2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)4.6 正、余弦定理及其應(yīng)用舉例（原卷版）

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)4.6 正、余弦定理及其應(yīng)用舉例（原卷版），共17頁。試卷主要包含了正、余弦定理，三角形常用面積公式等內(nèi)容，歡迎下載使用。
4.6   正、余弦定理及其應(yīng)用舉例思維導(dǎo)圖  知識點總結(jié)1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝              ；c2＝a2＋b2－2abcos__C＝    ＝     ＝2R常見變形cos A＝         ；cos B＝        cos C＝(1)a＝2Rsin A，b＝        ，c＝       ；(2)sin A＝，sin B＝     ，sin C＝；(3)a∶b∶c＝               ；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
 A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)一解    3.三角形常用面積公式(1)S＝a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).[常用結(jié)論]1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.2.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sin A>sin B?cos A<cos B. 典型例題分析考向一 利用正、余弦定理解三角形例1 (1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，則B等于(　　)A.30°  B.45°C.30°或150°  D.45°或135°  (2)(2021·全國甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，則BC＝(　　)A.1  B.  C.  D.3       (3)(2023·廣州模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2cos Bcos C·(tan B＋tan C)＝cos Btan B＋cos Ctan C，則cos A的最小值是________.      感悟提升　1.利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷).2.利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.  考向二 　 判斷三角形的形狀
例2 (1)在△ABC中，＝sin2(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為(　　)A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形         (2)在△ABC中，＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為________.      感悟提升　判斷三角形形狀的兩種思路(1)化為邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.(2)化為角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論.  考向三  與三角形面積(周長)有關(guān)的計算
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.(1)求△ABC的面積；(2)若sin Asin C＝，求b.    感悟提升　三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.  考向四  多邊形中的解三角形問題例4 (2023·煙臺一模)如圖，四邊形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面積；(2)若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值.       
感悟提升　平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果. 考向五  三角形中的最值、范圍問題例5(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.(1)若C＝，求B；(2)求的最小值.[思路分析]　(1)化簡條件式，利用C＝消去角A得到角B的三角方程，即可求解.(2)利用條件式得到A，B的關(guān)系式，利用正弦定理把轉(zhuǎn)化為B的三角函數(shù)式，利用基本不等式求其最小值.[規(guī)范解答]　解　(1)因為＝，所以＝，→所以＝，(2分)所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，，(4分)→由cos(A＋B)＝－cos C，角C＝，進(jìn)而求B所以sin B＝－cos C＝－cos ＝.因為B∈，所以B＝.(5分)→(2)
→所以sin＝sin B，且0<A＋B<，所以0<B<，0<－(A＋B)<①，→所以－(A＋B)＝B，解得A＝－2B，(8分)由正弦定理得＝→＝＝②→＝＝＝＝4cos2B＋－5③(10分)→≥2－5＝4－5③，當(dāng)且僅當(dāng)cos2B＝時取等號，→所以的最小值為4－5.(12分)[滿分規(guī)則]?得步驟分：①處的實質(zhì)都是解三角方程，都要注意寫清楚角的范圍，否則易失步驟分.
?得關(guān)鍵分：②處消去角A是本題得解的關(guān)鍵所在.?得計算分：③處利用基本不等式求最小的關(guān)鍵是把目標(biāo)函數(shù)化為其適用形式.感悟提升　對于解三角形中的證明問題，要仔細(xì)觀察條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)二者的差異，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等變換把條件轉(zhuǎn)換為結(jié)論，即為證明過程. 考向六  三角函數(shù)模型例6 (多選)(2023·福州模擬)如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計時，則(　　)A.點P第一次到達(dá)最高點需要20秒B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面2米C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米D.點P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為h＝4cos＋2          
    感悟提升　1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題.2.方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).3.三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.     基礎(chǔ)題型訓(xùn)練 一、單選題1．在中，已知，則（    ）A．3 B．2 C． D．2．有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形,它的上底長為6m,下底長為10m,高為,那么此攔水壩斜坡的坡度和坡角分別為A． B． C． D．3．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則的面積為（    ）
A． B． C． D．4．要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為（    ）A． B．C． D．5．在中，，，，則滿足條件的有（    ）A．0個 B．1個 C．2個 D．不確定6．在銳角三角形中，，，分別是角，，的對邊，已知，是方程的兩個根，且，則c＝（    ）A．4 B． C． D． 二、多選題7．某人在處向正東方向走后到達(dá)處，他沿南偏西方向走到達(dá)處，這時他離出發(fā)點，那么的值可以是（    ）A． B． C． D．8．的內(nèi)角的對邊分別為，下列結(jié)論一定成立的有（    ）A．B．若，則C．若，則是等腰三角形D．若，則是等腰三角形 三、填空題
9．在中，，，，則__________．10．的內(nèi)角、、所對邊分別為、、，已知，則的最大值為__．11．甲船在島的正南處， ，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發(fā)以每小時的速度向北偏東的方向駛?cè)ィ?、乙兩船相距最近的距離是_____.12．在中，AB=1，BC=2，以C為直角頂點向外作等腰直角三角形ACD，當(dāng)∠ABC變化時，線段BD的最大值為______． 四、解答題13．在中，，，為邊上一點，且．（1）求；（2）若，求．14．在中，角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角的值；(2)若，且，求的取值范圍．15．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，．(1)，時，求CD的長度；(2)若CD為角C的平分線，且，求的面積．16．已知的角，，的對邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，，求．   提升題型訓(xùn)練
一、單選題1．在△ABC中，，則的值是（    ）A． B．C． D．2．在中，角的對邊分別為，若，則的值為（   ）A． B． C． D．3．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足，則（    ）A． B． C． D．4．在中，角的對邊為，若，則當(dāng)取最大值時，的面積是（    ）A． B． C． D．5．如圖，四邊形中，，，且、的周長相等，則（    ）A． B． C． D．6．如圖為2022年北京冬奧會首鋼滑雪大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高點距地面的距離，小明同學(xué)在場館內(nèi)的A點測得的仰角為，，，（單位：），（點在同一水平地面上），則大跳臺最高高度（    ）
A． B．C． D． 二、多選題7．的內(nèi)角??的對邊分別為??，，，則可以為（    ）A．7 B．8 C．9 D．108．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則下列說法正確的有（    ）A．B．若，且的面積為，則的最小邊長為2C．若時，是唯一的，則D．若時，周長的范圍為 三、填空題9．在中，已知，，，則邊上的中線長為________．10．在鋪砌領(lǐng)域，有一座數(shù)學(xué)家們在半個多世紀(jì)里一直追尋的“圣杯”，這座圣杯名為“愛因斯坦”，指的是一個可以填滿無限平面，且不會自我重復(fù)的“非周期性”鋪砌塊．2023年3月20日，一個由數(shù)學(xué)家和計算機(jī)科學(xué)家組成的研究團(tuán)隊，在論文預(yù)印網(wǎng)站arXiv上提交了一篇論文，表示他們找到了這樣一種由多個相同的“風(fēng)箏”粘在一起而形成的十三邊形（如右圖所示），只用此十三邊形就能做到單鋪砌塊，也就是數(shù)學(xué)家們尋找的“圣杯”．若已知此十三邊形最短的邊長為1，則此十三邊形的面積為_____________．
11．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，若，且為的外心，為的重心，則的最小值為________．12．在銳角三角形中，內(nèi)角所對的邊滿足，若存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是__________． 四、解答題13．在中，已知哪些條件可以應(yīng)用余弦定理解三角形？14．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，.（1）求；          （2）求.15．在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，是方程的兩個實根.(1)求和；(2)若，求的值.16．已知某漁船在漁港的南偏東方向，距離漁港約海里的處出現(xiàn)險情，此時在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機(jī)接到漁船的求救信號，海事巡邏飛機(jī)迅速將情況通知了在處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點施救．若海事巡邏飛機(jī)測得漁船的俯角為，測得漁政船的俯角為，且漁政船位于漁船的北偏東方向上．(1)計算漁政船與漁港的距離；(2)若漁政船以每小時海里的速度直線行駛，能否在小時內(nèi)趕到出事地點？ (參考數(shù)據(jù)：，，，，，）