2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市渾南區(qū)東北育才學(xué)校高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，據(jù)此可知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為： .本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首先要把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離， 等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離．牢記它對(duì)解題非常有益．2．“”是“直線與直線垂直”的（　　）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用直線一般式的垂直公式列方程求出，再根據(jù)充分性和必要性的概念得答案.【詳解】若直線與直線垂直，則，解得或，又時(shí)，直線不存在，所以，故“”是“直線與直線垂直”的充要條件，故選：C.3．展開(kāi)式中，的系數(shù)為（　?。?/span>A． B．320 C． D．240【答案】A【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以通項(xiàng)公式為：，令，所以，設(shè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，因此項(xiàng)的系數(shù)為：，故選：A.4．已知圓上至多有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（　?。?/span>A．（5，7] B．（5，7） C．（5，9] D．（5，9）【答案】D【分析】由圓的方程求出圓心和半徑，求出圓心到直線的距離，由題意可得，解不等式即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，則即，所以圓心為，半徑，圓心到直線的距離，因?yàn)閳A上至多有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，所以，即，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：.5．如圖，是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P∈平面BDE，且滿(mǎn)足，則P到AB的距離為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用平面的法向量求出點(diǎn)，再計(jì)算點(diǎn)到直線的距離.【詳解】如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系， ,則，則,，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，則，且面，則，即，得，故，所以，，，則，P到AB的距離為.故選：C6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與兩條漸近線分別交于點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），滿(mǎn)足，且，則C的離心率為（　?。?/span>A．2 B．6 C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)已知條件分別求出兩點(diǎn)坐標(biāo),再應(yīng)用在漸近線上,計(jì)算即可【詳解】由雙曲線可得漸近線方程為，，因?yàn)?/span>,所以在以為直徑的圓上,且（點(diǎn)A在第一象限）在漸近線上,聯(lián)立,解得,可得,,設(shè)又因?yàn)?/span>,,所以，解得,又因?yàn)?/span>在漸近線上,所以,即得,則離心率故選:.7．定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù)”，比如“1006，2023”，則所有“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)為（　?。?/span>A．20 B．56 C．84 D．120【答案】C【分析】根據(jù)定義分類(lèi)討論首位數(shù)字,再應(yīng)用計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楦魑粩?shù)字之和為7的四位數(shù)叫幸運(yùn)數(shù),所以按首位數(shù)字分別計(jì)算當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);當(dāng)首位數(shù)字為,則剩余三位數(shù)分別是,共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);則共有個(gè)幸運(yùn)數(shù);故選:.8．空間四邊形邊長(zhǎng)為，對(duì)角線的長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知，，進(jìn)而根據(jù)向量夾角求解即可.【詳解】解：因?yàn)榭臻g四邊形邊長(zhǎng)為，對(duì)角線的長(zhǎng)為，所以，，所以，，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，，所以因?yàn)?/span>，即，，即，所以，，所以，異面直線與所成角的余弦值為故選：Ｃ 二、多選題9．在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（　?。?/span>A．第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為20 B．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64C．有理項(xiàng)共有4項(xiàng) D．常數(shù)項(xiàng)為第五項(xiàng)【答案】BCD【分析】先寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,再逐個(gè)判斷選項(xiàng)即可.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式為,對(duì)于:第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,故錯(cuò)誤;對(duì)于:所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,故正確;對(duì)于:展開(kāi)式中當(dāng)時(shí),共有4項(xiàng)有理項(xiàng),故正確;對(duì)于:當(dāng)展開(kāi)式通項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)時(shí), ,令,則,則常數(shù)項(xiàng)為第五項(xiàng),故正確.故選: 10．一個(gè)平面斜截一個(gè)足夠高的圓柱，與圓柱側(cè)面相交的圖形為橢圓E.若圓柱底面圓半徑為r，平面與圓柱的軸所成角大小為，則下列對(duì)橢圓E的描述中，正確的是（　?。?/span>A．短軸長(zhǎng)為2r B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．焦距為2rtanθ D．離心率為cosθ【答案】AD【分析】由題設(shè)可得短軸長(zhǎng)，平面與圓柱的軸所成角大小為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，進(jìn)而求出焦距、離心率即可.【詳解】由題意，橢圓短軸長(zhǎng)，平面與圓柱的軸所成角大小為,而長(zhǎng)軸長(zhǎng)隨變大而變短且，所以，焦距為，故， 綜上，、正確，、錯(cuò)誤.故選：.11．已知?jiǎng)訄AC：，P為直線l：上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則（　?。?/span>A．圓C恒過(guò)定點(diǎn)；B．圓C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的區(qū)域的面積為8π；C．四邊形PACB的面積的取值范圍為D．當(dāng)時(shí)，的正弦值的取值范圍為【答案】ABD【分析】分析可得動(dòng)圓的圓心，半徑，C在以圓心，半徑的圓上.對(duì)A，由可判斷；對(duì)B，圓C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的區(qū)域的面積相當(dāng)于以圓心，半徑為的圓的面積；對(duì)C，四邊形PACB的面積，分析的范圍即可求；對(duì)D，由倍角公式及幾何關(guān)系可得，分析的范圍結(jié)合換元法即可求.【詳解】動(dòng)圓的圓心，半徑，令，則由得C在以圓心，半徑的圓上.對(duì)A，由得圓C恒過(guò)定點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)B，圓C在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的區(qū)域的面積相當(dāng)于以圓心，半徑為的圓的面積，即，B對(duì)；對(duì)C，過(guò)點(diǎn)P做圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B ，則，則四邊形PACB的面積，當(dāng)時(shí)，最短，故，故，C錯(cuò)；對(duì)D，，∵，由C得，，令，則，則，∵在上單調(diào)遞增，故，D對(duì).故選：ABD12．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（　　）A．∠AOB一定為鈍角B．若，則直線AB的斜率為C．若點(diǎn)M在x軸上點(diǎn)F右側(cè)，，，則D．的最小值為【答案】AD【分析】設(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法確定點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，計(jì)算的夾角，判斷A；結(jié)合拋物線的定義求直線的斜率判斷B；結(jié)合設(shè)而不求法證明為直角，由此列方程求點(diǎn)的坐標(biāo)；結(jié)合拋物線定義表示，利用基本不等式求其最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，與已知矛盾，故可設(shè)直線的方程為，對(duì)于選項(xiàng)A， 聯(lián)立，消，得，方程的判別式，設(shè)，，則，，所以，所以，即∠AOB一定為鈍角，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?/span>，所以，又，，則，又，故，所以，所以直線直線AB的斜率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以四點(diǎn)共圓，故，所以，所以，故，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由，可得，，所以當(dāng)，時(shí)，取最小值，最小值為，D正確；故選：AD.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式． 三、填空題13．已知，則___________.【答案】或【分析】由組合數(shù)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)可得，故或.故答案為：或.14．已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________.【答案】【分析】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得公切線方程.【詳解】圓，即，圓心為，半徑.圓，即，圓心為，半徑.圓心角，所以?xún)蓤A外切，由解得，所以?xún)蓤A切點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以公切線的斜率為，所以公切線的方程為，即故答案為：15．把6本不同的書(shū)分給甲乙丙丁4個(gè)人，每人至少得一本，則不同的分配方法___________.【答案】【分析】分兩種情況：一人3本，三人1本和兩人2本，兩人1本，先分成4堆，然后再分給甲乙丙丁4個(gè)人.【詳解】若有一人3本，三人1本，有種分配方法；若有兩人2本，兩人1本，有種分配方法；則共有種分配方法.故答案為：16．設(shè)點(diǎn)P（，），Q（，）.定義P，Q兩點(diǎn)的“直角距離”為已知點(diǎn)A和點(diǎn)B分別為直線與橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則d（A，B）的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)新定義，利用參數(shù)法，表示出橢圓上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“直角距離”，然后分類(lèi)討論求出最小值．【詳解】設(shè)直線上的任意一點(diǎn)坐標(biāo)，橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意可知分類(lèi)討論：①， ②③，∴橢圓上一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的“直角距離”的最小值為．故答案為： 四、解答題17．已知中，點(diǎn)，邊上中線所在直線的方程為，邊上的高線所在直線的方程為.(1)求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)：(2)以為圓心作一個(gè)圓，使得、、三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)在圓外，求這個(gè)圓的方程.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）求出直線的方程，聯(lián)立直線和直線的方程可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在直線上以及線段的中點(diǎn)在上可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）計(jì)算出、、，比較大小后可得出圓的半徑，即可得出圓的方程.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>邊上的高線所在直線的方程為，且直線的斜率為，則，故直線的方程為，即，聯(lián)立直線和直線的方程可得，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，由題意可得，解得，即點(diǎn).（2）解：因?yàn)?/span>，，，則，故圓的半徑為，所以，圓的方程為.18．如圖，正方形與梯形ABEF所在平面互相垂直，已知.(1)求證：平面(2)求平面ACE與平面ADF所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】(1)應(yīng)用線面平行判定定理證明即可.(2)空間向量法求面面角余弦值.【詳解】（1）取中點(diǎn),連接,因?yàn)?/span>,所以四邊形是平行四邊形,又因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形,所以,所以四邊形是平行四邊形,可得平面,平面,所以平面（2）因?yàn)槠矫?/span>ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面，AD平面ABCD，所以AD⊥平面ABEF，又，以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則A（0，0，0），E（3，2，0），C（3，0，3）取平面ADF的一個(gè)法向量設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量，則，即，令，則則所以平面ACE與平面ADF所成的銳二面角的余弦值.19．設(shè)直線，點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求AB的中點(diǎn)T的軌跡方程C：(2)是否存在直線滿(mǎn)足直線l與（1）中的曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)曲線C的右焦點(diǎn)？若存在，求出k，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，或 【分析】(1)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程即可;(2)聯(lián)立方程后用向量法轉(zhuǎn)化直徑問(wèn)題,代入根與系數(shù)關(guān)系式求解即可.【詳解】（1）設(shè)A（，），B（，），T（）由得，得因?yàn)?/span> ，得所以化簡(jiǎn)得.（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程化簡(jiǎn)得由且得且設(shè)M（x1，），N（，），則曲線C的右焦點(diǎn),由已知以MN為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)可得化簡(jiǎn)得，解得或，均符合且所以存在，或.20．如圖，在平面ABCD中，△ABD為正三角形，△BCD為直角三角形，且，以BD為折痕把△ABD和△CBD向上折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)F的位置，且滿(mǎn)足平面EBD⊥平面FBD．(1)求證：；(2)若，求直線DF與平面ABE所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；（2）建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）取BD中點(diǎn)H，連接EH， FH，因?yàn)?/span>，則，故，因?yàn)?/span>，EH，FH平面EFH，所以BD⊥平面EFH，因?yàn)?/span>EF平面EFH，所以；（2）因?yàn)?/span>△BCD為直角三角形，且， 所以，又因?yàn)?/span>△EBD為等邊三角形，所以，△AEH為等邊三角形，取點(diǎn)O為AH中點(diǎn)，則，∵，則，又，平面，∴平面，即四點(diǎn)共面，又∵平面，所以，又，平面，所以EO⊥平面ABD，過(guò)點(diǎn)O作交AD于點(diǎn)M，則，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，OE所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面ABE的法向量為，則,令，則，得∵，所以直線DF與平面ABE所成角的正弦值為.21．已知橢圓的短軸頂點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)是4，離心率是，直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，其中.(1)求橢圓C的方程；(2)若（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k：(3)證明：是定值.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由短軸長(zhǎng)及離心率求得參數(shù)a、b即可；（2）由分析得，即，聯(lián)立直線方程與橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理可解得k；（3）直接由斜率公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）短軸長(zhǎng)，離心率是，∴橢圓C的方程為.（2）直線l交y軸于，因?yàn)?/span>，則，所以，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得，由得或，由韋達(dá)定理得，把代入上式得①，②，得，解得，符合或，所以.（3）證明：由韋達(dá)定理得22．已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上，直線在點(diǎn)下方，直線l與拋物線交于B，兩點(diǎn).(1)證明：內(nèi)切圓的圓心在定直線上：(2)求面積的最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】(1)由的對(duì)稱(chēng)性,內(nèi)切圓圓心在定直線上可證;(2)先寫(xiě)出三角形面積再應(yīng)用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程得則得.設(shè)B（，），C（，），則由韋達(dá)定理得，則則的角平分線為，則△ABC內(nèi)切圓的圓心在定直線上..（2）點(diǎn)A到直線BC的距離為，則當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立面積的最大值為. 

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