注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置．
2，選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 直線在軸上的截距為（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】令則
直線在軸上的截距為-2，
故選：A.
2. 已知直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則不過第（ ）象限．
A. 四B. 三C. 二D. 一
【答案】D
【解析】對于直線（為斜率），直線，其斜率，設(shè)其傾斜角為，根據(jù)，可得，又因為傾斜角，所以.
直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，則直線的傾斜角.
直線的斜率.
因為直線過點，根據(jù)直線的點斜式方程（為直線上一點，為斜率），可得直線的方程為，即.
直線的斜率為負，截距為負，所以直線不過第一象限.
故選：D.
3. 已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2．用計算器進行模擬實驗產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
據(jù)此估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為（ ）
A. 0.4B. 0.45C. 0.5D. 0.55
【答案】C
【解析】由題意可知，代表事件“一年沒有1臺設(shè)備需要維修”的數(shù)組有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10組，則由古典概型概率公式計算，
知道估計一年內(nèi)這3臺設(shè)備都不需要維修的概率為
故選：C.
4. 已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為事件A，B互斥，所以它們都不發(fā)生的概率為，
所以
又因為，
所以
所以
故選：D.
5. 現(xiàn)有一段底面周長為厘米和高為15厘米圓柱形水管，AB是圓柱的母線，兩只螞蟻分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從A點沿上底部圓弧順時針方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到達P點，另一只從B沿下底部圓弧逆時針方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到達Q點，則此時線段PQ長（單位：厘米）為（ ）
A. B. 12C. D.
【答案】B
【解析】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心連線為軸，BO所在直線為y軸，
再過作的垂線為軸，如圖建系，
過向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，
設(shè)，所以圓弧的長度為：，，
則，
同理，過向圓O作垂線垂足為，則，
所以.
故選：B.
6. 概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募住⒁覂扇诉M行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負，沒有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（ ）
A. 甲315枚，乙105枚B. 甲280枚，乙140枚
C. 甲210枚，乙210枚D. 甲336枚，乙84枚
【答案】A
【解析】由題可知，對單獨每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為，若游戲繼續(xù)進行，最多再進行2局即可分出勝負，
①第四局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；
②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；
③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結(jié)束，乙勝出，概率為；
所以甲勝出的概率為，甲應(yīng)該分得賭金的，即甲分得賭金枚，乙分得賭金枚.
故選：A.
7. 在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，圓，點為軸上一動點.現(xiàn)由點向點發(fā)射一道粗細不計的光線，光線經(jīng)軸反射后與圓有交點，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方法一：作點關(guān)于軸的對稱點，則直線與圓有交點．
又，所以直線的方程為，
即．
由題知圓的圓心為，半徑為1，
直線與圓有交點，即圓心到直線的距離小于等于1，
所以，解得．
方法二：作點關(guān)于軸的對稱點，則直線與圓有交點，
臨界情況為直線與圓相切．
設(shè)切點為，令，易得，
所以．
因為直線的斜率為，所以直線的斜率．
易得直線的方程為．所以．

故選：A
8. 如圖所示，四面體的體積為，點為棱的中點，點分別為線段的三等分點，點為線段的中點，過點的平面與棱分別交于，設(shè)四面體的體積為，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】連接，
由題意知：；
令，則，，
四點共面，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
；
設(shè)點到平面的距離為，則點到平面的距離為，
又，，
，即最小值為.
故選：C.
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）
9. 給出下列命題，其中是真命題的是（ ）
A. 已知是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底
B. 平面經(jīng)過三點，，，向量是平面的法向量，則
C. 若，則是銳角
D. 若對空間中任意一點，有，則M，A，B，C四點不共面
【答案】AB
【解析】若不是空間的一個基底，則共面，所以存在實數(shù)，使得，
所以，，這是不可能的，A正確；
，向量是平面的法向量，
則，，
.故選項B正確，
當(dāng)夾角為時，故選項C錯誤,
若，則，
即，所以，，
所以共面，所以四點共面，D錯；
故選：AD．
10. 下列命題正確的是（ ）
A. 設(shè)A，B是兩個隨機事件，且，，若，則A，B是相互獨立事件
B. 若，，則事件A，B相互獨立與A，B互斥有可能同時成立
C. 若三個事件A，B，C兩兩相互獨立，則滿足
D. 若事件A，B相互獨立，，，則
【答案】AD
【解析】對于A選項， 已知，，，而，
即，所以、是相互獨立事件，A選項正確.
對于B選項，若、互斥，則，.
若、相互獨立，則（因為，）.
所以事件，相互獨立與，互斥不可能同時成立，B選項錯誤.
對于C選項，設(shè)樣本空間，每個樣本點的概率為.
定義，；，；，.
，. ，.
，，所以A、B、C兩兩相互獨立.
而，，，
此時. C選項錯誤.
對于D選項，因為、相互獨立，則與，與也相互獨立.
.
.
所以，D選項正確.
故選：AD.
11. 平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離比值為一定值的點的軌跡是一個圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點，,動點滿足，記點的軌跡為，則下列命題正確的是（ ）
A. 點的軌跡的方程是
B. 過點的直線被點的軌跡所截得的弦的長度的最小值是1
C. 直線與點的軌跡相離
D. 已知點，點是直線上的動點，過點作點的軌跡的兩條切線，切點為C，D，則四邊形面積的最小值是3
【答案】ACD
【解析】對于A,設(shè)，
已知，，
且.
根據(jù)兩點間距離公式，.
則.兩邊平方可得.
展開整理得，配方可得，所以A選項正確.
對于B,點到圓心距離為.
圓的半徑.根據(jù)弦長公式，當(dāng)最大弦長最小，最大為圓心到點的距離.所以弦長最小值為，所以B選項錯誤.
對于C,圓心到直線的距離.
因為（圓的半徑），所以直線與圓相離，C選項正確.
對于D,四邊形的面積，
因為.
要使面積最小，則最小，
即圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系.
圓心到直線的距離.
.
所以四邊形面積最小值，D選項正確.
故選：ACD.
三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 拋擲兩個質(zhì)地均勻骰子，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6”的概率為______．
【答案】
【解析】拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的所有情況有：
共36種情況，
其中“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6”的有5種，所以所求概率為.
故答案為：.
13. 已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】由題意，，直線是與平行的直線，
如圖所示：

當(dāng)直線與曲線相切時，(負舍)
當(dāng)時，，結(jié)合圖形分析得的取值范圍是.
故答案為：.
14. 在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，P為所確定的平面內(nèi)一點，設(shè)的最大值是以為自變量的函數(shù)，記作．若，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】如圖所示，由已知可得，，，
則，，即，，又，，平面，則平面，
①當(dāng)，兩點在平面同側(cè)或一點在平面上時，，當(dāng)且僅當(dāng)，有一點在平面上時取等號；即；
②當(dāng)，兩點在平面異側(cè)時：設(shè)平面與直線交于點，
將延拓，如圖所示，則，
由，，，平面，
則平面，即，
抽象出平面如圖所示，
則，
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，
由，且，，，
則，
即，，
則，，
又，則，
即，
所以，
所以，符合
故答案為：.
四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15. “體育強則中國強，國運興則體育興”．為備戰(zhàn)2025年杭州舉辦的國際射聯(lián)射擊世界杯，某射擊訓(xùn)練隊制訂了如下考核方案：每一次射擊中10環(huán)、中8環(huán)或9環(huán)、中6環(huán)或7環(huán)、其他情況，分別評定為A，B，C，D四個等級，各等級依次獎勵6分、4分、2分、0分．假設(shè)評定為等級A，B，C的概率分別是，，．
（1）若某射擊選手射擊一次，求其得分低于4分的概率；
（2）若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為8分的概率．
解：（1）設(shè)事件A，B，C，D分別表示“被評定為等級A，B，C，D”．
由題意得，事件A，B，C，D兩兩互斥，
所以．
所以．
因此其得分低于4分的概率為；
（2）設(shè)事件，，，表示“”第i次被評定為等級A，B，C，D，．
則“兩次射擊得分之和為8分”為事件，
且事件，，互斥，，，
所以兩次射擊得分之和為8分的概率.
16. 已知的頂點，邊AB上的中線CD所在直線方程為，邊AC上的高線BE所在直線方程為．
（1）求邊BC所在直線的方程；
（2）求的面積．
解：（1）因為，所以設(shè)直線AC的方程為：，
將代入得，所以直線AC的方程為：，
聯(lián)立AC，CD所在直線方程：，解得，
設(shè)，因為為AB的中點，所以，
因為在直線BE上，在CD上，
所以，，
解得，，所以，，
所以BC所在直線的方程為：，即．
（2）由（1）知點到直線BC的距離為：，
又，所以．
17. 如圖所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC上分別有一點和且，，其中．
（1）求證：，，共面；
（2）若，且，設(shè)為側(cè)棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值．
解：（1）因為，
，
所以．
由共面向量定理可知，，，共面．
（2）取BC的中點為，在中，，，
由余弦定理可得，
所以，依題意，均為正三角形，所以，，
又，平面，平面，
所以平面，因為平面，
所以平面平面，所以在平面內(nèi)作，則平面，
以O(shè)A，OC，Oz所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：
則，，，，，，
設(shè)是平面的一個法向量，
，，
則，即，取得，
依題意可知，
則．
設(shè)直線與平面所成角為，
則．
故直線與平面所成角的正弦值為．
18. 已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動點P滿足
（1）求點P的軌跡方程；
（2）點P軌跡記為曲線C，若曲線C與x軸的交點為M，N兩點，Q為直線l：上的動點，直線MQ，NQ與曲線C的另一個交點分別為E，F(xiàn)，直線EF與x軸交點為K，求的最小值．
解：（1）設(shè)動點坐標(biāo)，
因為動點P滿足，且，，
所以，化簡可得，，
即，所以點P的軌跡方程為.
（2）曲線C：中，令，可得，
解得或，可知,
當(dāng)直線為斜率為0時，即為直徑，長度為8，
當(dāng)直線為斜率不為0時，
設(shè)的直線方程為，
聯(lián)立消去可得：，
化簡可得；
由韋達定理可得，

因為，
所以，的斜率為，
又點在曲線C上，所以,
可得，
所以，
所以，方程為，，
令可得，
化簡可得；，
又在直線上，
可得，，
所以，
化簡可得；，
又，
代入可得，
化簡可得，
，
，所以或，
當(dāng)時為，必過，不合題意，
當(dāng)時為，必過，
又即為圓的弦長，
所以當(dāng)直徑時弦長最小，
此時半徑圓心到直線的距離為
綜上，的最小值.
19. 對于三維向量，定義“F變換”：，其中,,,.記，．
（1）若，求及；
（2）證明：對于任意，必存在，使得經(jīng)過次F變換后，有；
（3）已知，，將再經(jīng)過次F變換后，最小，求的最小值．
解：（1）因為，，，
所以，，
（2）設(shè)
假設(shè)對，，則，，均不為0；
所以，即，
因為，，
所以，與矛盾，所以假設(shè)不正確；
綜上，對于任意，經(jīng)過若干次F變換后，必存在，使得．
（3）設(shè)，因為，
所以有或，
當(dāng)時，可得，三式相加得
又因為，可得，；
當(dāng)時，也可得，，所以；
設(shè)的三個分量為這三個數(shù)，
當(dāng)時，的三個分量為，2，m這三個數(shù)，所以；
當(dāng)時，的三個分量為2，2，4，則的三個分量為0，2，2，的三個分量為2，0，2，
所以；所以，由，可得，；
因為，所以任意的三個分量始終為偶數(shù)，且都有一個分量等于2，
所以的三個分量只能是2，2，4三個數(shù)，的三個分量只能是0，2，2三個數(shù)，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以的最小值為505．
1
2
3
4
5
6
1
╳
╳
╳
╳
√
╳
2
╳
╳
╳
√
╳
╳
3
╳
╳
√
╳
╳
╳
4
╳
√
╳
╳
╳
╳
5
√
╳
╳
╳
╳
╳
6
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╳
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╳
╳
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