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材料：對于一個分子、分母都是多項式的分式，當(dāng)分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做真分式．當(dāng)分母的次數(shù)不低于分子的次數(shù)時，我們把這個分式叫做假分式．有時候，需要把一個假分式化成整式和真分式的代數(shù)和，像這種恒等變形，稱為將分式化為部分分式．如：．
根據(jù)上述材料完成下列問題：
當(dāng)時，隨著的增大，的值______增大或減小；
當(dāng)時，隨著的增大，的值______增大或減小；
當(dāng)時，隨著的增大，的值無限接近一個數(shù)，請求出這個數(shù)；
當(dāng)時，求代數(shù)式值的范圍．如圖，在中，，，．
求證：；
如圖，交于點，若，求證：，，三點共線；
如圖，在的條件下，若于，過點作于，，，求，的長度．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，得
分母，即時，分式有意義．
故選：．
分母為零，分式無意義；分母不為零，分式有意義．
本題考查了分式有意義的條件．從以下三個方面透徹理解分式的概念：
分式無意義分母為零；
分式有意義分母不為零；
分式值為零分子為零且分母不為零．
2.【答案】 【解析】解：，
所以．
故選：．
根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義即可求出答案．
考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
3.【答案】 【解析】解：．
故選：．
應(yīng)用用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的的個數(shù)所決定，進(jìn)行求解即可得出答案．
本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)的計算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．
4.【答案】 【解析】解：
，
故選：．
先把分式的分子分解因式，再約分即可．
本題考查了分解因式，約分和分式的基本性質(zhì)，能熟記分式的基本性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：分式的分子和分母都乘以或除以同一個不等于的數(shù)，分式的值不變．
5.【答案】 【解析】解：，故選項A中的三條線段不能構(gòu)成直角三角形，符合題意；
，故選項B中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
，故選項C中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
，故選項D中的三條線段能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；
故選：．
根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷各個選項中的三條線段能否夠構(gòu)成直角三角形，從而可以判斷哪個選項符合題意．
本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是會用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀．
6.【答案】 【解析】解：當(dāng)這個角是頂角時，底角；
當(dāng)這個角是底角時，另一個底角為，頂角為．
故選：．
題中未指明已知的角是頂角還是底角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而求解．
此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用．
7.【答案】 【解析】【分析】
作射線，根據(jù)角平分線的判定定理得到平分，得到答案．
本題考查的是角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點在角平分線上是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：作射線，如圖所示：
由題意得，，，，
平分，
點在的平分線上
故選：． 8.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)是：和兩種，據(jù)此即可求解．
本題是完全平方公式的應(yīng)用；兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．注意積的倍的符號，避免漏解．
【解答】
解：可以寫成一個完全平方式，
則可為：．
故選C． 9.【答案】 【解析】解：，
，
，，，
，
，，
，
這個三角形是直角三角形．
故選：．
先計算，對應(yīng)相等可得出、、的關(guān)系．
本題考查了勾股定理的逆定理以及多項式乘以多項式，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．
10.【答案】 【解析】【分析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，當(dāng)長，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是是添加輔助線構(gòu)造直角三角形．
【解答】
解：連接，，
的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，
，，
，
，
是直角三角形，，
由勾股定理可得：，
故選D． 11.【答案】 【解析】解：由題意可知：，
，
故答案是：．
根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．
本題考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．
12.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
直接利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．
本題考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式進(jìn)行因式分解的式子的特點是：兩項平方項，符號相反．
13.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案為：．
利用平方差公式對進(jìn)行變形計算即可得到答案．
此題考查的是平方差公式，零指數(shù)冪，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)是解決此題的關(guān)鍵．
14.【答案】 【解析】解：為等邊三角形，
，，
在和中
，
≌，
，
，
．
故答案為．
利用等邊三角形的性質(zhì)得，，再證明≌得到，則，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算的度數(shù)．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．
15.【答案】 【解析】解：，，都有意義，
，，，
當(dāng)時，，，
可能成立，
不符合題意；
根據(jù)分式的基本性質(zhì)可得，
不符合題意；
若成立，則有，
，
關(guān)于的一元二次方程，，
不存在這樣的、的值使原式成立，
一定不成立；
故答案為：．
根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項進(jìn)行判斷即可．
本題考查了分式的加減、分式有意義的條件、分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)及加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
16.【答案】 【解析】解：延長和，它們相交于點，過點作于點，如圖，
，，
，
，
，
，
為等邊三角形，
在中，，，
，
，
，
，
四邊形的面積
．
故答案為：．
延長和，它們相交于點，過點作于點，如圖，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可計算出，則利用鄰補(bǔ)角的定義可計算出，則可判斷為等邊三角形，再利用含度的直角三角形三邊的關(guān)系表示出，則，，然后根據(jù)三角形面積公式，利用四邊形的面積進(jìn)行計算．
本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即底高．也考查了含度角的直角三角形三邊的關(guān)系．
17.【答案】解：原式
；
原式
． 【解析】先算乘方，再算除法；
先算乘法和把各數(shù)化簡，再合并即可．
本題整式及二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算法則及運(yùn)算順序．
18.【答案】解：，
，
方程兩邊都乘，得
，
解得：，
檢驗：當(dāng)時，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是． 【解析】方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗即可．
本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
19.【答案】解：原式
，
當(dāng)時，
原式． 【解析】先計算分式乘法，再通分計算分式減法，最后整體代入求值．
本題考查分式的化簡求值，解題關(guān)鍵是熟知分式混合運(yùn)算的計算法則并準(zhǔn)確化簡分式．
20.【答案】證明：，
，
，
，
，
在和中，
≌，
． 【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明≌是本題的關(guān)鍵．
由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，由“”可證≌，可得．
21.【答案】解：設(shè)甲的速度為千米小時，則乙的速度為千米小時，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
，．
答：甲的速度為千米小時，乙的速度為千米小時． 【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)時間路程速度結(jié)合甲比乙提前分鐘到達(dá)目的地列出關(guān)于的分式方程是解題的關(guān)鍵．
設(shè)甲的速度為千米小時，則乙的速度為千米小時，根據(jù)時間路程速度結(jié)合甲比乙提前分鐘到達(dá)目的地即可得出關(guān)于的分式方程，解之即可求出的值，檢驗后將其代入、中即可得出結(jié)論．
22.【答案】解：如圖，線段即為所求；
如圖，即為所求；
如圖，射線即為所求． 【解析】利用數(shù)形結(jié)合的思想作出圖形即可；
根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可；
畫一個等腰直角三角形即可，使得，即可．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．
23.【答案】證明：，，，
，
，
；
解：設(shè)，則，
，
，
，
，
解得：，
． 【解析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論；
設(shè)，則，得到，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
此題主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形．
24.【答案】減小 減小 【解析】解：當(dāng)時隨著的增大而減小，
隨著的增大，的值減小；
當(dāng)時隨著的增大而減小，
，
隨著的增大，的值減小，
故答案為：減小，減??；
，
當(dāng)時，的值無限接近，
的值無限接近；
，
又，
，
．
由、的變化情況，判斷、的變化情況即可；
由，即可求解；
由，再結(jié)合的取值范圍即可求解．
本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵．
25.【答案】證明：在和中，
，
≌，
，
證明：由知：≌，
，，
，
即：，
，
，
，
，
，
，
，
，，三點共線；
解：如圖，
作于，作于，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，，則，
同理可得：設(shè)，，，
，
，
，，
在和中，由勾股定理得，
，，
，
，
，
，，，
，
，
． 【解析】由“”可證≌，可得；
由≌得，，從而得出，，根據(jù)和進(jìn)一步得出結(jié)論；
作于，作于，設(shè)，根據(jù)，，從而，設(shè)，，則，同理可求得和，根據(jù)列出方程，從而求得，進(jìn)一步求得結(jié)果．
本題考查了等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，根據(jù)面積法求得線段間關(guān)系，在根據(jù)列出方程．
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