2022-2023學(xué)年度上學(xué)期武漢市重點(diǎn)中學(xué)4G+聯(lián)合體期末考試高一數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：育才高中  命題教師：胡四清  審題教師：劉勇考試時間：2023年1月3日  試卷滿分：150分★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、單選題1. 已知集合，集合，則(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先化簡集合A、B，進(jìn)而利用交集定義求得.【詳解】，，則.故選：C2. 命題：，，則命題的否定是(    )A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定可直接得到結(jié)果.【詳解】由特稱命題的否定知：命題的否定為，.故選：C.3. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求抽象函數(shù)的定義域，只需要牢記對應(yīng)法則括號中的式子取值范圍相同即可.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，有意義，所以，故當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有意義，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，由函數(shù)有意義可得，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故選：D.4. 設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】將整理為，令，由奇偶性定義可證得為奇函數(shù)，則，由此可求得的值.【詳解】，可令，則，為定義在上的奇函數(shù)，，則，.故選：D.5. 已知函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式可以確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】不妨設(shè)，由，因此該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，于是有，故選：B6. 已知，，，則的大小關(guān)系為(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】分別將與進(jìn)行比較，然后可判斷.【詳解】，，，所以得.故選：A.7. 已知，，且，則的最小值為(    )A.  B.  C. 9 D. 7【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，化簡后利用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，且，所以當(dāng)，時等號成立，所以最小值為，故選：A.8. 已知單調(diào)函數(shù)f(x)滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先利用題給條件求得函數(shù)的解析式，再利用零點(diǎn)存在定理即可求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】設(shè)，則，則，又是定義在上的單調(diào)函數(shù)，則，解之得，則則，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：D二、多選題9. 設(shè)，，則下列不等式一定成立的是(    )A.  B. C.  D. 【答案】AB【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)，的單調(diào)性及特殊值法，即可判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】A：由不等式性質(zhì)：不等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，不等式符號不變，即，正確；B：因?yàn)?/span>在定義域內(nèi)為增函數(shù)，由題意知，故有，正確；C：當(dāng)時，，故錯誤；D：當(dāng)時，，故錯誤；故選：AB.10. 下列說法正確的是(    )A. 是第三象限角B. 若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為C. 若角的終邊過點(diǎn)，則D. 若角為銳角，則為鈍角．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)象限角定義、扇形弧長和面積公式、任意角三角函數(shù)的定義和銳角、鈍角的定義依次判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，終邊位于第三象限，為第三象限角，A正確；對于B，設(shè)扇形的半徑為，則，解得：，扇形面積，B正確；對于C，終邊過點(diǎn)，，C正確；對于D，當(dāng)時，，此時是銳角，D錯誤.故選：ABC.11. 已知函數(shù)，下列說法正確的有(    )A. 當(dāng)時，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>RB. 當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)?/span>RC. 函數(shù)有最小值的充要條件為：D. 若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】求得當(dāng)時函數(shù)的定義域判斷選項(xiàng)A；求得當(dāng)時函數(shù)的值域判斷選項(xiàng)B；求得函數(shù)有最小值的充要條件判斷選項(xiàng)C；求得實(shí)數(shù)的取值范圍判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時，函數(shù)，的定義域?yàn)?/span>R.判斷正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時，函數(shù)，,故函數(shù)的值域?yàn)?/span>.判斷錯誤；選項(xiàng)C：若函數(shù)有最小值，則有最小正值，則，即.又當(dāng)時，有最小正值，則函數(shù)有最小值.則函數(shù)有最小值的充要條件為：.判斷正確；選項(xiàng)D：若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解之得.則實(shí)數(shù)的取值范圍是.判斷正確.故選：ACD12. 若函數(shù)在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱具有奇偶性.以下函數(shù)中，具有奇偶性的函數(shù)是(    )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A，因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以很容易識別；選項(xiàng)B、C，先看看函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后再求解與的關(guān)系，選項(xiàng)D，可以根據(jù)圖像來識別.【詳解】選項(xiàng)A，令，則，解得.所以函數(shù)的定義域是，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故不具有奇偶性；選項(xiàng)B，為使函數(shù)的分子有意義，，于是恒成立，故，因?yàn)?/span>，故是奇函數(shù)；選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域是，，，故為奇函數(shù)；選項(xiàng)D，畫出的圖象，如圖，圖象關(guān)于y軸對稱，故為偶函數(shù).故選：BCD．三、填空題13. 已知函數(shù)，則________．【答案】11【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先計(jì)算，然后計(jì)算即可.詳解】由題可知：所以，則故答案為：1114. 已知，則______．【答案】##.【解析】【分析】由題意求出，將要求的式子化簡為，求解即可.【詳解】分子分母同除得，，解得：，所以.故答案為：15. 已知函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)為，即對于任意的點(diǎn)在上，則點(diǎn)在上，列出方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)在函數(shù)上，則則點(diǎn)在函數(shù)上，即所以，化簡可得即，解得故答案為: 16. 已知函數(shù)，若，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值是______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)不等式的形式構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性、存在性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，因?yàn)?/span>，所以，因此有，所以有，因此此時函數(shù)單調(diào)遞減，而，函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，，因?yàn)?/span>，所以由，，令當(dāng)時， 單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增， 因?yàn)?/span>，,∴在上的最大值為，要想，使得不等式成立，只需 ，則實(shí)數(shù)的最大值是故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.四、解答題17. (1)已知，且為第二象限角，求，的值；(2)化簡求值：【答案】(1)，；(2)2．【解析】【分析】(1)利用同角三角函數(shù)的關(guān)系即可求得，的值；(2)利用指對數(shù)運(yùn)算規(guī)則即可求得該代數(shù)式值.【詳解】(1)由，且為第二象限角，可得，；(2)18. 已知，．(1)若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；    (2)【解析】【分析】(1)先化簡條件，再利用是的充分條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)按實(shí)數(shù)分類討論，利用是的必要條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由，可得，則又，且是的充分條件，可得，解之得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】由(1)得，當(dāng)時， ，，此時，是的必要條件，符合要求；當(dāng)時，由是的必要條件，可得，解之得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19. 2022年某企業(yè)整合資金投入研發(fā)高科技產(chǎn)品，并面向全球發(fā)布了首批17項(xiàng)科技創(chuàng)新重大技術(shù)需求榜單，吸引清華大學(xué)、北京大學(xué)等60余家高校院所參與，實(shí)現(xiàn)企業(yè)創(chuàng)新需求與國內(nèi)知名科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)的精準(zhǔn)對接，最終該公司產(chǎn)品研發(fā)部決定將某項(xiàng)高新技術(shù)應(yīng)用到某高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)中，計(jì)劃該技術(shù)全年需投入固定成本6200萬元，每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元，且，假設(shè)該產(chǎn)品對外銷售單價定為每件0.9萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完．(1)求出全年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量千件的函數(shù)關(guān)系式；(2)試求該企業(yè)全年產(chǎn)量為多少千件時，所獲利潤最大，并求出最大利潤．【答案】(1)；    (2)該企業(yè)全年產(chǎn)量為90千件時，所獲利潤最大為15600萬元【解析】【分析】(1)利用分段函數(shù)即可求得全年的利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量千件的函數(shù)關(guān)系式；(2)利用二次函數(shù)求值域和均值定理求值域即可求得該企業(yè)全年產(chǎn)量為90千件時，所獲利潤最大為15600萬元.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．【小問2詳解】若，則，當(dāng)時，；若，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時．因?yàn)?/span>，所以該企業(yè)全年產(chǎn)量為90千件時，所獲利潤最大為15600萬元．20. 已知函數(shù)(，為常數(shù)，且)，滿足，方程有唯一解．(1)求函數(shù)的解析式(2)如果不是奇偶函數(shù)，證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．【答案】(1)或或；    (2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)，的正負(fù)性，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；(2)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可.【小問1詳解】由，得到，①，，則，由得，即；②若，，則，由得，即；③，，由得，由得，又由得，即．∴函數(shù)的解析式為或或；【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)是偶函數(shù)，若不是奇、偶函數(shù)，由(1)知任取，，且，即，∴在區(qū)間是增函數(shù)．21. 我們知道，函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，(1)求函數(shù)的對稱中心；(2)已知，，若對任意的，總存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)    (2)【解析】【分析】(1)求出，判斷為奇函數(shù)，即可證明；(2)若對任意的，總存在，使成立，只需函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)的值域的子集．分別求出和的值域，即可得出答案.【小問1詳解】因?yàn)?/span>，而為奇函數(shù)，所以的圖象是關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.【小問2詳解】若對任意的，總存在，使成立，只需函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)的值域的子集．∵函數(shù),易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，求出函數(shù)的值域?yàn)?/span>，下討論的值域．①當(dāng)時，為常數(shù)，不符合題意舍去；②當(dāng)時，的值域?yàn)?/span>，只需，解得；③當(dāng)時，的值域?yàn)?/span>，不符合題意舍去，綜上，取值范圍為.22. 已知是函數(shù)的零點(diǎn)，．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若方程有三個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)    (2)【解析】【分析】(1)依據(jù)題給條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)的值；(2)先將題給方程化簡整理，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程有二根，再利用指數(shù)函數(shù)列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】∵是函數(shù)的零點(diǎn)∴，解之得；【小問2詳解】由(1)得，則，則方程可化為，∵，∴兩邊同乘得：，則此方程有三個不同的實(shí)數(shù)解.令則，則，解之得或，當(dāng)時，，得；當(dāng)時，，則此方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，則，解之得．則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
 
 

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