成都石室中學(xué)2023-2024年度上期高2024屆十月月考數(shù)學(xué)試題（理）（總分：150分，時間：120分鐘 ）第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本題共12道小題，每小題5分，共60分）1．已知集合，，則　　A． B． C． D．2．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知命題，使，命題關(guān)于直線對稱，下面結(jié)論正確的是　　A．命題“”是真命題 B．命題“”是假命題 C．命題“”是真命題 D．命題“”是假命題4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列是等差數(shù)列，則  A．1或     B．2或 C．2或    D．或5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是　　A．  B．  C． D．6．已知函數(shù)，設(shè)，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象大致為　　A．B．C．D．8．已知向量，，則的值是　　A． B． C． D．9．2025年四川省新高考將實(shí)行模式，即語文數(shù)學(xué)英語必選，物理歷史二選一，政治地理化學(xué)生物四選二，共有12種選課模式．假若今年高一的小明與小芳都對所選課程沒有偏好，則他們所選六科中恰有四科相同的概率是　　A． B． C． D．10．已知動圓M恒過點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)圓心M的軌跡方程曲線，直線與曲線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），與直線交于點(diǎn)，若，則　　A． B． C． D．11．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，設(shè)方程的3個實(shí)根分別為，且，則的值可能為（    ）A． B． C． D． 第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13．若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)              .14. 圓與圓的公共弦長為              .15．已知三棱錐底面是邊長為的等邊三角形，平面底面，，則三棱錐的外接球的表面積為               .16．已知過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的直線與雙曲線的另外一個交點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率               .  三、解答題（本題共6道小題，共70分）17．（本小題滿分12分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．  18．（本小題滿分12分）為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機(jī)制，激勵學(xué)生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測試工作．為做好全省的迎檢工作，成都市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬測試，并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)據(jù)，根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這200名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）由頻率分布直方圖知，該市學(xué)生的健康指數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均，近似為樣本方差．①求；②已知該市高三學(xué)生約有10000名，記體質(zhì)健康指數(shù)在區(qū)間，的人數(shù)為，試求．附：參考數(shù)據(jù)：，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，． 19．（本小題滿分12分）如圖，在幾何體中，平面四邊形是菱形，平面平面，，且，，．（1）證明： （2）若二面角是直二面角，求直線與直線所成角的余弦值．    20．（本小題滿分12分）動圓C與圓M：外切，與圓N：內(nèi)切.（1）求動圓C的圓心C的的軌跡方程；（2）直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，判斷是否為定值？并說明理由.  21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)和函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)集合，(b為常數(shù)).①證明：存在實(shí)數(shù)b，使得集合中有且僅有3個元素；②設(shè)，，求證：.  選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（本小題滿分10分）已知點(diǎn)在曲線上．（1）求動點(diǎn)的軌跡C的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點(diǎn)的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．（本小題滿分10分）已知任意，都有.（1）          求實(shí)數(shù)的取值范圍；     成都石室中學(xué)2023-2024年度上期高2024屆十月月考數(shù)學(xué)試題（理 ）參考答案1．已知集合，，則　　A． B． C． D．解：已知集合，，則由集合的運(yùn)算和集合的關(guān)系可得：，正確；故選：．2．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：，則復(fù)數(shù)．對應(yīng)點(diǎn)，在第一象限．故選：．3.已知命題，使，命題關(guān)于直線對稱，下面結(jié)論正確的是　　A．命題“”是真命題 B．命題“”是假命題 C．命題“”是真命題              D．命題“”是假命題解：命題，使，為真命題，為假命題命題為假命題，則非為真命題：命題“”為假命題為真命題：“”為假命題：“”假命題故選：．4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列成等差數(shù)列，則　　A．1或 B．2或 C．2或 D．或解：設(shè)等比數(shù)列 的公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，即，化簡得，解得 或，當(dāng)時，，當(dāng) 時，．故選：．5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是　　A． B． C． D．該幾何體是棱長分別為2，2，1的長方體中的三棱錐，其中：，該幾何體的表面積為：．故選：．6．已知函數(shù)，設(shè)，則，，的大小關(guān)系為　　A． B． C． D．解：的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>在上為增函數(shù)，且，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，故選：．7．函數(shù)的圖象大致為　　A．B．C．D．解：函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除、，函數(shù)的零點(diǎn)是，當(dāng)時，（e），排除選項(xiàng)．故選：．8．已知向量，，則的值是　　A． B． C． D．，．故選：．9．2025年四川省新高考將實(shí)行模式，即語文數(shù)學(xué)英語必選，物理歷史二選一，政治地理化學(xué)生物四選二，共有12種選課模式．假若今年高一的小明與小芳都對所選課程都沒有偏好，則他們選六科中恰有四科相同的概率是　　A． B． C． D．答案：B    10．已知動圓M恒過點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)圓心M的軌跡方程曲線，直線與曲線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），與直線交于點(diǎn)，若，則　　A．  B． C．   D．解：如圖所示，拋物線．，解得．聯(lián)立，化為：．，解得，則．故選：．11．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，即的取值范圍是．故選：C.12．已知函數(shù)，設(shè)方程的3個實(shí)根分別為，且，則的值可能為（    ）A． B． ，C． D．由題設(shè)，的定義域?yàn)?/span>，且，∴當(dāng)時，，即遞減；當(dāng)時，，即遞增.∴，又在上逐漸變小時逐漸趨近于0，當(dāng)時且隨趨向于0，趨向無窮大.∴的圖象如下：∵的定義域?yàn)?/span>，由可得：在上必有兩個不等的實(shí)根(假設(shè))且，∴令，要使的3個實(shí)根，則、，即，可得.∴由知：，，∴.故選：B.一、   選擇題題號123456789101112答案BADCBACDBCCB二、   填空題13.1 ;    14. ;   15. ;  16. .三、   解答題17．解：（1）由，得，兩式相減得，                              ………………..3分當(dāng)時，，則，                         ………………..4分所以是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以；………………..6分（2），                                              ………………..7分的前項(xiàng)和為………………..12分（分組求和中，求對一個數(shù)列和，單獨(dú)給2分） 18．（1）解：（1）由題意得，，所以這200名學(xué)生體重的平均數(shù)為60，方差為86；………………..6分（2）①由（1）可知，，則②由①可知1名學(xué)生的體重位于，的概率為0.819，    ………………..8分依題意，服從二項(xiàng)分布，即，，則            ………………..12分19．證明：（1），，      ………………..1分平面平面，面平面，，                                             ………………..3分              ………………..5分 解：（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，由（1）得， 分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，  ……………..6分平面，，，，，．設(shè)，，由題設(shè)得，0，，，0，，，，，，設(shè)，，是平面的法向量，則，取，得，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得，1，….  .8分二面角是直二面角，，解得，                              ………………..10分， 直線AE與直線FC所成角的余弦值為………………..12分20．（1）設(shè)動圓的半徑為，由題可知，，從而，所以圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，軌跡方程為  ………………..4分（2）由可知平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，...........………………..6分設(shè)， 由得，，即有，...........………………..7分而，則，即...............................................8分于是     ，.化簡得：，..................................9分且又因?yàn)?/span>在橢圓上，即，即，，從而，，又因?yàn)?/span>不在直線上，則有，即，所以為定值，且.         .....................................12分 （若答案正確，沒有過程，給答案分2分） 21.（1）因?yàn)?/span>，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 可知有極大值；無極小值          ........................3分（2）令因?yàn)?/span>，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，所以存在唯一的，使得，........................5分令則由圖像可知，有兩個解，不妨記為，有兩個解，不妨記為，從而，故存在實(shí)數(shù)，使得集合中有且僅有3個元素；得證            ........................7分 （3）此時，且，因?yàn)?/span>，則，即，  ........................8分因?yàn)?/span>，，且在上單調(diào)遞增，所以，可得， ........................9分又因?yàn)?/span>，則，即，......................10分且，，在上單調(diào)遞減，所以，則，........................11分所以，即，又因?yàn)?/span>，且，故........................12分 22.（1）由題意，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，則，再設(shè)，則，為參數(shù)，........................2分消去參數(shù)，得到，故點(diǎn)M的軌跡C的方程為．.......................5分（若沒有限制范圍，扣1分）（2）設(shè)的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），且，代入曲線C的方程得，......................7分設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)得參數(shù)分別為，，則，所以，則，即直線l的斜率為．.....................10分23.（1）由題意記，.....................2分所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此的最小值，.....................4分由題可知，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是....................5分（2）由（1）知,且均為正數(shù)，所以，由基本不等式，，， 

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