2023-2024學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題（本大題共9小題，共45.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 2.某中學(xué)高三年級共有學(xué)生人，為了解他們的視力狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本，若樣本中共有女生人，則該校高三年級共有男生人．(    )A.  B.  C.  D. 3.下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是(    )A.  B.
C.  D. 4.已知，是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角是(    )A.  B.  C.  D. 5.已知函數(shù)，，的零點依次為，，，則，，的大小關(guān)系為(    )A.  B.  C.  D. 6.在中，，則(    )A.  B.  C.  D. 7.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)元素安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為(    )A.  B.  C.  D. 8.已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為(    )A.  B.  C.  D. 9.已知，，是實數(shù)，可判斷下列命題正確的是(    )A. “”是“”的充分條件
B. “”是“”的必要條件
C. “”是“”的充分條件
D. “”是“”的必要條件二、多選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題有多項符合題目要求）10.已知，且，則下列不等式成立的是(    )A.  B.  C.  D. 11.有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中是最小值，是最大值，則(    )A. ，，，的平均數(shù)等于，，，的平均數(shù)
B. ，，，的中位數(shù)等于，，，的中位數(shù)
C. ，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不小于，，，的標(biāo)準(zhǔn)差
D. ，，，的極差不大于，，，的極差12.已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且二面角為，則(    )A. 該圓錐的體積為 B. 該圓錐的側(cè)面積為
C.  D. 的面積為三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若為偶函數(shù)，則 ______ ．14.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為______ ．15.在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，，則可用，表示為______ ；若，則的最大值為______ ．16.已知函數(shù)，如圖，，是直線與曲線的兩個交點，若，則 ______ ．
 四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
設(shè)命題：方程有實數(shù)根；命題：方程有實數(shù)根已知和均為真命題，求實數(shù)的取值范圍．18.本小題分

如圖，在三棱錐中，，，，，，，的中點分別為，，，，點在上，．
證明：平面；
證明：平面平面．
19.本小題分
某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
當(dāng)漏診率時，求臨界值和誤診率；
設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
 20.本小題分
記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知面積為，為的中點，且．
若，求；
若，求，．21.本小題分
已知函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱．
求的值；
若函數(shù)，，求的最大值．22.本小題分
如圖，是的直徑，是圓周上異于，的點，是平面外一點，且．
求證：平面平面；
若，點是上一點，且與在直徑同側(cè)，．
(ⅰ)設(shè)平面平面，求證：；
(ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的正切值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為．
故選：．
利用復(fù)數(shù)的運算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．
本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】 【解析】解：某中學(xué)高三年級共有學(xué)生人，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本，
設(shè)該校高三年級共有男生人，
樣本中共有女生人，樣本中有男生人，
，解得．
則該校高三年級共有男生人．
故選：．
根據(jù)分層抽樣的定義求解即可．
本題考查分層抽樣等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】 【解析】解：根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，不符合題意；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，符合題意；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上不單調(diào)，不符合題意；
在上單調(diào)遞減，不符合題意．
故選：．
由已知結(jié)合基本初等函數(shù)單調(diào)性檢驗各選項即可判斷．
本題主要考查了基本初等函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查兩個向量數(shù)量積的運算，兩個向量數(shù)量積的定義，求向量的模的方法，屬于中檔題．
利用兩個向量數(shù)量積的定義求出，再求出，， 的值，根據(jù)，求得 與的夾角的值．【解答】
解：已知，是夾角為的兩個單位向量，
，
設(shè)與的夾角為，，
，
，
，
，．
故答案選：．5.【答案】 【解析】【分析】本題考查函數(shù)零點的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．
把函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．【解答】
解：函數(shù)的零點為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)，
函數(shù)的零點為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)，
函數(shù)的零點為函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)．
在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)、、與的圖象如圖：
由圖可知，，，．
．
故選：．6.【答案】 【解析】解：由正弦定理為三角形外接圓半徑可得：
，，，
所以可化為，
即，
，
又，．
故選：．
首先由正弦定理推論，將條件中的正弦值化為邊，再運用余弦定理，求得的余弦值，即可得的值．
本題考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬簡單題．7.【答案】 【解析】解：如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，
連接，，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，
所以．
因為平面，平面，所以，
因為，，平面，，
所以平面，因為平面，所以，
同理，，又，故四邊形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因為，
所有棱長之和為．
故選：．
先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解．
本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角及其正切值的求法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．8.【答案】 【解析】解：把函數(shù)向
左平移個單位可得
函數(shù)的圖象，
而直線經(jīng)過點，且斜率為，
且直線還經(jīng)過點，，，
，如圖，
故與的交點個數(shù)為．
故選：．
由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．9.【答案】 【解析】【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)、充分、必要條件的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
舉反例可判斷命題、、不正確；由不等式的性質(zhì)可判斷命題D正確．【解答】
解：當(dāng)，時，，但，可得不是的充分條件，因此不正確；
B.當(dāng)，時，，但，可得不是的必要條件，因此不正確；
C.由，若，則，不是的充分條件，因此不正確；
D.由，是的必要條件，因此正確．
故選D．10.【答案】 【解析】解：，且，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A正確；
，且僅當(dāng)時取等號，B錯誤；
由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，C正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
故，D正確．
故選：．
由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論檢驗各選項即可判斷．
本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．11.【答案】 【解析】解：選項，，，，的平均數(shù)不一定等于，，，的平均數(shù)，A錯誤；
選項，，，，的中位數(shù)等于，，，，的中位數(shù)等于，B正確；
選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，為，，，，，，可知，，，的平均數(shù)是，，，，的平均數(shù)是，
，，，的方差，
，，，的方差，
，，C錯誤．
選項，，，，D正確．
故選：．
根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，極差的概念逐一判定即可．
本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的計算，是基礎(chǔ)題．12.【答案】 【解析】解：取中點，則，，

由二面角的定義可知，二面角的平面角即為，
對于，中，由于，，
則，，
則，，選項A正確．
對于，，選項B錯誤．
對于，，選項C正確．
對于，，，選項D錯誤．
故選：．
作圖，取中點，易知，然后再逐項分析判斷即可．
本題考查二面角的定義，考查立體幾何中的距離求解，考查運算求解能力，屬于中檔題．13.【答案】 【解析】解：因為為偶函數(shù)，
所以為偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于對稱，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，．
故答案為：．
由已知結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)可求．
本題主要考查了函數(shù)奇偶性的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】 【解析】解：連接，交于點，連接，交于點，連接，
過作，垂足為，所以為四棱臺的高，如圖所示：
則，，
所以，
所以．
所以該棱臺的體積為．
故答案為：．
根據(jù)臺體的結(jié)構(gòu)特征以及臺體的體積公式運算求解．
本題考查了棱臺體積的計算問題，也考查了運算求解能力，是基礎(chǔ)題．15.【答案】  【解析】解：在中，，，點為的中點，點為的中點，，，
則；
設(shè)，，
由余弦定理可得：，
又，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
又，
則，
則




，
即的最大值為．
故答案為：；．
由平面向量的線性運算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算及基本不等式的應(yīng)用求解即可．
本題考查了平面向量的線性運算，重點考查了平面向量數(shù)量積的運算及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．16.【答案】 【解析】解：由題意：設(shè)，，則，
由的圖象可知：
，即，
，
又，，，
即，，
觀察圖象，可知當(dāng)時，滿足條件，
．
故答案為：．
由，兩點的位置入手，結(jié)合整體代換思想，先確定，再根據(jù)圖象的位置，找出合乎條件的一個值，即可求解．
本題主要考查根據(jù)函數(shù)的圖象確定解析式的方法，屬中檔題．17.【答案】解：當(dāng)命題：方程有實數(shù)根為真命題時，，解得或；
當(dāng)命題：方程有實數(shù)根為真命題時，，解得或，即為真命題時，，
所以和均為真命題時． 【解析】分別求解和為真命題時的的取值，取交集可得答案．
本題考查的知識要點：命題真假的判定，真值表，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．18.【答案】證明：由題可知，，設(shè)，
，
則，解得，
，，
而，，，，四邊形為平行四邊形，
，
平面，平面，
平面．
，，
，即，，
，，
平面，
平面，
平面平面． 【解析】利用向量法可得，，四邊形為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；
由勾股定理可得，，根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；
本題考查直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定定理，是中檔題．19.【答案】解：依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，
所以，解得：，
．
當(dāng)時，
；
當(dāng)時，
，
故，
所以在區(qū)間的最小值為． 【解析】根據(jù)題意由第一個圖可先求出，再根據(jù)第二個圖求出的矩形面積即可解出；
根據(jù)題意確定分段點，即可得出的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出．
本題考查頻率分布直方圖相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．20.【答案】解：為中點，，
則，
過作，垂足為，如圖所示：

中，，，，解得，
，，
故；
，
，
，，
則，
，
，即，
由解得，
，
，又，
． 【解析】根據(jù)已知條件，推得，過作，垂足為，依次求出，，即可求解；
根據(jù)已知條件，求得，兩邊同時平方，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解．
本題主要考查三角形中的幾何計算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．21.【答案】解：函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，
即為偶函數(shù)，有，
即，
可得，
解得；
函數(shù)，
由，可得，
令，，設(shè)，，
當(dāng)，即時，的最大值為；
當(dāng)，即時，的最大值為．
綜上，． 【解析】由偶函數(shù)的定義和對數(shù)的運算性質(zhì)，解方程可得所求值；
化簡函數(shù)，由換元法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求最大值．
本題考查函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值求法，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．22.【答案】證明：連結(jié)，
，
，
又是以為直徑的圓周上一點，
．
，
，
，
，，平面，
平面，
平面，
平面平面；
證明：由題意，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，
，
，
，
又點在圓上且與在直線的同側(cè)，
，
平面，平面，
平面，
設(shè)平面平面，
平面，
；
(ⅱ)解：取的中點，連接，，

則，，
，．
平面，平面，
是平面與平面所成的銳二面角的平面角，
，，
．
是邊長為的正三角形，
．
平面，
，
平面與平面所成的銳二面角的正切值為． 【解析】本題主要考查面面垂直的判定定理，線面平行的性質(zhì)定理以及二面角的求解等．對學(xué)生的邏輯推理能力，空間想像能力，計算能力都有一定的要求．同時題目迎合流行的趨勢，在立體幾何中滲透了平面幾何，增加了知識點間的結(jié)合和思維轉(zhuǎn)換的難度，故設(shè)置了階梯進行鋪墊，屬于中檔題．
連結(jié)，可證明，再利用三角形全等，證明，從而證明平面，由面面垂直的判定定理即可證明；
利用角之間的關(guān)系，證明，由線面平行的判定定理證明平面，然后由線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
取的中點，連接，，利用二面角的平面角的定義，得到是平面與平面所成的銳二面角的平面角，在中，利用邊角關(guān)系求解即可．

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