?2022北京師達(dá)中學(xué)高二12月月考
數(shù) 學(xué)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.
1．已知點(diǎn)A（2，m），B（3，3），直線AB的斜率為1，那么m的值為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知圓x2+y2﹣2x﹣1＝0，則其圓心和半徑分別為（　?。?br /> A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C． D．
3．直線x+y＝2的傾斜角是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且P是橢圓上的一點(diǎn)，則三角形PF1F2的周長(zhǎng)是（　?。?br /> A．1 B． C． D．
5．已知直線l1：2x﹣y﹣1＝0，l2：x+（a+1）y+2＝0相互垂直，則a值是（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），則原點(diǎn)到平面ABC的距離是（　?。?br /> A． B． C． D．
7．圓（x+2）2+（y﹣1）2＝5截x軸所得弦的長(zhǎng)度等于（　?。?br /> A．2 B． C．4 D．
8．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，異面直線A1D與D1C所成的角為（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
9．若直線l的一個(gè)方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為，則直線l與平面α的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．平行或線在面內(nèi)
10．若M，N為圓C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意兩點(diǎn)，P為直線3x+4y﹣4＝0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠MPN的最大值是（　?。?br /> A．45° B．60° C．90° D．120°
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11．（5分）橢圓+＝1的焦距等于　 ?。?br /> 12．（5分）過點(diǎn)A（﹣1，2）且與直線2x﹣3y+1＝0平行的直線方程為 　 ?。?br /> 13．（5分）求經(jīng)過A（﹣2，0），B（0，4）兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 　 　．
14．（5分）若實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0，則x2+y2的最大值是 　 ?。?br /> 15．（5分）曲線C：x2+xy+y2＝4，給出下列結(jié)論：
①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱；
③曲線C上只經(jīng)過6個(gè)整數(shù)點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；
④曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是 　 ?。?br /> 三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（14分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC1∥平面AD1E；
（Ⅱ）求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值．

17．（14分）已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）求BC邊上的垂直平分線的直線方程；
（2）求△ABC的面積．
18．（14分）已知圓C：x2+y2+2x﹣4y+4＝0，點(diǎn)P（0，4）．
（1）判斷點(diǎn)P與圓C的位置關(guān)系；
（2）求過點(diǎn)P的切線方程．
19．（14分）若橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），并且經(jīng)過點(diǎn)，過F2作x軸的垂線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求三角形ABF1的面積．
20．（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，且PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，E為PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AB⊥AE；
（2）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；
（3）在線段AP上是否存在點(diǎn)M使得BM∥平面AEC？若存在，請(qǐng)指明點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

21．（15分）已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）．
（1）若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，，求m的值．
（2）求證：無論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)；
（3）求直線l被圓C截得的最短弦長(zhǎng)，以及此時(shí)直線l的方程．

參考答案
一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.
1．【分析】利用直線的斜率公式可得＝1，解方程求得 m 的值．
【解答】解：由于A（2，m），B（3，3），直線AB的斜率為1，
∴＝1，∴m＝2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．
2．【分析】將圓的一般式化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求圓心和半徑即可．
【解答】解：圓的方程可整理為（x﹣1）2+y2＝2，
所以圓心為（1，0），半徑為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化．屬于基礎(chǔ)題型．
3．【分析】直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系
【解答】解：設(shè)傾斜角為θ，θ∈[0，π）．
∵直線x+y﹣2＝0，
∴k＝﹣1＝tanθ，
∴．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
4．【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求解．
【解答】解：∵橢圓方程為，
∴a＝2，b＝1，c＝，
又P是橢圓上的一點(diǎn)，且F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，
∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝，
∴三角形PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝4+，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
5．【分析】?jī)芍本€垂直，當(dāng)它們斜率都存在時(shí)，斜率之積為﹣1，代入數(shù)據(jù)可得答案．
【解答】解：由l1：2x﹣y﹣1＝0可得k1＝2，
∵l1⊥l2，∴，
∴a＝1．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
6．【分析】先求出平面ABC的法向量，再用點(diǎn)到平面的距離公式可得答案．
【解答】解：∵A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），
∴，
設(shè)平面ABC的法向量為，
∴，∴，取，
又，
∴原點(diǎn)到平面ABC的距離．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法求解點(diǎn)面距問題，屬基礎(chǔ)題．
7．【分析】先求出圓心到x軸的距離，再根據(jù)幾何法求圓的弦長(zhǎng)公式可得答案．
【解答】解：圓（x+2）2+（y﹣1）2＝5，
所以圓心到x軸的距離為d＝1，
由弦長(zhǎng)公式得：．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
8．【分析】連結(jié)CB1，ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，A1D∥B1C，異面直線A1D與D1C所成的角為∠B1CD1（或補(bǔ)角），連結(jié)B1D1，可得△B1D1C是等邊三角形，可得∠B1CD1的大小．
【解答】解：連結(jié)CB1，ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，
∴A1D∥B1C，
∴異面直線A1D與D1C所成的角為∠B1CD1（或補(bǔ)角），
連結(jié)B1D1，
可知B1D1＝D1C＝B1C，（三條邊是平面的對(duì)角線）
∴△B1D1C是等邊三角形，
∴∠B1CD1＝60°，即異面直線A1D與D1C所成的角為60°．
故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
9．【分析】根據(jù)＝得到與共線，即可得到直線l與平面α垂直．
【解答】解：因?yàn)椋剑?br /> 所以與共線，直線l與平面α垂直．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量在直線與平面位置關(guān)系判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
10．【分析】由圖上易知，當(dāng)P不動(dòng)時(shí)，PM，PN為兩切線角最大，再將∠MPN的最值問題轉(zhuǎn)化為PC的最值問題可求．
【解答】解：如圖，PA，PB為兩切線，P為直線3x+4y﹣4＝0上一個(gè)點(diǎn)，
所以∠MPN≤∠APB當(dāng)PM，PN為兩切線是取等號(hào)；
又∠APB＝2∠APC，故只需求（sin∠APC）max，，
又，，
∴，
∴．
故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求sin∠APC的最大值是解決本題的關(guān)鍵，注意利用數(shù)形結(jié)合比較和理解．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11．【分析】確定橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且a＝2，b＝，運(yùn)用c＝，即可得到焦距2c．
【解答】解：橢圓+＝1的焦點(diǎn)在x軸上，
且a＝2，b＝，
c＝＝＝1，
即2c＝2，
則橢圓的焦距為2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，掌握橢圓的a，b，c的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
12．【分析】?jī)芍本€平行則它們的斜率相等，然后再將數(shù)據(jù)代入直線的點(diǎn)斜式方程可得．
【解答】解：∵2x﹣3y+1＝0，
∴，
∵所求直線過點(diǎn)A（﹣1，2），
∴，化簡(jiǎn)得：2x﹣3y+8＝0．
故答案為：2x﹣3y+8＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
13．【分析】由頂點(diǎn)的絕對(duì)值大小可分辨a，b的值，進(jìn)而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（0，4），
∴a＝4，b＝2，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．
14．【分析】由題可知x2+y2的表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方，根據(jù)圓的性質(zhì)即得．
【解答】解：將方程x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0化為（x+2）2+（y﹣1）2＝9，方程表示以（﹣2，1）為圓心，半徑為3的圓，
表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離，
故x2+y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離的平方，
∵（0+2）2+（0﹣1）2＜9可知原點(diǎn)（0，0）在圓內(nèi)，且原點(diǎn)與圓心之間的距離為，
∴的最大值為，
∴x2+y2的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的一般方程，屬于基礎(chǔ)題．
15．【分析】將橫縱坐標(biāo)前面加負(fù)號(hào)看其曲線方程是否變化可以判斷1、2命題；運(yùn)用不等式估計(jì)可以判斷3、4命題真假．
【解答】解：對(duì)①，將（x，y）換成（﹣x，﹣y）得：
（﹣x）2+（﹣x）（﹣y）+（﹣y）2＝4，
化簡(jiǎn)得x2+xy+y2＝4，
∴曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴①正確；
對(duì)②，將x換成﹣x得：（﹣x）2+（﹣x）y+y2＝4，
化簡(jiǎn)得x2﹣xy+y2＝4，∴曲線C不關(guān)于y軸對(duì)稱，
將y換成﹣y，同理可得也不關(guān)于x軸對(duì)稱，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)③，∵，
∴，∴y＝0，±1，±2，
當(dāng)y＝0時(shí)，x2＝4，x＝±2，2個(gè)；
當(dāng)y＝±1時(shí)，x2±x+1＝4，∴x2±x﹣3＝0，無整數(shù)根；
當(dāng)y＝±2時(shí)，x2±2x+4＝4，∴x2±2x＝0，∴x＝?2，0，
綜上：經(jīng)過的整點(diǎn)有（0，±2），（±2，0），（2，﹣2），（﹣2，2）六個(gè)整點(diǎn)，∴③正確；
對(duì)④，∵，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝﹣y時(shí)取等，∴④正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線方程的研究，屬中檔題．
三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．【分析】（Ⅰ）根據(jù)正方體的性質(zhì)可證得BC1∥AD1，再利用線面平行的判定定理即可得證；
（Ⅱ）解法一：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AA1分別為x、y和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線AA1與平面AD1E所成角為θ，先求出平面AD1E的法向量，再利用sinθ＝|cos＜，＞|＝以及空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解．
解法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，易知＝2a2，結(jié)合勾股定理和余弦定理可求得cos∠EAD1＝，再求得＝AD1?AE?sin∠EAD1；設(shè)點(diǎn)A1到平面EAD1的距離為h，根據(jù)等體積法＝，可求出h的值，設(shè)直線AA1與平面AD1E所成角為θ，則sinθ＝，從而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)可知，AB∥C1D1中，且AB＝C1D1，
∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，
又BC1?平面AD1E，AD1?平面AD1E，∴BC1∥平面AD1E．
（Ⅱ）解法一：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AA1分別為x、y和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則A（0，0，0），A1（0，0，a），D1（a，0，a），E（0，a，a），
∴，，，
設(shè)平面AD1E的法向量為，則，即，
令z＝2，則x＝﹣2，y＝﹣1，∴＝（﹣2，﹣1，2），
設(shè)直線AA1與平面AD1E所成角為θ，則sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，
故直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值為．
解法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則AD1＝a，AE＝a，ED1＝3a，＝?2a?2a＝2a2，
由余弦定理知，cos∠EAD1＝＝＝，
∴sin∠EAD1＝，
∴＝AD1?AE?sin∠EAD1＝3a2，
設(shè)點(diǎn)A1到平面EAD1的距離為h，
∵＝，
∴，∴h＝，
設(shè)直線AA1與平面AD1E所成角為θ，則sinθ＝＝．
故直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線面的位置關(guān)系和線面夾角問題，熟練掌握線面平行的判定定理和利用空間向量求線面夾角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
17．【分析】（1）根據(jù)題意，求出直線BC的斜率，可得邊BC垂直平分線的斜率，求出BC中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的點(diǎn)斜式方程即可得答案；
（2）根據(jù)題意，求出|BC|以及點(diǎn)A到直線BC的距離，由三角形面積公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，B（﹣2，﹣1），C（2，3），
則kBC＝＝1，則BC的垂直平分線的斜率k＝﹣1，
BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
則BC邊上的垂直平分線的直線方程為y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；
（2）B（﹣2，﹣1），C（2，3），則|BC|＝＝4，
直線BC的方程為y﹣3＝1×（x﹣2），即x﹣y+1＝0，
點(diǎn)A到直線BC的距離d＝＝2，
則△ABC的面積S＝d×|BC|＝×2×4＝8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，涉及直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題．
18．【分析】（1）配方法確定圓心和半徑，然后計(jì)算出|PC|的值，與半徑進(jìn)行比較可確定位置關(guān)系；
（2）設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，相切說明圓心到直線的距離等于半徑，可解得斜率，進(jìn)而得到切線方程．
【解答】解：（1）將x2+y2+2x﹣4y+4＝0配方得（x+1）2+（y﹣2）2＝1，圓心為（﹣1，2），r＝1，，
∴點(diǎn)P在圓C外；
（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)：x＝0，滿足相切，
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)：y＝kx+4，
∴，
∴，
∴，
∴3x﹣4y+16＝0，
綜上所述：切線方程為：x＝0或3x﹣4y+16＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
19．【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c＝1，再結(jié)合橢圓過點(diǎn)，可解出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程可求出A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得出三角形ABF1的面積．
【解答】解：（1）由題知焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），∴c＝1，
設(shè)橢圓方程為：，
將代入得：，
解得a2＝4，
∴；
（2）過F2作x軸的垂線，其方程為x＝1，
與聯(lián)立解得：，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，屬中檔題．
20．【分析】（1）根據(jù)線面垂直可得線線垂直，可證；
（2）先用垂線法找出二面角的平面角，再解三角形即可；
（3）經(jīng)過分析易知，M為AP中點(diǎn)，只需證明中點(diǎn)時(shí)，BM∥平面AEC即可
【解答】（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，所以AP⊥AB，
又∠ABC＝90°，BC∥AD，所以AB⊥AD，又AD∩AP＝A，所以AB⊥平面ADP，
又AE?平面ADP，所以AB⊥AE得證．
（2）解：因?yàn)镕為AD的中點(diǎn)，過F作FN⊥AC于N，連接EN，
在△PAD中，E，F(xiàn)為中點(diǎn)，所以AP∥EF，EF＝AP＝1
又PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，
所以∠ENF為二面角E﹣AC﹣D的平面角，
在直角梯形ABCD中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，所以∠BAC＝45°，所以∠FAC＝45°，
又AF＝AD＝1，所以FN＝，
在Rt△EFN中，tan∠ENF＝＝，所以cos∠ENF＝，
所以二面角E﹣AC﹣D的余弦值為．
（3）解：存在AP的中點(diǎn)M使得BM∥平面AEC，理由如下：
AP的中點(diǎn)為M，所以EM為△PAD的中位線，所以＝＝．
所以四邊形BCEM為平行四邊形，所以BM∥CE，又BM?平面AEC，CE?平面AEC，
所以BM∥平面AEC．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定，考查面面角，考查線面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
21．【分析】（1）根據(jù)弦長(zhǎng)公式可求出圓心到直線的距離，再根據(jù)距離公式可得m的值；
（2）直線經(jīng)過某定點(diǎn)，證明此定點(diǎn)在圓內(nèi)部即可；
（3）弦長(zhǎng)最短時(shí)，說明定點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，可求出直線方程．
【解答】解：（1）依題意，圓心（1，2），r＝5，
根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，
∴d＝1，
∴，解得：；
（2）證明：由直線方程（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，
∴m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）＝0，
∴，解得定點(diǎn)P（3，1），
又，
∴P在圓內(nèi)，
∴無論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)得證．
（3）由弦長(zhǎng)公式，
此時(shí)PC⊥l，
∴，
∴kl＝2，
∴直線l的方程為y﹣1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣5＝0，此時(shí)．
綜上：直線l的方程為2x﹣y﹣5＝0．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

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