?華中師范大學(xué)附屬第一中學(xué)高一上學(xué)期期末綜合(一)
一、單選題(本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))
1. 設(shè)集合，，則( )
A. B. C. D.
2. 設(shè)命題p：所有的等邊三角形都是等腰三角形，則p的否定為( )
A. 所有的等邊三角形都不是等腰三角形 B. 有的等邊三角形不是等腰三角形
C. 有的等腰三角形不是等邊三角形 D. 不是等邊三角形的三角形不是等腰三角形
3. 著名的物理學(xué)家牛頓在17世紀(jì)提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律.新聞學(xué)家發(fā)現(xiàn)新聞熱度也遵循這樣的規(guī)律，即隨著時(shí)間的推移，新聞熱度會(huì)逐漸降低，假設(shè)一篇新聞的初始熱度為，經(jīng)過時(shí)間天之后的新聞熱度變?yōu)?，其中為冷卻系數(shù).假設(shè)某篇新聞的冷卻系數(shù)，要使該新聞的熱度降到初始熱度的以下，需要經(jīng)過天(參考數(shù)據(jù)：)( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 函數(shù)圖象大致為( )
A. B.
C. D.
5. 設(shè)，，，則( )
A. B. C. D.
6. 已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)? )
A. B. C. D.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
8. 已知函數(shù)，，函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)且，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
二、多選題(本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)
9. 已知為第二象限角，則下列說法正確的是( )
A. B. C. D.
10. 已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m，使得對于任意，都有，則稱函數(shù)，有下界，m為其一個(gè)下界；類似的，若存在實(shí)數(shù)M，使得對于任意的，都有，則稱函數(shù)，有上界，M為其一個(gè)上界.若函數(shù)，既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).下列說法正確的是( )
A. 若函數(shù)在定義域上有下界，則函數(shù)有最小值
B. 若定義在上的奇函數(shù)有上界，則該函數(shù)一定有下界
C. 若函數(shù)為有界函數(shù)，則函數(shù)是有界函數(shù)
D. 若函數(shù)定義域?yàn)殚]區(qū)間，則該函數(shù)是有界函數(shù)
11. 已知a為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)，則下列說法正確的是( )
A. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱 B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)
C. 函數(shù)圖像關(guān)于直線成軸對稱圖形 D. 函數(shù)圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線與x軸有交點(diǎn)
12. 已知奇函數(shù)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則( )
A.
B. 函數(shù)為周期函數(shù)
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 函數(shù)的圖像既有對稱軸又有對稱中心
三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)
13. 冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______.
14. 已知集合沒有非空真子集，則實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為______.
15. 已知均為實(shí)數(shù)且，，則的最小值為______.
16. 已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋阎?dāng)時(shí)，，若，則的解集為______.
四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17. 已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設(shè)，，求的值.
18. 在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問題.設(shè)全集，______，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
19. 2022年冬天新冠疫情卷土重來，我國大量城市和地區(qū)遭受了奧密克戎新冠病毒的襲擊，為了控制疫情，某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時(shí)間單位：小時(shí)變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于毫克/立方米時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用.
(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？
(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值.精確到，參考數(shù)據(jù)：取
20. 已知函數(shù)，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于y軸對稱且當(dāng)時(shí)，取得最大值.
(1)求函數(shù)的解析式：
(2)方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21. 已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(3)已知，若，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
22. 已知函數(shù)
(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，的值；
(2)已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)定義：閉區(qū)間長度為，若對于任意長度為1的閉區(qū)間D，存在，求正數(shù)a的最小值.






華中師范大學(xué)附屬第一中學(xué)高一上學(xué)期期末綜合(一)
一、單選題(本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))
1. 設(shè)集合，，則( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集與補(bǔ)集的概念求解即可．
【詳解】因?yàn)榧?，，?br /> .
故選：A．
2. 設(shè)命題p：所有的等邊三角形都是等腰三角形，則p的否定為( )
A. 所有的等邊三角形都不是等腰三角形 B. 有的等邊三角形不是等腰三角形
C. 有的等腰三角形不是等邊三角形 D. 不是等邊三角形的三角形不是等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.
【詳解】解：因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題
所以命題p的否定為：有的等邊三角形不是等腰三角形.
故選：B.
3. 著名的物理學(xué)家牛頓在17世紀(jì)提出了牛頓冷卻定律，描述溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律.新聞學(xué)家發(fā)現(xiàn)新聞熱度也遵循這樣的規(guī)律，即隨著時(shí)間的推移，新聞熱度會(huì)逐漸降低，假設(shè)一篇新聞的初始熱度為，經(jīng)過時(shí)間天之后的新聞熱度變?yōu)?，其中為冷卻系數(shù).假設(shè)某篇新聞的冷卻系數(shù)，要使該新聞的熱度降到初始熱度的以下，需要經(jīng)過天(參考數(shù)據(jù)：)( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意建立不等式求解.
【詳解】依題意， ， ，
即經(jīng)過8天后，熱度下降到初始熱度的10%以下；
故選：C.
4. 函數(shù)的圖象大致為( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性和特殊值法進(jìn)行判斷．
【詳解】因?yàn)椋允桥己瘮?shù)，故A，C錯(cuò)誤；
，選項(xiàng)B符合函數(shù)，D不符合
故選：B.
5. 設(shè)，，，則( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得出，再判斷和的大小，即可得到答案.
【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，，
，，則，，明顯可見，，
，得.
故選：D
6. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)? )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)的定義域求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域問題即可得解.
【詳解】解：由函數(shù)的定義域?yàn)?，得?br /> 所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br /> 由函數(shù)，
得，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：B.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二倍角得余弦公式化簡，從而問題可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解，再分，和三種情況討論即可得出答案.
【詳解】解：，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的最小值為，
所以在區(qū)間上有解，
當(dāng)時(shí)，由，得，
則有，解得，
當(dāng)時(shí)，，與題意矛盾，
當(dāng)時(shí)，由，得，
則有或，解得，
綜上a的取值范圍為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，，函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)且，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，得，問題轉(zhuǎn)化為，有4個(gè)不同的根，即
函數(shù)與函數(shù)有4個(gè)不同的交點(diǎn)，分別作出與的圖像，利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，計(jì)算可得答案.
【詳解】，令，得，
函數(shù)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即有4個(gè)不同的根；
根據(jù)題意，作出的圖像，如圖

明顯地，根據(jù)二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，有，，
因?yàn)?，故?br /> 令，得或，故，
又因?yàn)椋?br /> 則，整理得
故的取值范圍為.
故選：B
二、多選題(本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)
9. 已知為第二象限角，則下列說法正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先根據(jù)為第二象限角，求出的范圍再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及輔助角公式分析即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以?br /> 則，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不妨令，
此時(shí)，，
，
由，得，則，
所以，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不妨令，
此時(shí)，，
由，得，則，
所以，
綜上所述，說法正確的是BD.
故選：BD.
10. 已知函數(shù)，，若存在實(shí)數(shù)m，使得對于任意的，都有，則稱函數(shù)，有下界，m為其一個(gè)下界；類似的，若存在實(shí)數(shù)M，使得對于任意的，都有，則稱函數(shù)，有上界，M為其一個(gè)上界.若函數(shù)，既有上界，又有下界，則稱該函數(shù)為有界函數(shù).下列說法正確的是( )
A. 若函數(shù)定義域上有下界，則函數(shù)有最小值
B. 若定義在上的奇函數(shù)有上界，則該函數(shù)一定有下界
C. 若函數(shù)為有界函數(shù)，則函數(shù)是有界函數(shù)
D. 若函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，則該函數(shù)是有界函數(shù)
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)上界，下界，有界的定義分別進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：對于A，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，則函數(shù)有下界，但函數(shù)沒有最小值，故A錯(cuò)誤；
對于B，若定義在上的奇函數(shù)有上界，不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，
則當(dāng)時(shí)，，則，
即，則，該的下界是，則函數(shù)是有界函數(shù)，故B正確；
對于C，對于函數(shù)，若函數(shù)為有界函數(shù)，
設(shè)，則或，
該函數(shù)是有界函數(shù)，故C正確；
對于D，函數(shù)，
則函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，值域?yàn)椋?br /> 則只有下界，沒有上界，即該函數(shù)不是有界函數(shù)，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 已知a為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)，則下列說法正確的是( )
A. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱 B. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)
C. 函數(shù)圖像關(guān)于直線成軸對稱圖形 D. 函數(shù)圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線與x軸有交點(diǎn)
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由已知
對于A：，，由函數(shù)圖像變換可知，的圖像關(guān)于中心對稱，故A正確.
對于B：，定義域?yàn)?，又因?yàn)椋?br /> 所以，所以在和為減函數(shù)，所以函數(shù)在和為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤.
對于C：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)不在的圖象上，但在該函數(shù)的圖象上，故C錯(cuò)誤.
對于D：因?yàn)?，定義域?yàn)椋視r(shí)，，所以圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線不平行于軸，所以函數(shù)圖像上任意不同兩點(diǎn)的連線與x軸有交點(diǎn)，故D正確.
故選：AD
12. 已知奇函數(shù)，恒成立，且當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則( )
A.
B. 函數(shù)為周期函數(shù)
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
D. 函數(shù)的圖像既有對稱軸又有對稱中心
【答案】BCD
【解析】
【分析】由與的關(guān)系式及的周期性、奇偶性，即可求和判斷的周期，進(jìn)而判斷A 和B；利用奇函數(shù)性質(zhì)求在上的解析式，結(jié)合的周期性及求上的解析式判斷C，利用對稱性判斷、是否成立判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以，，又為奇函?shù)，故，利用，可得
，故的周期為4；
因?yàn)橹芷跒?，則的周期為4，又是奇函數(shù)，
所以，A錯(cuò)誤，B正確；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故時(shí)，，因?yàn)楹愠闪?，令，此時(shí)，，則，，故時(shí)，，
令，即，則，即；
令，即，則，即；
令，即，，
所以，
根據(jù)周期性在上的圖像與在相同，
所以，當(dāng)，即時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，C正確；
由是周期為4的奇函數(shù)，則且，
所以，故關(guān)于對稱，
，所以關(guān)于對稱，D正確.
故選：BCD
三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)
13. 冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得且，從而可求出的值.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
所以且，
由，得，，
解得或，
當(dāng)時(shí)，不滿足，所以舍去，
當(dāng)時(shí)，滿足，
綜上，，
故答案為：4
14. 已知集合沒有非空真子集，則實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得集合中元素的個(gè)數(shù)為1或0個(gè)，再分情況討論即可，注意這種情況.
【詳解】解：因?yàn)榧蠜]有非空真子集，
所以集合中元素的個(gè)數(shù)為1或0個(gè)，
當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)，
若，則有，解得，符合題意，
若，則有，解得，
當(dāng)集合中元素的個(gè)數(shù)為0個(gè)時(shí)，
則，解得，
綜上或，
即實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合為.
故答案為：.
15. 已知均為實(shí)數(shù)且，，則的最小值為______.
【答案】3
【解析】
【分析】由可得，再將變形為，利用基本不等式即可求解.
【詳解】由，可得，
因?yàn)?，所以，?br /> 則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).
所以的最小值為3.
故答案為：3
16. 已知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋阎?dāng)時(shí)，，若，則的解集為______.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，令，從而可得出函數(shù)在上得單調(diào)性，再判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合，求得，而所求不等式可化為，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性列出不等式即可得出答案.
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由，
得，
令，當(dāng)時(shí)，，
則，
所以函數(shù)在上遞減，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，
則，
所以函數(shù)也是偶函數(shù)，
因?yàn)椋裕?br /> 不等式可化，
即，
所以，解得，
所以的解集為.
故答案為：.
四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17. 已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)設(shè)，，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想即可得解；
(2)由題意可求得，再根據(jù)平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解.
【小問1詳解】
解：，
令，
得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
【小問2詳解】
解：因?yàn)椋?br /> 所以，
又，則，
所以，
所以.
18. 在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并回答下列問題.設(shè)全集，______，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根據(jù)除法不等式，絕對值不等式，對數(shù)函數(shù)的定義域即可分別求出三種情形下的集合A；(2)對集合B中不等式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)充分必要條件和集合包含關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
若選①：
，
，
所以，
，
，
故.
若選②：

，
所以，
，
，
故.
若選③：
，
，
所以，
，
，
故.
【小問2詳解】
由(1)知，
，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，
(i)若，即，
此時(shí)，
所以
等號(hào)不同時(shí)取得，
解得.
故.
(ii)若，則，不合題意舍去；
(iii)若，即，
此時(shí)，

等號(hào)不同時(shí)取得，
解得.
綜上所述，a的取值范圍是.
19. 2022年冬天新冠疫情卷土重來，我國大量城市和地區(qū)遭受了奧密克戎新冠病毒的襲擊，為了控制疫情，某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度單位：毫克/立方米隨著時(shí)間單位：小時(shí)變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于毫克/立方米時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用.
(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？
(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值.精確到，參考數(shù)據(jù)：取
【答案】(1)8 (2)1.6
【解析】
【分析】(1)根據(jù)噴灑4個(gè)單位的凈化劑后濃度為，由求解；
(2)得到從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，濃度為，化簡利用基本不等式求解.
【小問1詳解】
解：因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的凈化劑，
所以其濃度為，
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，
綜上，
所以若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí)；
【小問2詳解】
設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，
其濃度，
，
因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
所以其最小值為，
由，解得，
所以a的最小值為.
20. 已知函數(shù)，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于y軸對稱且當(dāng)時(shí)，取得最大值.
(1)求函數(shù)的解析式：
(2)方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用正弦函數(shù)的平移變換結(jié)合圖像和性質(zhì)求解即可；
(2)利用正弦函數(shù)的圖像和一元二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.
【小問1詳解】
函數(shù)向右平移個(gè)單位可得，
因?yàn)殛P(guān)于軸對稱，所以解得，
因?yàn)?，所以或?br /> 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，所以解得，
綜上，
所以.
【小問2詳解】
令，
由(1)得當(dāng)時(shí)，，
由正弦函數(shù)的圖像可得當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，
所以要使方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且兩根都在區(qū)間內(nèi)，
所以，且，
解得.
21. 已知函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(3)已知，若，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)是偶函數(shù)
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)利用函數(shù)奇偶性的定義式判斷即可；
(2)根據(jù)復(fù)合函數(shù)求值域計(jì)算即可；
(3)根據(jù)不等式恒成立與能成立綜合，原式等價(jià)于，分別計(jì)算和的最小值，再代入解關(guān)于a的不等式即可.
【小問1詳解】
的定義域?yàn)?br />
故是偶函數(shù).
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 即的值域是.
【小問3詳解】
，使得
等價(jià)于.
,
所以.
令函數(shù)，
對，當(dāng)時(shí)，
有
所以在上單調(diào)遞增.
于是，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，故，
所以，解得，即a的范圍為；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故，
所以，無解.
綜上：a的取值范圍為.
22. 已知函數(shù)
(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，的值；
(2)已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)定義：閉區(qū)間的長度為，若對于任意長度為1的閉區(qū)間D，存在，求正數(shù)a的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)4
【解析】
【分析】(1)根據(jù)三個(gè)二次之間的關(guān)系列式求解；(2)令，根據(jù)恒成立問題結(jié)合參變分離運(yùn)算求解；(3)由二次函數(shù)的對稱性分和兩種情況，根據(jù)題意分析運(yùn)算.
【小問1詳解】
∵不等式的解集為，則方程的根為，且，
∴，解得，
故.
【小問2詳解】
令，
若，即，
則，
∵的開口向上，對稱軸為，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，
∴，即，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
【小問3詳解】
的開口向上，對稱軸為，
∵，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性不妨設(shè)，則有：
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則可得，
即，解得；
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則可得，
∵，則，
∴，即；
綜上所述：，
故正數(shù)a最小值為4.

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