2023-2024學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)首義中學(xué)九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列方程中，是關(guān)于的一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(    )A.  B.  C.  D. 3.用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是(    )A.  B.  C.  D. 4.一元二次方程根的情況是
(    )A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 無實(shí)數(shù)根 D. 無法確定5.把拋物線向右平移個(gè)單位，然后向下平移個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為(    )A.  B.
C.  D. 6.某公司今年月的營業(yè)額為萬元，按計(jì)劃第季度的營業(yè)額要達(dá)到萬元，設(shè)該公司、月的營業(yè)額的月平均增長率為根據(jù)題意列方程正確的是(    )A.
B.
C.
D. 7.已知、是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 8.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)沿方向從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)路程為，線段的長為，圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長為(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）9.若拋物線的開口向上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．10.若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，則的值為______．11.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，請寫出一個(gè)符合條件的值______．12.在一次酒會(huì)上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，則參加酒會(huì)的人數(shù)為______．13.已知，，為拋物線上的三點(diǎn)，那么，，的大小關(guān)系是______．14.如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)，，
，連接，將線段向上平移落在處，且恰好經(jīng)過這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)，則四邊形的周長為______．
 15.已知有理數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如：的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是，如果的差倒數(shù)正好是，那么的值是______．16.二次函數(shù)的大致圖象如圖所示，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：；；若方程有兩個(gè)根和，且，則；的最小值為其中正確結(jié)論的是______．
 三、解答題（本大題共8小題，共64.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
先化簡，再求值．
，其中．18.本小題分
解方程：
；
．19.本小題分
已知是二次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．
求的值；
如果點(diǎn)是此二次函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，若，那么的取值范圍為______．20.本小題分
云夢魚面是湖北地區(qū)的漢族傳統(tǒng)名吃之一，主產(chǎn)于湖北省云夢縣，并因此而得名，年，云夢魚面在巴拿馬萬國博覽會(huì)參加特產(chǎn)比賽獲優(yōu)質(zhì)銀牌獎(jiǎng)，產(chǎn)品暢銷全國及國際市場．今年云夢縣某魚面廠在“農(nóng)村淘寶網(wǎng)店”上銷售云夢魚面，每袋成本元，該網(wǎng)店于今年月銷售出袋，每袋售價(jià)元，為了擴(kuò)大銷售，月準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)．據(jù)測算每袋魚面每降價(jià)元，銷售量可增加袋．
每袋魚面降價(jià)元時(shí)，月共獲利多少元？
當(dāng)每袋魚面降價(jià)多少元時(shí)，能盡可能讓利于顧客，并且讓廠家獲利元？21.本小題分
已知關(guān)于的方程：．
求證：無論取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
設(shè)非實(shí)數(shù)，是方程的兩根，試求的值．22.本小題分

如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
求的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)是拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)的值最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
23.本小題分
九年級數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第且為整數(shù)天的售價(jià)與銷量的相關(guān)信息如下表：時(shí)間天售價(jià)元件每天銷售件已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為元．
求出與的函數(shù)關(guān)系式；
問銷售該商品第幾天時(shí)，日銷售利潤最大，最大是多少？
該商品在銷售過程中，共有幾天日銷售利潤不低于元？請直接寫出結(jié)果．24.本小題分
如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，且，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，連接．
求拋物線的解析式；
如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，若，求的值；
如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
B.，是二元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
C.是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；
D.是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的定義逐個(gè)判斷即可．
本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一次未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是的整式方程，叫一元二次方程．2.【答案】 【解析】解：拋物線，
該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：．
根據(jù)題目中的拋物線解析式，可以直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，本題得以解決．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．3.【答案】 【解析】解：，
，即．
故選：．
方程左右兩邊都加上，左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果．
本題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：，
所以方程無實(shí)數(shù)根．
故選：．
先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義確定方程根的情況．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．5.【答案】 【解析】解：把拋物線向右平移個(gè)單位，然后向下平移個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為：．
故選：．
直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．6.【答案】 【解析】解：設(shè)該公司、月的營業(yè)額的月平均增長率為，
依題意，得：．
故選：．
設(shè)該公司、月的營業(yè)額的月平均增長率為，根據(jù)計(jì)劃第季度的總營業(yè)額達(dá)到萬元，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：、是一元二次方程的兩個(gè)根，
，，
是的一個(gè)根，
，
，
．
故選：．
由于、是一元二次方程的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，而是方程的一個(gè)根，可得，即，那么，再把、、的值整體代入計(jì)算即可．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程兩根、之間的關(guān)系：，．8.【答案】 【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于，連接，
根據(jù)圖知：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
當(dāng)與重合時(shí)，，
，
，
當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，
，
．
故選：．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，再結(jié)合運(yùn)動(dòng)時(shí)隨的變化的關(guān)系圖象，通過勾股定理即可求解．
本題主要考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，掌握平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合函數(shù)圖象解題是解題關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：拋物線的開口向上，
，
解得．
故答案為：．
由拋物線開口方向向上可知，解不等式可得的范圍．
本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向與二次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：把代入方程，得，
解得．
故答案為：．
先把代入方程得，然后解關(guān)于的方程即可．
本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．11.【答案】答案不唯一 【解析】解：根據(jù)題意得，
解得，
所以可以取．
故答案為：答案不唯一．
根據(jù)根的判別式的意義得到，再解不等式得到的取值范圍，然后在此范圍內(nèi)選取一個(gè)值即可．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．12.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為人，根據(jù)每兩人都只碰一次杯且一共碰杯次，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解答】
解：設(shè)參加酒會(huì)的人數(shù)為人，
根據(jù)題意得：，
整理，得：，
解得：，不合題意，舍去．
答：參加酒會(huì)的人數(shù)為人．
故答案為：．13.【答案】 【解析】解：，
拋物線的開口向上，對稱軸為直線，
，，為拋物線上的三點(diǎn)，且，
．
故答案為：．
先求出拋物線的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的的性質(zhì)即可判斷．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】解：拋物線與軸交于和，
拋物線解析式為，
即；
，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，則，
，
設(shè)直線的解析式為，
把，分別代入得，
解得，
直線的解析式為，
線段向上平移得到，
，，
四邊形為平行四邊形，
設(shè)直線的解析式為，
把代入得，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，則，
，
四邊形的周長．
故答案為：．
先利用交點(diǎn)式得到拋物線解析式為，則利用配方法得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，再確定，則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出，利用待定系數(shù)法確定直線的解析式為，接著根據(jù)平移的性質(zhì)可判斷四邊形為平行四邊形，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式得到，然后利用四邊形的周長進(jìn)行計(jì)算即可．
本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．15.【答案】 【解析】解：由題意知，，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
故答案為：．
根據(jù)差倒數(shù)的定義得出的值，然后得出結(jié)論即可．
本題主要考查有理數(shù)的計(jì)算，熟練掌握一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．16.【答案】 【解析】解：拋物線的開口向上，則，對稱軸在軸的左側(cè)，則，交于軸的負(fù)半軸，則，
，錯(cuò)誤；
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
，

時(shí)，，
，正確；
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
，，
，，
拋物線的解析式為，
拋物線交軸于，，
若方程有兩個(gè)根和且，則一正確；
當(dāng)時(shí)，有最小值，，最小值為故正確．
故答案為：．
根據(jù)圖象判斷參數(shù)符號，判斷，將代入解析式，可判斷，由頂點(diǎn)坐標(biāo)可得、，進(jìn)而根據(jù)圖象判斷．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17.【答案】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，
原式

． 【解析】原式去括號，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，然后代入求值．
本題考查整式的加減化簡求值，掌握合并同類項(xiàng)系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變和去括號的運(yùn)算法則括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)不變號；括號前面是“”號，去掉“”號和括號，括號里的各項(xiàng)都變號是解題關(guān)鍵．18.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，即，
，
，． 【解析】利用因式分解法求解可得；
利用配方法求解可得．
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．19.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得且，解得，，
二次函數(shù)當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
二次函數(shù)的圖象的開口向下，即，
；
，
拋物線開口向下，對稱軸為軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，
二次函數(shù)的圖象上點(diǎn)，且，則的取值范圍為．
故答案為：．
根據(jù)二次函數(shù)的定義得到且，解得，，由于當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)則有，于是得到；
求得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，然后關(guān)鍵二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到的取值范圍．
本題考查了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．20.【答案】解：由題意可得：元，
答：每袋降價(jià)元時(shí)，月共獲利元；
設(shè)當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價(jià)元時(shí)，
根據(jù)題意可得，
解得，，
由于能盡可能讓利于顧客，
舍去，
答：當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價(jià)元時(shí)，能盡可能讓利于顧客，并且讓商家獲利元． 【解析】由銷量每袋的利潤總利潤即可求出答案；
根據(jù)銷量每袋的利潤總利潤列出方程，解答即可．
此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握銷量、每袋的利潤、總利潤的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．21.【答案】證明：關(guān)于的方程：，
，，，


，
無論取何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
解：實(shí)數(shù)，是方程的兩根，
把代入方程得：，
解得：或，
又
故
把代入方程得：，即，
解得：或，
則． 【解析】表示出方程根的判別式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷其值大于，即可得證；
把代入方程求出的值，進(jìn)而求出的值，即可求出所求．
此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．22.【答案】解：將點(diǎn)代入得，
，，
拋物線解析式為
，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
如下圖，點(diǎn)與點(diǎn)是關(guān)于直線成軸對稱，根據(jù)其性質(zhì)有，
，
當(dāng)點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)共線時(shí)，為最小值，即為的最小值，
由拋物線解析式為，可得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為，
設(shè)直線的解釋為，將點(diǎn)，點(diǎn)，代入得，
，解得，
直線的解析式為，聯(lián)立方程，
，解得，
當(dāng)的值最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
 【解析】將點(diǎn)，代入，得其解析式，從而求出的值及拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
利用“將軍飲馬”思路，點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)是點(diǎn)，進(jìn)而解決問題．
本題考查了學(xué)生對二次函數(shù)的理解，以及利用函數(shù)和幾何綜合知識點(diǎn)解決最值問題，綜合性很強(qiáng)，難度相對比較大．23.【答案】解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述：；
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，二次函數(shù)對稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，．
綜上所述，該商品第天時(shí)，當(dāng)天銷售利潤最大，最大利潤是元；
當(dāng)時(shí)，，解得，
因此利潤不低于元的天數(shù)是，共天；
當(dāng)時(shí)，，解得，
因此利潤不低于元的天數(shù)是，共天，
所以該商品在銷售過程中，共天每天銷售利潤不低于元． 【解析】根據(jù)利潤每件的利潤銷售的件數(shù)可得到函數(shù)的關(guān)系式；
根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，從而可求得的取值；
根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于，一次函數(shù)值大于或等于，可得到或，然后解得的取值范圍．
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用單價(jià)乘以數(shù)量求函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系求得不等式的解集是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：把代入得，
點(diǎn)坐標(biāo)為，，
，
，
拋物線對稱軸為直線，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
即點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，
把代入得，
解得，
．
設(shè)交軸于點(diǎn)，

軸，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
點(diǎn)坐標(biāo)為
設(shè)直線解析式為，
將，代入得，
解得，
．
令，
解得或，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，，
．
不存在，理由如下：
作軸交延長線于點(diǎn)，

，
為中點(diǎn)，
≌，
，
設(shè)，則，
設(shè)直線解析式為，
把，代入解析式得，
解得，
，
點(diǎn)在直線上，
，
該方程無解，
符合題意的點(diǎn)不存在． 【解析】由解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再由求出長度，根據(jù)對稱軸為直線可得點(diǎn)，坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
設(shè)交軸于點(diǎn)，由可得，即，，通過勾股定理求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線解析式，聯(lián)立方程可得點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
作軸交延長線于點(diǎn)，由可得為中點(diǎn)，從而得出≌，設(shè)點(diǎn)，可用含代數(shù)式表示點(diǎn)，求出所在直線方程，將點(diǎn)代入求解．
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，通過添加輔助線求解．

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湖北省武漢市首義中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題：

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2022-2023學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)武珞路中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案解析）：

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