浙江省杭州第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案-試卷下載-教習網(wǎng)

杭州二中2022學(xué)年第一學(xué)期高一年級期末數(shù)學(xué)試卷本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時間120分鐘第Ⅰ卷(選擇題)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，，則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，化簡N，根據(jù)交集運算求解即可.【詳解】因為，,所以，故選：D2. 已知，，則“”是“”的( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析】利用充分條件和必要條件的定義直接判斷即可.【詳解】依題意，，若，則，故，即“”可推出“”；若，結(jié)合，，則有，或者，故或，即“”推不出“”.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3. 中，角的對邊分別為，且，，，那么滿足條件的三角形的個數(shù)有( )A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 無數(shù)個【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理求出的值即可求解.【詳解】因為在中，，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以滿足條件的三角形的個數(shù)有2個，故選：.4. 已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是( )A. 把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線B. 把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C. 把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線D. 把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的伸縮變換與平移變換的法則，即可得解．【詳解】已知曲線，把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線，再把曲線向左平移個單位長度，得到曲線，即曲線.故選：C.5. 用二分法判斷方程在區(qū)間內(nèi)的根(精確度0.25)可以是(參考數(shù)據(jù)：，) (　　)A. 0.825 B. 0.635 C. 0.375 D. 0.25【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由題意可得是上連續(xù)函數(shù)，由此根據(jù)函數(shù)零點的判定定理求得函數(shù)的零點所在的區(qū)間．【詳解】設(shè)，，，，在內(nèi)有零點，在內(nèi)有零點，方程根可以是0.635.故選：B．6. 已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)不可能是( )A. B. -10 C. 1 D. -2【答案】C【解析】【分析】依題意畫出函數(shù)圖像，函數(shù)的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點，數(shù)形結(jié)合即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】因為，畫出函數(shù)的圖像如下所示，函數(shù)的有兩個零點，即方程有兩個實數(shù)根，即有兩個實數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，由函數(shù)圖像可得，所以不能為1，故選：C.7. 已知，則的值為( )A. B. C. D. 不存在【答案】B【解析】【分析】由，代入已知條件解方程即可.【詳解】，由，則，解得，由三角函數(shù)的值域可知，不成立，故.故選：B8. 已知，，，則( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】比較，等價成比較，在時的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，由數(shù)形結(jié)合即可判斷；比較，構(gòu)造單位圓A如圖所示，，于D，則比較轉(zhuǎn)化于比較、的長度即可.【詳解】，，設(shè)，函數(shù)圖象如圖所示，均單調(diào)遞增，且，結(jié)合圖象得在，，即，故，故；如圖，單位圓A中，，于D，則的長度，，，則由圖易得，，當，則，故，故當時，有，∴.綜上，.故選：D.【點睛】(1)比較對數(shù)式大小，一般可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大?。?/span>
(2)比較非特殊角三角函數(shù)大小，可結(jié)合單位圓轉(zhuǎn)化為比較長度，則可由數(shù)形結(jié)合解答.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 在直角坐標系中，角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，且，則( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】則題意可得，則，A選項正確；，B選項正確；，C選項錯誤；由，角終邊在第三象限，即，則，即角的終邊在二、四象限，所以，D選項正確.故選：ABD.10. 下列說法正確的是( )A. 若，則B. 若，則恒成立C. 若正數(shù)a， b滿足，則ab有最小值D. 若實數(shù)x， y滿足，則沒有最大值【答案】BC【解析】【分析】對A舉反例即可判斷，對B利用配方法即可判斷，對C利用基本不等式得，解出范圍即可，對D，利用正弦函數(shù)的有界性求出的范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的最值即可判斷.【詳解】對A，若，則，則，故A錯誤；對B，，取等號的條件為，解得，但，故恒成立，即恒成立，故B正確；對C，若，則，解得或(舍去)所以，當且僅當時等號成立，則，故C正確；對D，，則，又，，解得，，當時，，故D錯誤.故選：BC.11. 設(shè)函數(shù)，，，若的最大值為，最小值為，那么和的值可能分別為( )A. 與 B. 與 C. 與 D. 與【答案】AC【解析】【分析】可以表示為一個奇函數(shù)和常數(shù)之和，利用奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的最大值加最小值為進行分析即可.【詳解】記，，定義域關(guān)于原點對稱，由，于是為奇函數(shù)，設(shè)在上的最大值和最小值分別為，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，，而，故，于是，注意到，經(jīng)檢驗，AC選項符合故選：AC12. 已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的有( )A. 的最小正周期是B. 若，則C. 若恒成立，則滿足條件的有且僅有1個D. 若，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】利用單調(diào)區(qū)間長度不超過周期的一半，求出周期范圍，判斷A，根據(jù)中心對稱即可求值，知B正確，由周期的范圍求出的范圍，利用函數(shù)平移求出周期，判斷C，結(jié)合已知單調(diào)區(qū)間得出范圍后判斷D.【詳解】對于A，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值為，故A錯誤；對于B，因為，所以的圖像關(guān)于點對稱，所以，故B正確；對于C，若恒成立，則為函數(shù)的周期或周期的倍數(shù)，所以，所以，因為，所以，又，所以，所以，即滿足條件的有且僅有1個，故C正確；對于D，由題意可知為單調(diào)遞減區(qū)間的子集，所以，其中，解得，，當時，，當時，，故的取值范圍是，故D正確.故選：BCD第Ⅱ卷(非選擇題)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 設(shè)函數(shù)，則______.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，利用指數(shù)式和對數(shù)式的運算規(guī)則代入求值即可.【詳解】函數(shù)，則，，.故答案為：12.14. 一艘輪船按照北偏東40°方向，以18海里/小時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東20°方向上，經(jīng)過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為_______海里.【答案】4【解析】【分析】先結(jié)合條件找出已知角及線段長，然后結(jié)合余弦定理即可直接求解．【詳解】設(shè)輪船的初始位置為A，20分鐘后輪船位置為B，燈塔位置為C，如圖所示由題意得，，，，由余弦定理得，即，解得．則燈塔與輪船原來的距離為4海里故答案為：4．15. 已知函數(shù).若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】分段求出函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的范圍，然后結(jié)合存在最大值即可求解【詳解】當時，函數(shù)不存在最大值，故，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以此時；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以此時，若函數(shù)存在最大值，則，解得，又，所以的取值范圍為故答案：16. 已知，且，則的最大值為________.【答案】【解析】【分析】由，通過研究函數(shù)單調(diào)性可得，后設(shè)，則，其中，.【詳解】因，則.因函數(shù)均在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有：.設(shè)，其中，則，當且僅當時取等號，則此時，得又函數(shù)在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，，則，此時.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題涉及構(gòu)造函數(shù)，含參二次函數(shù)的最值，難度較大.對于所給不等式，分離含x，y式子后，通過構(gòu)造函數(shù)得到.后將問題化為求含參二次函數(shù)的最值問題.四、解答題：本題共6小題，共70分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大?。?/span>(2)若，且的面積為，求的周長.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由，根據(jù)正弦定理化簡得，利用余弦定理求得，即可求解；(2)由的面積為，求得，結(jié)合余弦定理，求得，即可求解.【小問1詳解】由題意及正弦定理知，，，，.【小問2詳解】，又，由①，②可得，所以的周長為.18. 已知，，，.(1)求的值；(2)求的值，并確定的大小.【答案】(1) (2)，【解析】【分析】(1)由解得，由求出，利用兩角差的余弦公式求解的值；(2)由，求出，再求，利用兩角差的正切公式計算的值，并得到的大小.【小問1詳解】，由，，，又，，，.【小問2詳解】由(1)可知，，，，，.19. 已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當時，求的值域.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為 (2)【解析】【分析】(1)由三角恒等變換化簡解析式，由余弦函數(shù)的性質(zhì)求解；(2)由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出的值域.【小問1詳解】，，由可得，，即的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】，，故的值域為.20. 為了迎接亞運會，濱江區(qū)決定改造一個公園，準備在道路AB的一側(cè)建一個四邊形花圃種薰衣草(如圖).已知道路AB長為4km，四邊形的另外兩個頂點C， D設(shè)計在以AB為直徑的半圓上. 記.(1)為了觀賞效果，需要保證，若薰衣草的種植面積不能少于 km2，則應(yīng)設(shè)計在什么范圍內(nèi)?(2)若BC = AD，求當為何值時，四邊形的周長最大，并求出此最大值.【答案】(1) (2)，10km【解析】【分析】(1)由，利用三角形面積公式得到求解；(2) 由BC = AD得到，進而得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：，，由題意，，，因為，所以，解得；【小問2詳解】由BC = AD可知，，故，，從而四邊形ABCD周長最大值是10km，當且僅當，即時取到.21. 已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且.(1)若是奇函數(shù)，求a的值；(2)證明：在上有唯一的零點；(3)設(shè)在上的零點為，證明：.【答案】(1) (2)證明見解析 (3)證明見解析【解析】【分析】(1)是奇函數(shù)，由恒成立，求a的值；(2)在上是連續(xù)增函數(shù)，結(jié)合由零點存在定理可證；(3)把零點代入函數(shù)解析式，有，由零點所在區(qū)間得，化簡變形可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意，，恒成立，即，化簡得，解得.【小問2詳解】由題意，，∵， ∴和在上都是連續(xù)增函數(shù)，∴在上是連續(xù)增函數(shù)，又，，所以，由零點存在定理可知在上有唯一的零點.【小問3詳解】由可知，即，由(2)可知，∴，，即，所以.【點睛】思路點睛：第3問的證明，可以從結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過變形，對數(shù)式換指數(shù)式，尋找與已知條件的關(guān)聯(lián).22. 已知函數(shù)滿足：對，都有，且當時，.函數(shù).(1)求實數(shù)m的值；(2)已知，其中. 是否存在實數(shù)，使得恒成立? 若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)8 (2)存在，【解析】【分析】(1)根據(jù)題意代入，運算求解即可；(2)先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求得，進而可得當時，則可得對任意時恒成立，結(jié)合恒成立問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析可得恒成立，列式運算求解.【小問1詳解】由題意可得：，則，解得 m = 8.【小問2詳解】令，可得，即，∴定義域為，∵，則對，且，可得，故，即，且在是增函數(shù)，則，即，∴在是增函數(shù)，若要使恒成立，則首先要滿足恒成立，則，解得，則，故當時，則對任意時恒成立，令，則恒成立，即恒成立，而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴在上增函數(shù)，又，，故只需恒成立，則，解得，綜上所述：存在滿足條件.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．

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