?4.4 函數(shù) y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)
思維導(dǎo)圖

知識點(diǎn)總結(jié)
1.用“五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|0，φ>0)的變換：向左平移個(gè)單位長度而非φ個(gè)單位長度.




典型例題分析
考向一 公式的逆用及變形
角度1　公式的活用
例1 (1)(2023·濮陽一模)cos 40°sin 70°－sin 40°·sin 160°＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　B
解析　cos 40°sin 70°－sin 40°sin 160°＝cos 40°cos 20°－sin 40°sin 20°
＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝.故選B.
(2)若α＋β＝－，則(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
答案　2
解析　tan＝tan(α＋β)＝＝1，
所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
則1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
角度2　輔助角公式的運(yùn)用
例2 化簡：(1)sin －cos ；(2)－.
解　(1)法一　原式＝2
＝2＝－2cos＝－2cos ＝－.
法二　原式＝2
＝2＝－2sin＝－2sin ＝－.
(2)原式＝＝
＝＝＝4.
感悟提升　三角函數(shù)公式活用技巧
(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一.應(yīng)注重公式的逆用和變形使用.


考向二 三角函數(shù)式的化簡
例3 (1)化簡：＝________.
答案　cos 2x
解析　原式＝
＝＝＝＝cos 2x.
(2)化簡：(－tan )·＝________.
答案　
解析　(－tan )·(1＋tan α·tan )＝(－)·(1＋·)
＝·＝·＝.
感悟提升　1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.
2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).


考向三 三角函數(shù)求值問題
角度1　給角求值
例4 (1)sin 40°(tan 10°－)等于(　　)
A.2 B.－2
C.1 D.－1
答案　D
解析　sin 40°·(tan 10°－)＝sin 40°·
＝sin 40°·＝sin 40°·
＝sin 40°·＝sin 40°·
＝sin 40°·＝＝＝－1.
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝________.
答案　－
解析　cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－＝－
＝－＝－＝－＝－.
角度2　給值求值
例5 (1)(2023·安徽名校聯(lián)考)已知cos＝，則sin＝(　　)
A.－ B.
C.－ D.
答案　B
解析　因?yàn)閏os＝，
所以sin＝sin＝cos＝2cos2－1
＝2×－1＝.故選B.
(2)(2023·鐵嶺質(zhì)檢)已知＋tan θ＝2，則tan 的值為(　　)
A.3 B.或－1
C. D.
答案　D
解析　由＋tan θ＝＋＝＋＝2，
整理得3tan2＋2tan －1＝0，
解得tan ＝或tan ＝－1.
因?yàn)閏os θ≠0，所以θ≠＋kπ，k∈Z，
所以≠＋，k∈Z，
所以tan ≠－1，故tan ＝.故選D.
角度3　給值求角
例6 已知α，β均為銳角，cos α＝，sin β＝，則cos 2α＝________
2α－β＝________.
答案　　
解析　因?yàn)閏os α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因?yàn)棣?，β均為銳角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因?yàn)棣翞殇J角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β為銳角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
感悟提升　1.給值(角)求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.
2.給值(角)求值問題的一般步驟
(1)化簡條件式子或待求式子；
(2)觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；
(3)將已知條件代入所求式子，化簡求值.


考向四 三角恒等變換的應(yīng)用
例7 設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x(x∈R).
(1)求函數(shù)y＝的最小正周期；
(2)求函數(shù)y＝f(x)f在上的最大值.
解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin x＋cos x，
所以f＝sin＋cos＝cos x－sin x，
所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x.
所以函數(shù)y＝的最小正周期T＝＝π.
(2)f＝sin＋cos＝sin x，
所以y＝f(x)f＝sin x
＝(sin xcos x＋sin2x)＝＝sin＋.
當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，
所以當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，
函數(shù)y＝f(x)f在上取得最大值，且ymax＝1＋.
感悟提升　三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再研究其性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.

考向五 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換
例8已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－

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