絕密★啟用前2023年成都外國語學(xué)校高2023級第一次月考數(shù)學(xué)試題高一數(shù)學(xué)試題 考試時間：120 分鐘 滿分：150 分一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 2. 命題“，”的否定是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，3. “”是“關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件4. 不等式解集為（    ）A. 或 B. C. 或 D. 5. 如果，則正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則6. 已知函數(shù)圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 7. 關(guān)于的不等式的解集為空集，則的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 8. 設(shè)函數(shù)，命題“存在，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 二、選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 5 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分.9. 已知集合，，則（　?。?/span>A. 0不可能屬于B B. 集合可能是C. 集合不可能是 D. 集合10. 設(shè)正實數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（    ）A. 的最小值為4 B. 的最大值為C. 最小值為2 D. 的最小值為11. 已知實數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（    ）A.  B. C.  D. 12. 已知關(guān)于不等式，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 當時，不等式的解集為B. 當時，不等式的解集可以表示為形式C. 若不等式的解集恰為，則或D. 若不等式的解集恰為，則三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13. 寫出一個使“”成立的充分條件為_______.14. 集合的真子集的個數(shù)是___________.15. 已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a為實數(shù))．若?q的一個充分不必要條件是?p，則實數(shù)a的取值范圍是____．16. 已知正數(shù)滿足，則的最大值是___________.四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17. （1）已知，．求和的取值范圍．（2）已知，，求的取值范圍．18. 已知集合，.（1）若，求實數(shù)k的取值范圍；（2）已知命題，命題，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)k的取值范圍.19. （1） 已知 ， 求函數(shù)的最大值．（2）求函數(shù)的最小值. （3）已知，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20. 2020年新冠肺炎疫情在世界范圍內(nèi)爆發(fā)，疫情發(fā)生以后，佩戴口罩作為阻斷傳染最有效的措施，一度導(dǎo)致口罩供不應(yīng)求.為緩解口罩供應(yīng)緊張，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻.已知生產(chǎn)口罩的固定成本為80萬元，每生產(chǎn)萬箱，需要另外投入的生產(chǎn)成本（單位：萬元）為，若每箱口罩售價100元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.（1）求生產(chǎn)多少萬箱時平均每萬箱的成本最低，并求出最低成本；（2）當產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？21 已知函數(shù)．（1）當，時，若“，”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，，解關(guān)于x的不等式．22. 已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當時，解不等式；（3）若不等式的解集為，且，求的取值范圍.  
絕密★啟用前2023年成都外國語學(xué)校高2023級第一次月考數(shù)學(xué)試題高一數(shù)學(xué)試題 考試時間：120 分鐘 滿分：150 分一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1. 已知集合，，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用自然數(shù)集的定義化簡集合，再利用集合的并集運算即可得解.【詳解】因為，又，所以.故選：A.2. 命題“，”的否定是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識確定正確答案.【詳解】原命題是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到要否定結(jié)論而不是否定條件，所以D選項正確.故選：D3. “”是“關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先化簡方程有實數(shù)根得到，再利用集合的關(guān)系判斷得解.【詳解】因為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，所以，所以或，因為是集合或的真子集，所以“”是“關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根”的充分不必要條件.故選：A.4. 不等式的解集為（    ）A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D【解析】【分析】分式不等式解法.【詳解】由，得，即，即，解得，D正確.故選：D5. 如果，則正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】C【解析】【分析】舉例說明ABD是錯誤的，用作差法證明C是正確的．【詳解】取，則，故A錯誤；取，則，故B錯誤；由于，所以，則，故C正確；取，則，，故D錯誤.故選：C．6. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.【詳解】由二次函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的圖象開口向上，且該函數(shù)的圖象與軸相切，對稱軸為直線，所以，，且，則，，不等式即，即，解得，因此，不等式的解集為.故選：B.7. 關(guān)于的不等式的解集為空集，則的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分和，兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由不等式的解集為空集，當時，即時，不等式不成立，所以不等式的解集為空集；當時，即時，要使得的解集為空集，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故選：D.8. 設(shè)函數(shù)，命題“存在，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為命題“任意，”為真命題，進而得到在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最大值，即可求解.【詳解】由命題“存在，”的否定為命題“任意，”，根據(jù)題意，可得命題“任意，”為真命題，即對任意，不等式恒成立，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當時，，即的最大值為，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 5 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分.9. 已知集合，，則（　?。?/span>A. 0不可能屬于B B. 集合可能是C. 集合不可能是 D. 集合【答案】BCD【解析】【分析】由題可得，然后根據(jù)集合的關(guān)系及集合元素的特點進行逐一判斷即可．【詳解】∵，∴，故D正確．∵集合，∵，∴集合可能是，故B正確；∵，∴集合不可能是，故C正確；∵，∴0可能屬于集合，故A錯誤.故選：BCD.10. 設(shè)正實數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（    ）A. 的最小值為4 B. 的最大值為C. 的最小值為2 D. 的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即，時取等號，故B正確；對于C，，則，當且僅當，即，時，故C錯誤；對于D,，當且僅當，時取等號，故D正確．故選：ABD．11. 已知實數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】對A，根據(jù)可得，再代入推導(dǎo)即可；對B，由推導(dǎo)即可；對C，舉反例判斷即可；對D，根據(jù)代入化簡即可判斷.【詳解】對A，根據(jù)可得，故即，即.因為恒成立，故成立，故A正確；對B，因為，故，故成立；對C， 當時，滿足且，但不成立，故C錯誤；對D，因為，，因為，故，故D正確.故選：ABD12. 已知關(guān)于的不等式，下列結(jié)論正確的是（    ）A. 當時，不等式的解集為B. 當時，不等式的解集可以表示為形式C. 若不等式的解集恰為，則或D. 若不等式的解集恰為，則【答案】AD【解析】【分析】A. 假設(shè)有解，求判別式可得b的范圍；B項作圖，即可得到；對于C、D兩項，由題目可轉(zhuǎn)化為，二次函數(shù)的給定范圍與函數(shù)值范圍相同，則應(yīng)有，即可解得b的值，然后檢驗a的值即可.【詳解】A選項，若 有解，即有解，則有，，所以，.這與已知不相符，所以不等式無解，解集為；B選項，作出的圖象以及y=a，y=b的圖象.由圖可知，此時不等式的解集應(yīng)由兩部分組成；C，D選項：因為不等式的解集恰為，即可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上的取值是.則必有，即，解得，或.又因為在R上的最小值為，則應(yīng)有且.當時，有.即，解得，或，與不相符，舍去；當時，有.即，解得，a=0或a=4（舍去）.所以，a=0,b=4.故選：AD.三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13. 寫出一個使“”成立充分條件為_______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)充分條件的定義進行求解即可.【詳解】由一定能推出，所以使“”成立的充分條件為，故答案為：14. 集合的真子集的個數(shù)是___________.【答案】31【解析】【分析】先求出集合中元素個數(shù)，進而求出真子集的個數(shù).【詳解】共5個元素，則真子集的個數(shù)是.故答案為：3115. 已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a為實數(shù))．若?q的一個充分不必要條件是?p，則實數(shù)a的取值范圍是____．【答案】【解析】【分析】由充分不必要條件的概念轉(zhuǎn)化為集合真子集的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由已知得?p：-3≤x≤1，?q：x≤a．設(shè)，若?p是?q的充分不必要條件，則?p??q，?q??p，所以集合是集合的真子集.所以．故答案為：.16. 已知正數(shù)滿足，則最大值是___________.【答案】【解析】【分析】令，則，，利用基本不等式，并結(jié)合一元二次不等式的求法可得的范圍，進而得到答案.【詳解】令，因為，，所以.則，所以，當且僅當即時等號成立.所以，即，解得，所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17. （1）已知，．求和的取值范圍．（2）已知，，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出和的范圍，再利用性質(zhì)求解作答.（2）令，求出的值，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為，由不等式的性質(zhì)可得，；，因此，即；，即，所以，.（2）令，，即，則有，解得，而，，于是，，所以，，即，所以.18. 已知集合，.（1）若，求實數(shù)k的取值范圍；（2）已知命題，命題，若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根據(jù)集合之間的關(guān)系，可列不等式，可得答案；（2）根據(jù)必要不充分條件，可得集合之間的關(guān)系，利用分類討論，可列不等式，可得答案.【小問1詳解】由，移項可得，通分并合并同類項可得，等價于，解得，則；由，則，即，解得.【小問2詳解】p是q的必要不充分條件等價于.①當時，，解得，滿足.②當時，原問題等價于（不同時取等號）解得.綜上，實數(shù)k的取值范圍是.19. （1） 已知 ， 求函數(shù)的最大值．（2）求函數(shù)的最小值. （3）已知，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）根據(jù)題意，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合，利用基本不等式，求得，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】解：（1）因為，可得，則當且僅當時，即時，等號成立，又因為，所以函數(shù)的最大值為．（2）因為，可得，則，當且僅當時，即時等號成立，故函數(shù)的最小值為. （3）因為，且，所以，當且僅當，即時取等號，所以，因為恒成立，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.20. 2020年新冠肺炎疫情在世界范圍內(nèi)爆發(fā)，疫情發(fā)生以后，佩戴口罩作為阻斷傳染最有效的措施，一度導(dǎo)致口罩供不應(yīng)求.為緩解口罩供應(yīng)緊張，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻.已知生產(chǎn)口罩的固定成本為80萬元，每生產(chǎn)萬箱，需要另外投入的生產(chǎn)成本（單位：萬元）為，若每箱口罩售價100元，通過市場分析，該口罩廠生產(chǎn)的口罩可以全部銷售完.（1）求生產(chǎn)多少萬箱時平均每萬箱的成本最低，并求出最低成本；（2）當產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？【答案】（1）生產(chǎn)20萬箱時，平均每萬箱成本最低，為56萬元；（2）130．【解析】【分析】（1）可得出平均每萬箱的成本為，再利用基本不等式可求；（2）可得利潤為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）設(shè)生產(chǎn)萬箱時平均每萬箱的成本為，則，因為，所以，當且僅當，即時等號成立．所以，當時取到最小值，即生產(chǎn)20萬箱時平均每萬箱成本最低，最低成本為56萬元．（2）設(shè)生產(chǎn)萬箱時所獲利潤為，則，即，，即，所以，所以生產(chǎn)130萬箱時，所獲利潤最大為3300萬元．21. 已知函數(shù)．（1）當，時，若“，”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；    （2）答案見解析【解析】【分析】（1）將，代入函數(shù)，并結(jié)合題意可轉(zhuǎn)化成方程在上有解，分和兩種情況進行討論即可得到答案；（2）將，代入函數(shù)，分，，，，五種情況進行討論，即可得到對應(yīng)解集.【小問1詳解】當，時，，因為“，使得”為真命題，即方程在上有解，當時，，即，符合題意；當時，解得，符合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】當，時，原不等式即為，①當時，則，解得，故不等式的解集為；②當時，，解原不等式可得，此時原不等式的解集為；③當時，，解原不等式可得或，此時，原不等式的解集為或；④當時，原不等式即為，解得，此時，原不等式的解集為；⑤當時，，解原不等式可得或，此時，原不等式的解集為或；綜上所述，當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為或；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為．【點睛】方法點睛：對含參一元二次不等式進行求解時，要對參數(shù)進行分類討論，難點在于分類討論時標準的確定，主要是按照二次函數(shù)的開口，根的大小進行分類求解的22. 已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當時，解不等式；（3）若不等式的解集為，且，求的取值范圍.【答案】（1）    （2）當，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，    （3）【解析】【分析】（1）分和兩種情況求解即可，（2）分三種情況解不等式，（3）由條件知對任意的，不等式恒成立，即恒成立，然后求出的最小值即可【小問1詳解】當時，即，則由 ，得，不合題意，當，即時，由不等式的解集為得，解得，所以的取值范圍為【小問2詳解】因為，所以，即，當，即時，解得，所以不等式的解集為，當，即時，，因為，所以不等式的解集為，當，即時，，因為 ，所以，所以，所以不等式解集為，綜上，當，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，小問3詳解】因為不等式的解集為，且，所以對任意的，不等式恒成立，即，因為所以恒成立，令，則，，所以，令，因為函數(shù)在基本不等式可得，當且僅當，即時取等號，因為上遞減，在上遞增，而當時，，當時，，所以的最大值為4，所以的最小值為1，所以，所以的取值范圍為 

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