(yīng)用于設(shè)計作圖,全等三角形的判定和性質(zhì),正方形的判定等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.22.【答案】解:設(shè)這兩個月中北湖濕地公園游客人數(shù)的月平均增長率為
根據(jù)題意得:,
解得:,不符合題意,舍去
答:這兩個月中北湖濕地公園游客人數(shù)的月平均增長率為;
設(shè)月份后天日均接待游客人數(shù)是萬人,
根據(jù)題意得:
解得:,
的最大值為
答:月份后天日均接待游客人數(shù)最多是萬人. 【解析】設(shè)這兩個月中北湖濕地公園游客人數(shù)的月平均增長率為,利用月份游客人數(shù)月份游客人數(shù)這兩個月中北湖濕地公園游客人數(shù)的月平均增長率,可列出關(guān)于的一元二次方程,解之取其符合題意的值,即可得出結(jié)論;
設(shè)月份后天日均接待游客人數(shù)是萬人,根據(jù)月份游客人數(shù)不超過萬人,可列出關(guān)于的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出結(jié)論.
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程;根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式.23.【答案】證明:四邊形是矩形,
,
,
垂直平分
,,
,

四邊形為平行四邊形,
,
平行四邊形為菱形;
解:過點(diǎn)
由折疊可知:,,
中,,即,

,
,

,

四邊形是矩形,
,
,
,
四邊形的周長;
解:過點(diǎn),交的延長線于,過點(diǎn)
四邊形是平行四邊形,,
,

,
,

由折疊的性質(zhì)可知:,
,
,
,
,

,
,
,
四邊形是平行四邊形,

四邊形是矩形,

中,,
,
中, 【解析】通過證明,得到,可證四邊形為平行四邊形,再由,可證平行四邊形為菱形;
過點(diǎn),先判斷四邊形是矩形,再求矩形的邊長,進(jìn)而求出周長;
過點(diǎn),交的延長線于,過點(diǎn),先證明四邊形是平行四邊形,再證明四邊形是矩形,在中,求出,中,求出即可.
本題是四邊形的綜合題,熟練掌握菱形的判定及性質(zhì),平行四邊形的判定及性質(zhì),圖形折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.24.【答案】解:,
解得:
即點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為:、;
點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,
點(diǎn)向右平移個單位向上平移個單位得到點(diǎn),
則點(diǎn)向右平移個單位向上平移個單位得到點(diǎn),
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得:,
整理得:
連接,過點(diǎn)軸的平行線交軸于點(diǎn),交過點(diǎn)軸的平行線與點(diǎn),


解得舍去,
故點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】,解得:,即可求解;
點(diǎn)向右平移個單位向上平移個單位得到點(diǎn),則點(diǎn)向右平移個單位向上平移個單位得到點(diǎn),即可求解;
,即可求解.
主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來,利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度,從而求出線段之間的關(guān)系.

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