2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市呼蘭區(qū)九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，2.一元二次方程的根是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，3.我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展取得了明顯成效，逐漸進(jìn)入市場化驅(qū)動階段下列新能源汽車圖標(biāo)中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.用配方法將二次函數(shù)化為的形式為(    )A.  B.
C.  D. 5.一元二次方程的根的情況是(    )A. 有兩個不相等的實數(shù)根 B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 沒有實數(shù)根 D. 無法確定6.二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)是(    )A.  B.  C.  D. 7.在“雙減政策”的推動下，我縣某中學(xué)學(xué)生每天書面作業(yè)時長明顯減少年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時長為，經(jīng)過年下學(xué)期和年上學(xué)期兩次調(diào)整后，年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長為設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率為，則可列方程為(    )A.  B.  C.  D. 8.如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，若且于點，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 9.將二次函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向下平移下單位長度，所得到的拋物線的解析式為(    )A.  B.
C.  D. 10.如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，其對稱軸為，且過點下列說法：
；
；
；
．
其中說法正確的是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共10小題，共30.0分）11.在平面直角坐標(biāo)系中，與點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______．12.函數(shù)中自變量的取值范圍是______．13.方程的一個根為，則 ______ ．14.二次函數(shù)的最小值是______ ．15.如果函數(shù)是二次函數(shù)，那么的值為______ ．16.二次函數(shù)的圖象與軸交點坐標(biāo)是______ ．17.如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，若點，，在同一條直線上，且，，則的值為______ ．
 18.電腦病毒傳播快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有臺電腦被感染，若每輪感染中平均一臺電腦會感染臺電腦，則 ______ ．19.在中，，，，點是邊所在直線上的點，且，則 ______ ．20.如圖，在正方形中，點為上點一點，連接，點在上，，連接，，連接，則 ______ ．
 三、解答題（本大題共7小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）21.本小題分
用指定的方法解下列方程：
公式法；
因式分解法．22.本小題分
如圖，在正方形網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，的三個頂點都在格點上，點，．
將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的；
畫出關(guān)于原點對稱的；
在軸上找一點，使的值最小，請直接寫出點的坐標(biāo)．
23.本小題分

如圖，已知拋物線的二次項系數(shù)為，且經(jīng)過點和，請回答下列問題：
求拋物線的解析式；
若拋物線與軸交于點、，與軸交于點，連接，，求的面積．
24.本小題分
如圖，在四邊形中，，，，交于點，過點作交于點，連接．
求證：四邊形是菱形．
若，，在不添加任何輔助線的條件下，直接寫出圖中所有等于的角．

 25.本小題分
直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活，某電商在抖音上對一款成本價為元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出件，通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低元，日銷售量增加件，若將每件商品售價定為元，日銷售量設(shè)為件．
求與的函數(shù)表達(dá)式；
當(dāng)為多少時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？26.本小題分
如圖，在四邊形中，對角線，交于點，，．
求證：；
過點作，垂足為點，求證：；
點為上一點，連接，，，，若，，求線段的長．

 27.本小題分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，拋物線與軸交于點、左右，與軸交于點，直線經(jīng)過點、．
求拋物線的解析式；
如圖，點為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接，，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出自變量的取值范圍；
在的條件下，如圖，交軸于點，，點為軸上點右側(cè)一點，，將線段繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至，，連接交拋物線于點，求點的坐標(biāo)．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：一元二次方程的二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的定義求解．
本題考查了一元二次方程的一般式：要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式．2.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程，難度適中．先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：，
，
，，
，，
故選D．3.【答案】 【解析】解：是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
C.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：．
直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)、中心對稱圖形的性質(zhì)分別分析得出答案．
此題主要考查了中心對稱圖形、軸對稱對稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．4.【答案】 【解析】解：

．
故選：．
直接利用配方法進(jìn)而將原式變形得出答案．
此題主要考查了二次函數(shù)的三種形式，正確配方是解題關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：一元二次方程根的判別式，
一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
故選：．
算出一元二次方程根的判別式即可判斷根的情況．
本題考查一元二次方程根的情況，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式．6.【答案】 【解析】解：拋物線的頂點坐標(biāo)是．
故選：．
根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)是直接寫出即可．
此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記：拋物線的頂點坐標(biāo)是，對稱軸是直線．7.【答案】 【解析】解：設(shè)根據(jù)題意得：．
故選：．
利用年上學(xué)期平均每天書面作業(yè)時長年上學(xué)期每天書面作業(yè)平均時長該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時長每期的下降率，即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，
，，
，
，
．
故選：．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：將二次函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向下平移下單位長度，所得到的拋物線的解析式為：，即．
故選：．
直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：拋物線開口向上，
，
拋物線對稱軸為直線，
，，正確，符合題意．
拋物線與軸交點在軸下方，
，
，正確，符合題意．
拋物線經(jīng)過，對稱軸為直線，
拋物線經(jīng)過，
時，，錯誤，不符合題意．
從圖象看，拋物線和軸有個交點，故正確，
故正確，符合題意．
故選：．
由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點位置可判斷，由拋物線對稱性可得時，從而判斷，由拋物線開口方向及對稱軸判斷判斷．
本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和拋物線與坐標(biāo)軸的交點，能夠靈活運用圖象上的點是解答本題的關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是．
故答案為：．
根據(jù)關(guān)于關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，填空即可．
本題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律是關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：由題意得，，
解得．
故答案為：．
根據(jù)被開方數(shù)大于等于列式計算即可得解．
本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為；
當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．13.【答案】 【解析】【分析】
本題就是考查了方程的根的定義，是一個基礎(chǔ)的題目．
方程的根即方程的解，就是能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，利用方程解的定義就可以得到關(guān)于的方程，從而求得的值．
【解答】
解：把代入方程得：，解得．
故答案為．14.【答案】 【解析】解：由于，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為．
故答案為：．
根據(jù)完全平方式和頂點式的意義，可直接得出二次函數(shù)的最小值．
本題考查了二次函數(shù)的最值，要熟悉非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，找到完全平方式的最小值即為函數(shù)的最小值．15.【答案】 【解析】解：函數(shù)是二次函數(shù)，
，且，
解得：．
故答案為：．
根據(jù)二次函數(shù)的定義結(jié)合二次項系數(shù)不能為零，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確掌握二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．16.【答案】 【解析】解：，當(dāng)時，，
二次函數(shù)的圖象與軸交點坐標(biāo)是；
故答案為：．
求出二次函數(shù)，當(dāng)時的值，即可得出答案．
本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，熟練掌握軸上點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．17.【答案】 【解析】解：連接，

由旋轉(zhuǎn)得：
，，
，
由旋轉(zhuǎn)得：
，，
，
由旋轉(zhuǎn)得：
，
，
在中，，
，
故答案為：．
連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，從而求出，，進(jìn)而可得，然后在中，利用勾股定理進(jìn)行計算即可解答．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.【答案】 【解析】解：每輪感染中平均一臺電腦會感染臺電腦，
列方程得：，
，
解得：舍去，．
答：每輪感染中平均一臺電腦會感染臺電腦．
故答案為：．
設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染臺電腦．則經(jīng)過一輪感染，臺電腦感染給了臺電腦，這臺電腦又感染給了臺電腦．等量關(guān)系：經(jīng)過兩輪感染后就會有臺電腦被感染，然后可列方程進(jìn)行求解．
此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，題目比較典型，能夠正確表示每輪感染中，有多少臺電腦被感染，是解決此題的關(guān)鍵．19.【答案】或 【解析】解：分兩種情況：
如圖，當(dāng)點在邊上時，

，，
，，
，
是等邊三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：負(fù)值已舍去，
；
如圖，當(dāng)點在延長線時，過點作于點，

則，
由得：，，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
綜上所述，的長為或，
故答案為：或．
分兩種情況，當(dāng)點在邊上時，易證是等邊三角形，得出，由勾股定理求出即可；
當(dāng)點在延長線時，過點作于點，先求出，再由勾股定理求得，即可得出答案．
本題考查了勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及分類討論等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20.【答案】 【解析】解：如圖，作于，交的延長線于，交的延長線于，
，
則，
四邊形是矩形，
，
四邊形是正方形，
，，
，，
，
，，
≌，
，
，，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
作于，交的延長線于，交的延長線于，則四邊形是矩形，得到，由正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)同角的余角相等可得，證明≌得到，證明得到，再由，可得，最后由三角形面積公式進(jìn)行計算即可．
本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算等知識點，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
，
或，
解得，． 【解析】方程利用公式法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．22.【答案】解：如圖所示，即為所求：
如圖所示，即為所求：
如圖所示，點即為所求：
． 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形解答即可；
根據(jù)關(guān)于原點對稱的性質(zhì)畫出圖形解答即可；
作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，點即為所求．
本題是三角形綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和軸對稱最短問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．23.【答案】解：由題意得，設(shè)拋物線的解析式為，
把和分別代入得：，
解得．
拋物線的解析式為；
當(dāng)時，，
解得，．
，，
．
當(dāng)時，，

．
． 【解析】利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求得點、、的坐標(biāo)；然后由坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得線段、的長度；最后由三角形的面積公式作答即可．
本題考查了運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積．拋物線與軸的交點．24.【答案】證明：，，
為的垂直平分線，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四邊形為平行四邊形．
，
四邊形是菱形；
解：由得：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，，
，，，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
圖中所有等于的角為：、、、． 【解析】先證為的垂直平分線得出，，再證≌得出，則四邊形為平行四邊形，然后由即可得出結(jié)論；
由得四邊形是菱形，則，，，再證，得出，即可得出結(jié)果．
本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.【答案】解：，
答：與的函數(shù)表達(dá)式為；
設(shè)每個月的銷售利潤為元．
依題意得：，
整理得：，
化成頂點式得，
當(dāng)為元時．每天的銷售利潤最大，最大利潤是元．
答：當(dāng)為元時．每天的最大利潤是元． 【解析】設(shè)售價應(yīng)定為元，則每件的利潤為元，日銷售量為件；
根據(jù)日利潤每件利潤日銷售量，后把二次函數(shù)關(guān)系式整理為頂點式可得答案．
本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．26.【答案】證明：，，
，
，
，即，
；
證明：在上截取，連接，如圖：

由知：，，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：延長至點，使，連接，，過作于，過作于，如圖：

由，設(shè)，則，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
≌，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
線段的長為． 【解析】由，，可得，根據(jù)，可得，即，故AB；
在上截取，連接，由，，可得≌，有，可得，即得，從而；
延長至點，使，連接，，過作于，過作于，設(shè)，則，求出，，得≌，有，從而≌，，由，知，故AG，即可得，，求出，，，可得，故線段的長為．
本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．27.【答案】解：直線經(jīng)過點、，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，
，
，
把，代入得，
，
解得，
拋物線的解析式為；
在拋物線上，點的橫坐標(biāo)為，
，
過點作于，

，
當(dāng)時，，
解得，，
，
，
，
；
過點作軸于點，

，
，，
≌，
，
，
，
當(dāng)時，，
，
，，
由勾股定理得，，，
過點作于點，連接，
，
即，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
過點作于點，
，，，
≌，
，，
過點作軸于點，
，，
，
設(shè)直線的解析式為，
把點代入得，
解得，
的解析式為，
，
解得，
點在第二象限，
 【解析】先求出點、的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；
過點作于，求出，，則可得出答案；
過點作軸于點，證明≌，由全等三角形的性質(zhì)得出，求出，由勾股定理求出，，證明≌，得出，，過點作于點，求出，，過點作軸于點，得出，求出的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式可得出答案．
本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形和全等三角形．

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2022年黑龍江省哈爾濱市呼蘭區(qū)重點中學(xué)中考猜題數(shù)學(xué)試卷含解析

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2022年黑龍江省哈爾濱市呼蘭區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

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