2023-2024學(xué)年福建省福州市倉山區(qū)時代中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.下列生活中的實例是旋轉(zhuǎn)的是( )
A. 鐘表的指針的轉(zhuǎn)動B. 汽車在筆直的公路上行駛
C. 傳送帶上，瓶裝飲料的移動D. 足球飛入球網(wǎng)中
2.在下列圖形中，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.如圖，把△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△COD，則旋轉(zhuǎn)角是( )
A. ∠AOCB. ∠AODC. ∠AOBD. ∠BOC
4.已知⊙O中最長的弦長8cm，則⊙O的半徑是( )
A. 2cmB. 4cmC. 8cmD. 16cm
5.用反證法證明時，假設(shè)結(jié)論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關(guān)系只能是( )
A. 點在圓內(nèi)B. 點在圓上C. 點在圓心上D. 點在圓上或圓內(nèi)
6.如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD=30°，則∠BOD的度數(shù)是( )
A. 75°
B. 70°
C. 65°
D. 60°
7.如圖，以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點P為切點．若大圓半徑為2，小圓半徑為1，則AB的長為( )
A. 2 3B. 2 2C. 5D. 2
8.如圖，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若∠A=30°，⊙O的半徑等于6，則弧AC的長為( )
A. 6π
B. 4π
C. 5π
D. 8π
9.如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB，CD所對的圓心角分別是∠AOB，∠COD，若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD=6，則弦AB的長為( )
A. 6
B. 8
C. 5 2
D. 5 3
10.“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，早在1800多年前，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積.如圖所示的圓的內(nèi)接正十二邊形，若該圓的半徑為1，則這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）
11.在平面直角坐標(biāo)系中，點A(?2,?3)關(guān)于原點對稱的點A′的坐標(biāo)是______．
12.若圓錐的底面半徑是5，母線長10，則側(cè)面積是______ ．
13.如圖所示，把圖中的交通標(biāo)志圖案繞它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后與自身重合，則這個旋轉(zhuǎn)角度至少為______．
14.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長線上一點，若∠A=55°，則∠DCE= ．
15.如圖，△ABC中，∠A=50°，若O為△ABC的內(nèi)心，則∠BOC的度數(shù)為______ 度.
16.如圖，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點，且∠AOC=120°，⊙O的半徑為2，P為圓上一動點，Q為AP的中點，則CQ的長的最大值是______．
三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17.(本小題8.0分)
如圖，在△OAB中，OA=OB，⊙O與AB相切于點C.求證：AC=BC．
18.(本小題8.0分)
“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言可表達(dá)為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長為多少？
19.(本小題8.0分)
探究圓的面積時，我們把圓面積轉(zhuǎn)化為近似長方形面積，其實圓的面積還可以轉(zhuǎn)化為三角形面積，如圖，是一個由若干粗細(xì)一致的麻繩圍成的圓形茶杯墊，沿半徑剪開，展開后得到一個近似的三角形．
(1)這個三角形的底相當(dāng)于圓的______ ，高相當(dāng)于圓的______ ．
A.半徑
B.直徑
C.周長
D.周長的一半
(2)如果圓的半徑是r，我們也可以推導(dǎo)出圓形的面積公式：
圓形的面積=三角形的面積=a×h÷2= ______ × ______ ÷2= ______ ．
20.(本小題8.0分)
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(?3,4)，B(?5,2)，C(?2,1)．
(1)畫出△ABC關(guān)于原點O中心對稱的△A1B1C1；
(2)畫出△ABC繞原點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2，并直接寫出點A2，B2，C2的坐標(biāo)．
21.(本小題8.0分)
如圖，正三角形ABC的邊長為8，點D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點，以A，B，C三點為圓心，4為半徑作圓，求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
22.(本小題10.0分)
如圖，P為⊙O外一點.求作：過點P的⊙O的切線，并證明.(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)
23.(本小題10.0分)
如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是CD的中點，AF平分∠BAE交BC于點F，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，求CF的長．
24.(本小題12.0分)
如圖1，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分別是線段AC、BC上的點，且四邊形PEFD為矩形．
(1)連接PF，請直接寫出線段PF的長度的取值范圍______ ．
(2)若△PCD是等腰三角形時，求AP的長；
(3)判斷CF與AC有怎樣的位置關(guān)系并說明理由．
(說明：圖2可以作為備用圖)
25.(本小題14.0分)
如圖1，⊙O為銳角三角形ABC的外接圓，點D在BC上，AD交BC于點E，點F在AE上，滿足∠AFB?∠BFD=∠ACB，F(xiàn)G/?/AC交BC于點G，BE=FG，連結(jié)BD，DG.設(shè)∠ACB=α．
(1)用含α的代數(shù)式表示∠BFD；
(2)求證：△BDE≌△FDG；
(3)如圖2，AD為⊙O的直徑．
①當(dāng)AB的長為2時，求AC的長；
②當(dāng)OF：OE=4：11時，求BDAD的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、鐘表指針的運動，屬于旋轉(zhuǎn)：
B、行駛的汽車，屬于平移：
C、傳送帶上，瓶裝飲料的移動，屬于平移：
D、足球飛入球網(wǎng)中，屬于平移．
故選：A．
根據(jù)平移圖形的特征，如圖兩個圖形的大小、形狀、方向不變，只是位置的不同，這兩個圖形就是平移：根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的特征，如圖兩個圖形的大小、形狀不變，只是方向不變，只是位置的不同，這樣的兩個圖形就是旋轉(zhuǎn)，
本題是考查圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的意義，關(guān)鍵是看方向是否改變，
2.【答案】B
【解析】解：A.該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
B.該圖形是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C.該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；
D.該圖形不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．
故選：B．
把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的定義進(jìn)行判斷可得答案．
本題考查中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．
3.【答案】A
【解析】解：如圖，把△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△COD，
旋轉(zhuǎn)角是∠AOC或∠BOD，
故選：A．
根據(jù)旋旋轉(zhuǎn)角的定義即可判斷；
本題考查旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)角等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎(chǔ)題．
4.【答案】B
【解析】解：∵⊙O中最長的弦為8cm，即直徑為8cm，
∴⊙O的半徑為4cm．
故選：B．
⊙O最長的弦就是直徑從而不難求得半徑的長．
本題考查弦，直徑等知識，記住圓中的最長的弦就是直徑是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】D
【解析】解：反證法證明時，假設(shè)結(jié)論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關(guān)系只能是：點在圓上或圓內(nèi)．
故選：D．
由于反證法的步驟是：(1)假設(shè)結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；(3)假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．
在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．由此即可解決問題．
本題主要考查了反證法的步驟，其中在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=2∠BCD=2×30°=60°．
故選：D．
根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得答案．
此題考查了圓周角定理．比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用．
7.【答案】A
【解析】解：如圖：連接OP，AO
∵大圓的弦AB是小圓的切線
∴OP⊥AB，
∴AP=PB=12AB
在Rt△APO中，AP= AO2?OP2= 3
∴AB=2 3
故選：A．
由題意可得OP⊥AB，AP=BP，根據(jù)勾股定理可得AP的長，即可求AB的長．
本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，熟練運用垂徑定理是本題是關(guān)鍵．
8.【答案】B
【解析】解：連接OA、OC，
∵AB⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠D=90°?∠DAE=60°，
由圓周角定理得，∠AOC=2∠D=120°，
∴弧AC的長=120π×6180=4π，
故選：B．
連接OA、OC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠D，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC，根據(jù)弧長公式計算，得到答案．
本題考查的是弧長的計算、圓周角定理，掌握弧長公式l=nπr180是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形．
延長AO交⊙O于點E，連接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，據(jù)此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【解答】解：如圖，延長AO交⊙O于點E，連接BE，
則∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∴AB= AE2?BE2= 102?62=8，
故選B．
10.【答案】C
【解析】解：如圖，過A作AC⊥OB于C，
∵圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為360°12=30°，
∵OA=1，
∴AC=12OA=12，
∴S△OAB=12×1×12=14，
∴這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為12×14=3，
故選：C．
如圖，過A作AC⊥OB于C，得到圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為360°12=30°，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
11.【答案】(2,3)
【解析】解：點A(?2,?3)關(guān)于原點對稱的點A′的坐標(biāo)是(2,3)，
故答案為：(2,3)．
根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反可直接得到答案．
此題主要考查了兩個點關(guān)于原點對稱，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律．
12.【答案】50π
【解析】解：這個圓錐的側(cè)面積=12×2π×5×10=50π．
故答案為：50π．
由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，然后根據(jù)扇形的面積公式可直接計算出這個圓錐的側(cè)面積．
本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
13.【答案】60°
【解析】解：∵360°÷3=120°，
∴旋轉(zhuǎn)的角度是120°的整數(shù)倍，
∴旋轉(zhuǎn)的角度至少是120°．
故答案為：60°．
根據(jù)圖形的對稱性，用360°除以3計算即可得解．
本題考查利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
14.【答案】55°
【解析】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠DCE=∠A=55°．
故答案為：55°．
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得到∠DCE=∠A=55°．
本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】115
【解析】解：∵∠A=50°，O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠BOC=90°+12∠A=115°．
根據(jù)三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，得∠BOC=90°+12∠A=115°．
注意此題中的結(jié)論：若O是內(nèi)心，則∠BOC=90°+12∠A.熟記公式可簡化計算．
16.【答案】1+ 7
【解析】解：如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ=QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO=90°，
∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，
當(dāng)點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，
在Rt△OCH中，
∵∠COH=60°，OC=2，
∴OH=12OC=1，CH= 3，
在Rt△CKH中，CK= ( 3)2+22= 7，
∴CQ的最大值為1+ 7
如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H.首先證明點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當(dāng)點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題；
本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點Q的運動軌跡，學(xué)會構(gòu)造輔助圓解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
17.【答案】證明：連接OC，
∵⊙O與AB相切于點C，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AC=BC．
【解析】連接OC，由切線的性質(zhì)得出OC⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．
本題考查了切線的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18.【答案】解：如圖，連接OA，
∵AB⊥CD，且AB=10，
∴AE=BE=5，
設(shè)圓O的半徑OA的長為x，則OC=OD=x，
∵CE=1，
∴OE=x?1，
在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理得
x2?(x?1)2=52，化簡得x2?x2+2x?1=25，
即2x=26，
解得x=13，
∴CD=26寸．
答：直徑CD的長為26寸．
【解析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE⊥AB得到點E為AB的中點，由AB=10可求出AE的長，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．
此題考查了學(xué)生對垂徑定理的運用與掌握，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實際問題，做此類題時要多觀察，多分析，才能發(fā)現(xiàn)線段之間的聯(lián)系．
19.【答案】C A 2πr r πr2
【解析】解：(1)由圖可知，這個三角形的底相當(dāng)于圓的周長，高相當(dāng)于圓的半徑．
故選：C，A；
(2)當(dāng)圓的半徑為r時，
圓形的面積=三角形的面積=a×h÷2=2rπ×r÷2=πr2．
故答案為：2πr，r，πr2．
(1)根據(jù)題中的信息可以得出三角形的底相當(dāng)于圓的周長，高相當(dāng)于圓的半徑；
(2)根據(jù)三角形的面積公式與圓的面積公式進(jìn)行解答即可．
本題考查圓的面積，能夠讀懂題意，理解題意是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：(1)如圖：

△A1B1C1即為所求；
(2)如圖：

△A2B2C2即為所求；
A2(?4,?3)，B2(?2,?5)，C2(?1,?2)．
【解析】(1)根據(jù)中心對稱的定義作出A，B，C的對應(yīng)點，再連成三角形即可；
(2)作出圖形，觀察可得A2，B2，C2的坐標(biāo)．
本題考查作圖?旋轉(zhuǎn)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特征和中心對稱的概念．
21.【答案】解：連接AD，則BD=CD，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC=8，
∴BD=CD=4，
即三個圓的半徑都是4，
由勾股定理得：AD= AB2?BD2= 82?42=4 3，
∴陰影部分的面積S=S△ABC?3S扇形BFD=12×8×4 3?3×60π×42360=16 3?8π．
【解析】連接AD，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=BC=8，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，求出圓的半徑為4，再分別求出△ABC的面積和三個扇形的面積即可．
本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵．
22.【答案】解：如圖，PA、PB為⊙O的切線．

證明如下：連接OA、OB，如圖，
∵OP為直徑，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴PA、PB為⊙O的切線．
【解析】先作OP的垂直平分線，再以O(shè)P為直徑作圓交⊙O于點A、B，則根據(jù)圓周角定理得到∠PAO=∠PBO=90°，所以O(shè)A⊥PA，OB⊥PB，然后根據(jù)切線的判定方法可判斷PA、PB為⊙O的切線．
本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定與性質(zhì)．
23.【答案】解：∵正方形ABCD的邊長為4，點E是CD的中點，
∴DE=2，

∴AE= 42+22=2 5，
∵將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，
∴AG=AE=2 5，BG=DE=2，∠3=∠4，∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90°，
而∠ABC=90°，
∴點G在CB的延長線上，
∵AF平分∠BAE交BC于點F，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠4=∠1+∠3，即∠GAF=∠DAF，
∵∠DAF=∠AFG，
∴∠GAF=∠AFG，
∴GA=GF，
∴GF=GA=AE=2 5，
∴CF=CG?GF=4+2?2 5=6?2 5．
故答案為：6?2 5．
【解析】利用勾股定理計算出AE=2 5，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AG=AE=2 5，BG=DE=2，∠3=∠4，∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90°，于是可判斷點G在CB的延長線上，接著證明FA平分∠GAD得到GA=GF=AE，然后計算CG?GF就可得到CF的長．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理．
24.【答案】6≤PF≤10
【解析】解：(1)連接DE，
∵四邊形DPEF是矩形，
∴PF=DE，
當(dāng)E與C重合時，DE最小為6，
當(dāng)E與B重合時，DE最大為 62+82=10，
∴6≤PF≤10，
故答案為：6≤PF≤10；
(2)在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC= AD2+DC2=10，
要使△PCD為等腰三角形，
①當(dāng)CP=CD時，AP=AC?CP=10?6=4，
②當(dāng)PD=PC時，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP=12AC=5，
③當(dāng)DP=DC時，如圖，過點D作DQ⊥AC于Q，則PQ=CQ，
∵△ADC=12AD?DC=12AC?DQ，
∴DQ=AD?DCAC=245，
∴CQ= DC2?DQ2=185，
∴PC=2CQ=365，
∴AP=AC?PC=145，
∴若△PCD是等腰三角形時，AP的長為4或5或145；
(3)CF⊥AC，理由如下：
如圖，連接PF，DE，記PF與DE的交點為O，連接OC，
∵四邊形ABCD與四邊形PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC=12ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC=12PF，
∵OP=OF=12PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴CF⊥AC．
(1)連接DE，由矩形的性質(zhì)知PF=DE，只有求出DE的最小值和最大值即可；
(2)當(dāng)CP=CD時，AP=AC?CP=10?6=4，當(dāng)PD=PC時，利用三角形內(nèi)角和定理可知AP=PD=PC=5，當(dāng)DP=DC時，過點D作DQ⊥AC于Q，則PQ=CQ，首先利用等積法求出DQ的長，再利用勾股定理求出CQ，從而解決問題；
(3)連接PF，DE，記PF與DE的交點為O，連接OC，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可知OC=12DE=12PF，從而可得答案．
本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟練掌握矩形的對角線相等是解題的關(guān)鍵．
25.【答案】解：(1)∵∠AFB?∠BFD=∠ACB=α①，
又∵∠AFB+∠BFD=180°②，
②?①，得2∠BFD=180°?α，
∴∠BFD=90°?α2；
(2)由(1)得∠BFD=90°?α2，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°?∠ADB?∠BFD=90°?α2，
∴DB=DF，
∵FG/?/AC，
∴∠CAD=∠DFG，
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
DB=DF∠DFG=∠DBEBE=FG，
∴△BDE≌△FDG(SAS)；
(3)①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α，
∵DE=DG，
∴∠DGE=12(180°?∠FDG)=90°?α2，
∴∠DBG=180°?∠BDG?∠DGE=90°?3α2，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABC=∠ABD?∠DBG=3α2，
∴AC與AB所對的圓心角度數(shù)之比為3：2，
∴AC與AB的長度之比為3：2，
∵AB的長為2，
∴AC的長為3；
②連接OB，作BM⊥AD于M，

由題意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，
∴EM=MF，
設(shè)OE=11，OF=4，
設(shè)DE=m，則OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，
∴OB2?OM2=BD2?DM2，
即(m+11)2?3.52=(m+15)2?(m+7.5)2，
解得m=5或m=?12(舍去)，
∴cs∠BDM=MDBD=BDAD=58．
即BDAD=58．
【解析】(1)聯(lián)立∠AFB?∠BFD=∠ACB=α，∠AFB+∠BFD=180°，即可得出∠BFD的度數(shù)；
(2)根據(jù)角的關(guān)系得出DB=DF，推出∠DFG=∠DBE，又BE=FG，即可根據(jù)SAS證明△BDE≌△FDG；
(3)①用α表示出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)度數(shù)比等于弧長比計算弧長即可；
②連接OB，作BM⊥AD于M，設(shè)OE=11，OF=4，設(shè)DE=m，則OB=m+11，OM=3.5，BD=m+15，DM=m+7.5，求出m=5，則可得出答案．
本題主要考查圓的綜合題，熟練掌握圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵．

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