人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用同步訓(xùn)練（原卷版）考點(diǎn)一 樣本中心解小題【例1】（2021·江西贛州市）某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)（元）與每天的銷售量（個(gè)）統(tǒng)計(jì)如下表：16171819503431據(jù)上表可得回歸直線方程為，則上表中的的值為（    ）A．38 B．39 C．40 D．41 【一隅三反】1．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中）隨機(jī)變量與的數(shù)據(jù)如表中所列，其中缺少了一個(gè)數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（    ）2345656▲79A．6 B．6.6 C．7.5 D．8 2．（2021·河南信陽市）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：2345642.5得到的回歸方程為，則（    ）A．， B．，C．， D．， 3．（2021·安徽六安市·六安一中）蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某地觀測(cè)人員根據(jù)下表的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程.（次數(shù)/分鐘）則當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為（    ）A． B． C． D． 考點(diǎn)二 一元線性方程【例2】（2021·興義市第二高級(jí)中學(xué)）在2010年春節(jié)期間，某市物價(jià)部門，對(duì)本市五個(gè)商場(chǎng)銷售的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，五個(gè)商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x99.51010.511銷售量y1110865通過分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x具有線性相關(guān)關(guān)系，求（1）銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x的回歸直線方程；（2）若使銷售量為12，則價(jià)格應(yīng)定為多少.附：在回歸直線中，                【一隅三反】1．（2020·河南開封市）配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時(shí)間，相比配速，把心率控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.圖1是一個(gè)馬拉松跑者的心率（單位：次/分鐘）和配速（單位：分鐘/公里）的散點(diǎn)圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績(jī)（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求與的線性回歸方程；（2）該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計(jì)他跑完全程花費(fèi)的時(shí)間，并估計(jì)他能獲得的名次.參考公式：線性回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)：.         2．（2020·云南紅河哈尼族彝族自治州）隨著電商事業(yè)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購物交易額也快速提升，特別是每年的“雙十一”，天貓的交易額數(shù)目驚人.2020年天貓公司的工作人員為了迎接天貓“雙十一”年度購物狂歡節(jié)，加班加點(diǎn)做了大量準(zhǔn)備活動(dòng)，截止2020年11月11日24時(shí)，2020年的天貓“雙十一”交易額定格在3700多億元，天貓總公司所有員工對(duì)于新的戰(zhàn)績(jī)皆大歡喜，同時(shí)又對(duì)2021年充滿了憧憬，因此公司工作人員反思從2014年至2020年每年“雙十一”總交易額(取近似值)，進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代碼()1234567總交易額(單位：百億)5.79.112.116.821.326.837（1）通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.1)，預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額.參考數(shù)據(jù)：，，；參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.        3．（2021·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示．（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；（2）求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式．參考數(shù)據(jù)：，．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．        考點(diǎn)三 非一元線性方程【例3】（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得個(gè)樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）（3）在（2）的條件下，設(shè)且，試求的最小值．參考公式：回歸方程中，，.        【一隅三反】1．（2020·江蘇省如皋中學(xué)高二月考）某種新產(chǎn)品投放市場(chǎng)一段時(shí)間后，經(jīng)過調(diào)研獲得了時(shí)間x（天數(shù)）與銷售單價(jià)y（元）的一組數(shù)據(jù)，且做了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），并作出了散點(diǎn)圖（如圖）.表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.（3）若該產(chǎn)品的日銷售量（件）與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系為，求該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第幾天的銷售額最高？最高為多少元？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為. 2．（2021·江蘇蘇州市）我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對(duì)年盈利額（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù).通過對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．令，，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：262156526805.36112501302.612（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好?（2）（ⅰ）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程;（系數(shù)精確到0.01）（ⅱ）若希望2021年盈利額為250億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中：，②參考數(shù)據(jù)：，．       人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用同步訓(xùn)練（解析版）考點(diǎn)一 樣本中心解小題【例1】（2021·江西贛州市）某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)（元）與每天的銷售量（個(gè)）統(tǒng)計(jì)如下表：16171819503431據(jù)上表可得回歸直線方程為，則上表中的的值為（    ）A．38 B．39 C．40 D．41【答案】D【解析】由題意，，所以，解得．故選：D．【一隅三反】1．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中）隨機(jī)變量與的數(shù)據(jù)如表中所列，其中缺少了一個(gè)數(shù)值，已知關(guān)于的線性回歸方程為，則缺少的數(shù)值為（    ）2345656▲79A．6 B．6.6 C．7.5 D．8【答案】A【解析】設(shè)缺少的數(shù)值為，由于回歸方程為過樣本中心點(diǎn)，且，代入，所以，解得.故選：A.2．（2021·河南信陽市）根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：2345642.5得到的回歸方程為，則（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由圖表中的數(shù)據(jù)可得，變量隨著的增大而減小，則，，，又回歸方程經(jīng)過點(diǎn)，可得，故選：B．3．（2021·安徽六安市·六安一中）蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某地觀測(cè)人員根據(jù)下表的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程.（次數(shù)/分鐘）則當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回歸直線過樣本中心點(diǎn)，可得，解得.所以，回歸直線方程為.在回歸直線方程中，令，可得.故選：D.考點(diǎn)二 一元線性方程【例2】（2021·興義市第二高級(jí)中學(xué)）在2010年春節(jié)期間，某市物價(jià)部門，對(duì)本市五個(gè)商場(chǎng)銷售的某商品一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，五個(gè)商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x99.51010.511銷售量y1110865通過分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x具有線性相關(guān)關(guān)系，求（1）銷售量y對(duì)商品的價(jià)格x的回歸直線方程；（2）若使銷售量為12，則價(jià)格應(yīng)定為多少.附：在回歸直線中，【答案】（1）                    （2） 8.75【解析】（1）由題意知，，，，線性回歸方程是；（2）令，可得，預(yù)測(cè)銷售量為12件時(shí)的售價(jià)是8.75元．【一隅三反】1．（2020·河南開封市）配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時(shí)間，相比配速，把心率控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.圖1是一個(gè)馬拉松跑者的心率（單位：次/分鐘）和配速（單位：分鐘/公里）的散點(diǎn)圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績(jī)（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求與的線性回歸方程；（2）該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計(jì)他跑完全程花費(fèi)的時(shí)間，并估計(jì)他能獲得的名次.參考公式：線性回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）210分鐘，192名．【解析】（1）由散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，，，，所以與的線性回歸方程為.（2）將代入回歸方程得，所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時(shí)間為分鐘.從馬拉松比賽的頻率分布直方圖可知成績(jī)好于210分鐘的累積頻率為，有的跑者成績(jī)超過該跑者，則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是名.2．（2020·云南紅河哈尼族彝族自治州）隨著電商事業(yè)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購物交易額也快速提升，特別是每年的“雙十一”，天貓的交易額數(shù)目驚人.2020年天貓公司的工作人員為了迎接天貓“雙十一”年度購物狂歡節(jié)，加班加點(diǎn)做了大量準(zhǔn)備活動(dòng)，截止2020年11月11日24時(shí)，2020年的天貓“雙十一”交易額定格在3700多億元，天貓總公司所有員工對(duì)于新的戰(zhàn)績(jī)皆大歡喜，同時(shí)又對(duì)2021年充滿了憧憬，因此公司工作人員反思從2014年至2020年每年“雙十一”總交易額(取近似值)，進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代碼()1234567總交易額(單位：百億)5.79.112.116.821.326.837（1）通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.1)，預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額.參考數(shù)據(jù)：，，；參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.【答案】（1）答案見解析；（2）回歸方程為，預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億.【解析】（1），，，所以因?yàn)榭偨灰最~y與年份代碼t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說明總交易額y與年份代碼t的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系.（2）因?yàn)?/span>，，所以，，所以y關(guān)于t的回歸方程為又將2021年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：.所以預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億.3．（2021·湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示．（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；（2）求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)當(dāng)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附：相關(guān)系數(shù)公式．參考數(shù)據(jù)：，．回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】（1）0.95；答案見解析；（2）；610千克.【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可得，，所以，，，所以相關(guān)系數(shù)．因?yàn)?/span>，所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2），，所以回歸方程為．當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)液體肥料每畝使用量為12千克時(shí)，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為610千克．考點(diǎn)三 非一元線性方程【例3】（2020·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得個(gè)樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)）（3）在（2）的條件下，設(shè)且，試求的最小值．參考公式：回歸方程中，，.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由題中散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為關(guān)于的回歸方程；（2）令，則，原數(shù)據(jù)變?yōu)?/span>由表可知與近似具有線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得，，，所以，，則．所以關(guān)于的回歸方程是．（3）由（2）得，，任取、，且，即，可得，因?yàn)?/span>，則，，所以，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則.【一隅三反】1．（2020·江蘇省如皋中學(xué)高二月考）某種新產(chǎn)品投放市場(chǎng)一段時(shí)間后，經(jīng)過調(diào)研獲得了時(shí)間x（天數(shù)）與銷售單價(jià)y（元）的一組數(shù)據(jù)，且做了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），并作出了散點(diǎn)圖（如圖）.表中.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.（3）若該產(chǎn)品的日銷售量（件）與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系為，求該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第幾天的銷售額最高？最高為多少元？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.【答案】（1）更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程；（2）；（3）第10天，最高銷售額為2420元；【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖知更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；（2）令，則，而，，即有；（3）由題意結(jié)合（2）知：日銷售額為，∴，若，令，∴時(shí)，，即天，元,所以該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第10天的銷售額最高，最高銷售額為2420元.2．（2021·江蘇蘇州市）我國(guó)為全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃.某企業(yè)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對(duì)年盈利額（單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù).通過對(duì)比分析，建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①，②，其中，，，均為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．令，，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：262156526805.36112501302.612（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好?（2）（?。└鶕?jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程;（系數(shù)精確到0.01）（ⅱ）若希望2021年盈利額為250億元，請(qǐng)預(yù)測(cè)2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)，回歸直線中：，②參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）模型的擬合程度更好；（2）（?。?/span>；（ⅱ）27.56.【解析】（1）設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，由題意，，，則，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好．（2）（?。┫冉?/span>關(guān)于的線性回歸方程，由，得，即，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，所以，則．（ⅱ）2021年盈利額（億元），所以，則，因?yàn)?/span>，所以．所以2021年的研發(fā)資金投入量約為27.56億元． 

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