本試卷共6頁，22題.滿分150分.考試用時120分鐘.
★?？荚図樌?br>注意事項：
1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 兩條不同直線，的方向向量分別為，，則這兩條直線（）
A. 相交或異面B. 相交C. 異面D. 平行
【答案】A
【解析】
【分析】令，利用空間向量的坐標運算判斷即可.
【詳解】令，即，
則，此方程組無解，則直線，不平行，即相交或異面.
故選：A．
2. 已知橢圓：的離心率為，則（）
A. B. 1C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用橢圓的性質(zhì)計算即可.
【詳解】由題意可知.
故選：C
3. 一束光線從點射出，沿傾斜角為的直線射到軸上，經(jīng)軸反射后，反射光線所在的直線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】先求得入射光線與軸的交點，進而求得反射光線所在直線方程.
【分析】傾斜角為的直線，斜率為，
所以入射光線為，
令，解得，所以入射光線與軸的交點為，
反射光線的斜率為，設(shè)反射光線的方程為.
故選：D
4. 實數(shù)，滿足，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】判斷出點的軌跡，根據(jù)斜率、直線與圓的位置關(guān)系等知識求得正確答案.
【分析】方程，即，
所以是以，半徑為的圓上的點，
表示點與點連線的斜率，
設(shè)直線與圓相切，
到直線的距離，
解得或，
所以的取值范圍是.
故選：C
5. 已知的頂點，邊上的高所在直線方程為，邊上中線所在的直線方程為，則高的長度為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【詳解】先求得點的坐標，然后求得點的坐標，進而求得.
【分析】由解得，所以.
設(shè)，則，
所以，①，
直線的斜率為，則直線的斜率為，
所以②，
由①②解得，則，
直線的方程為，
由，解得，則，
所以.
故選：C
6. 在四面體中，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，斜邊，，則二面角的大小為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，再利用余弦定理求解即得.
【詳解】在四面體中，取的中點，連接，如圖，
由，得，
因此是二面角的平面角，
在中，，
由余弦定理得，
而，則，所以二面角的大小為.
故選：A
7. 已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線：交橢圓于，兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)線段的中點為，利用點差法可得，由三角形重心的性質(zhì)知可求得，從而可得，即可求離心率．
【詳解】設(shè)，線段的中點為，
又為橢圓上兩點，則，
以上兩式相減得，
即，
所以，即，
因為，所以，
由三角形重心的性質(zhì)知，又，
則，解得，即，
所以，化簡得，
即，即，解得或，
又，所以，即，從而，
則橢圓的離心率為．
故選：B．
8. 已知中心在原點，焦點在軸上，且離心率為的橢圓與經(jīng)過點的直線交于兩點，若點在橢圓內(nèi)，的面積被軸分成兩部分，且與的面積之比為，則面積的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)出直線方程和橢圓方程，把直線方程帶入橢圓方程，根據(jù)離心率公式及韋達定理即可求出，利用三角形面積公式及基本不等式即可求得面積的最大值.
【詳解】設(shè)橢圓的方程為，直線的方程為，
，
聯(lián)立整理得：
，
由橢圓的離心率，得，
帶入上式并整理得：
，
則，
由與的面積之比為，則，
則，
所以的面積為
，
當且僅當時，等號成立，
故面積的最大值為
故選：.
二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知橢圓：，，分別是橢圓的左，右焦點，為橢圓上任意一點.下列說法中正確的是（）
A. 橢圓離心率為B. 的最小值為1
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程求得的值，即可求出離心率，判斷出；當點位于橢圓的左頂點時，最小，可判斷出；由橢圓的定義可知，可判斷出；當點位于橢圓的左右頂點時，最小，當點位于橢圓的上下頂點時，最大，
可求出的范圍，判斷出.
【詳解】對于選項，根據(jù)橢圓方程可得，
則，故離心率，故錯誤；
對于，當點位于橢圓的左頂點時，最小，且最小值為，
故正確；
對于，由橢圓的定義知，，故錯誤；
對于，當點位于橢圓的左右頂點時，最小，且最小值為，
當點位于橢圓的上下頂點時，最大，
此時,
為等邊三角形，，
所以，故正確，
故選：.
10. 下列說法正確的是（）
A. 已知點，，若過的直線與線段相交，則直線的傾斜角范圍為
B. “”是“直線與直線互相平行”的充要條件
C. 曲線：與：恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為
D. 圓上有且僅有2個點到直線：的距離都等于
【答案】AC
【解析】
【詳解】根據(jù)直線與線段的交點、直線平行、充要條件、圓與圓的位置關(guān)系、圓和直線的位置關(guān)系對選項進行分析，從而確定正確答案.
【分析】A選項，，所以直線的傾斜角為，
，所以直線的傾斜角為，
所以直線的傾斜角范圍為，A選項正確.
B選項，由解得，
當時，兩直線為，兩直線平行；
當時，兩直線為，
即，兩直線平行，
所以“”是“直線與直線互相平行”的充分不必要條件，
所以B選項錯誤.
C選項，：，即，是圓心為，半徑；
：，即，
要表示圓，則，此時圓心為，半徑為，
兩圓有四條公切線，所以兩圓外離，
所以，解得，C選項正確.
D選項，圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
所以圓上有且僅有個點到直線：的距離都等于，
所以D選項錯誤.
故選：AC
11. 如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，，分別是線段，的中點，是線段上的一個動點（不含端點，），則下列說法正確的是（）
A. 存在點，使得
B. 不存在點，使得異面直線與所成的角為
C. 三棱錐體積的取值范圍為
D. 當點運動到中點時，與平面所成的余弦值為
【答案】BC
【解析】
【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)，根據(jù)向量垂直的坐標表示和異面直線所成角的向量求法可確定是否有解，從而判斷AB；利用等體積法可知，可求得體積的表達式，即可判斷C；利用向量法求線面角即可判斷D.
【詳解】以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
對于A，假設(shè)存在點，使得，
因為，，
所以，解得，不合題意，故A錯誤；
對于B，假設(shè)存在點，使得異面直線與所成的角為，
因為，,
所以，
解得，不符合，
則不存在點，使得異面直線與所成的角為，故B正確；
對于C，連接，，
因為，
點到平面的距離，
所以，
因為，所以，故C正確；
對于D，當點運動到中點時，，又，
則，，
設(shè)是平面的法向量，
則，令，則，
因為，設(shè)直線與平面所成角為，
所以，故D錯誤.
故選：BC.
12. 橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點.現(xiàn)橢圓的焦點在軸上，中心在坐標原點，左、右焦點分別為、.一束光線從射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至，若兩段光線總長度為6，且橢圓的離心率為，左頂點和上頂點分別為.則下列說法正確的是（）
A. 橢圓的標準方程為
B. 若點在橢圓上，則的最大值為
C. 若點在橢圓上，的最大值為
D. 過直線上一點分別作橢圓的切線，交橢圓于，兩點，則直線恒過定點
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用橢圓的定義及離心率大小可求得橢圓方程，判斷,利用余弦定理，可得頂角的最大為鈍角，故最大值為，可判斷;設(shè)出點的坐標為，利用兩點間的距離公式求得范圍即可判斷;利用橢圓在點處的切線方程為，及點在直線上，求出，兩點滿足的方程，即可求得所過定點，判斷
【詳解】一束光線從射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至，如下圖所示：
所以可得即
又橢圓的離心率為，可得，
所以，
故橢圓方程為，所以正確；
由橢圓的定義知，
不妨設(shè)，
，
因為，可得
所以，
當且僅當時等號成立，此時最大為鈍角設(shè)為，
則，故當時，
的最大值為，故錯誤；
易得,設(shè)點，
則
當時，，故正確；
易知橢圓在點處的切線方程為，
證明如下：當切線斜率存在時，
設(shè)直線與相切與點，
聯(lián)立，
所以，
整理可得，
又易知，即，
所以
整理可得①；
又切點在橢圓上，即，
整理可得②，
聯(lián)立①②，可得
即，
所以切線方程為，
化簡得，
經(jīng)檢驗，直線斜率不存在時也符合上式，
即橢圓在點處的切線方程為，
設(shè)，
所以橢圓在點處的切線的方程為，
在點處的切線的方程為，
兩線相交于點，所以可得
，
即點滿足方程，
所以直線方程為，
整理可得，
令，
故直線的方程過定點，故正確，
故選：
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題在求解直線過定點問題時，關(guān)鍵是利用結(jié)論:橢圓在點處的切線方程為，分別求得兩個切線方程即可得出直線過的定點.
三、填空題：本大題共4題，每小題5分，共計20分.
13. 圓：與圓：的公共弦所在的直線方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】兩圓的方程相減即可得公共弦所在直線方程.
【詳解】圓：與圓：，
兩圓方程相減可得，即，
則兩圓的公共弦所在直線方程為.
故答案為：.
14. 所有棱長都為1的平行六面體中，若為與的交點，，，則的值為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則，可得，再將其兩邊平方，由向量數(shù)量積的運算法則，可得解．
【詳解】因為，
所以
，
所以.
故答案為：．
15. 已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過點且垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點，、分別交軸于、兩點，的周長為4.過作外角平分線的垂線與直線交于點，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)和橢圓定義可得，求出橢圓方程，設(shè)代入橢圓方程求得，利用求出，再根據(jù)求出，利用可得答案.
【詳解】因為，所以，
因為的周長為4，所以的周長，
所以，所以橢圓方程為，，所以，
直線垂直軸，設(shè)，代入，求得，
所以，，
因為外角平分線垂線與直線交于點，
所以，可得，
則，所以.
故答案為：.
16. 已知直線與圓：交于，兩點，且，則的最大值為______.
【答案】30
【解析】
【分析】的幾何意義為點到直線的距離之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點到直線的距離的2倍．由題意，所以的中點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，利用圓的性質(zhì)即可得解.
【詳解】的幾何意義為點到直線的距離之和，
根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點到直線的距離的2倍，
由題可知， 圓：的圓心，半徑為2，，
則，
所以的中點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，
故點到直線的最大距離，
所以的最大值為，
則的最大值為30．
故答案為：30．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 在平面直角坐標系中，已知射線：，：.過點作直線分別交射線，于點A，.
（1）已知點，求點A的坐標；
（2）當線段的中點為時，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知先求出直線的方程，與的方程聯(lián)立，即可得出答案；
（2）設(shè)，，，，根據(jù)中點坐標公式以及已知求出的值，即可得出的坐標，求出斜率，即可得出答案.
【小問1詳解】
由已知可得，，
所以直線的方程為，
即為.
與聯(lián)立
解得，
即.
【小問2詳解】
由題意設(shè)，，，，
則線段的中點為.
因為線段的中點為，所以，解得：.
所以，，則直線的斜率.
所以直線的方程為，即.
故直線的方程為.
18. 如圖，和是不在同一平面上的兩個矩形，，，記，，.請用基底，表示下列向量：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】利用空間向量的運算求解即可.
【小問1詳解】
.
【小問2詳解】
.
19. 已知圓，圓：，圓：，這三個圓有一條公共弦.
（1）當圓的面積最小時，求圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，直線同時滿足以下三個條件：
（i）與直線垂直；
（ii）與圓相切；
（iii）在軸上的截距大于0，
若直線與圓交于，兩點，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立圓與圓的方程，求得公共弦的兩個端點坐標分別為，，當圓的面積最小時，是圓的直徑，求解即可；
（2）由題意設(shè)直線的方程為，結(jié)合條件直線與圓相切，在軸上的截距大于0，求得，然后利用弦長公式求解.
【小問1詳解】
依題意，由，解得或，
因此圓與圓的公共弦的兩個端點坐標分別為，，
當圓的面積最小時，是圓的直徑，則圓的圓心為，半徑為，
所以圓的標準方程是.
【小問2詳解】
因為直線與直線垂直，則設(shè)直線的方程為，
而直線與圓相切，則有，解得或，
又因為在軸上的截距大于0，即，所以，
即直線的方程為，而圓的圓心，半徑，
點到直線：的距離為，
于是得.
20. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為的中點，.為上的一點，已知.
（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點，連接，利用已知條件先證明線面垂直，然后再證明面面垂直即可；
（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，找出面的法向量，利用向量法求解面面角的余弦值即可.
小問1詳解】
取中點，連接，，
∵，為中點，
∴，
∵，，
∴，
∵四邊形為菱形，，
∴為等邊三角形，∴，
又，分別為，中點，
∴，∴，
即，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
【小問2詳解】
連接，由（1）知：為等邊三角形，
∴，；
以為坐標原點，、、所在直線分別為，，軸，
建立如圖所示空間直角坐標系，
則，
∴，
由得：，
∴，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，解得：，
∴，
∵軸平面，
∴平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
21. 已知，，是橢圓上的三點，其中、兩點關(guān)于原點對稱，直線和的斜率滿足.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點是橢圓長軸上的不同于左右頂點的任意一點，過點作斜率不為0的直線，與橢圓的兩個交點分別為、，若為定值，則稱點為“穩(wěn)定點”，問：是否存在這樣的穩(wěn)定點？若有，試求出所有的“穩(wěn)定點”，并說明理由；若沒有，也請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在，，理由見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，由化簡可得橢圓的標準方程；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理可得，，又，，從而可求的表達式，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)，易知，
由，得，
化簡得，故橢圓的標準方程為.
【小問2詳解】
∵點是橢圓長軸上的不同于、的任意一點，
故可設(shè)直線方程為，，，
由，得，
∴，，恒成立.
又，，
∴，
，
要使其值為定值，則，
故當，即時，.
綜上，存在這樣的穩(wěn)定點.
22. 已知橢圓：的焦距為，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上的三點，且直線與軸不垂直，點為坐標原點，，則當?shù)拿娣e最大時，求的值.
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用橢圓的性質(zhì)，及待定系數(shù)法計算即可；
（2）設(shè)的坐標及直線，利用弦長公式及點到直線的距離計算三角形面積，根據(jù)基本不等式求出面積最值時的結(jié)論，再由平面向量的坐標表示及點在橢圓上化簡消元計算即可.
【小問1詳解】
由題意得，，解之得，
故橢圓的方程為；
【小問2詳解】
設(shè)，，，直線的方程為.
將代入，整理得，
，即，
則，，
故.
又原點到直線的距離為，
所以
，
當且僅當，即（*）時，等號成立.
由，得，
代入，整理得，
即（**）.
而
，
由（*）可知，代入（**）式得.
故的值為1.

相關(guān)試卷

湖北省武漢市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考題含解析：

這是一份湖北省武漢市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考題含解析，共23頁。

湖北省武漢市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析：

這是一份湖北省武漢市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析，共23頁。試卷主要包含了選擇題的作答，非選擇題的作答， 某校高二年級等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖北省部分普通高中聯(lián)盟2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析：

這是一份湖北省部分普通高中聯(lián)盟2023_2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析，共13頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

湖北省部分高中聯(lián)考協(xié)作體2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析
湖北省2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

湖北省2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析
2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析
2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市部分重點中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部