基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
學(xué)以致用·隨堂檢測全達(dá)標(biāo)
一、描述簡諧運(yùn)動(dòng)的物理量1.振幅振動(dòng)物體離開平衡位置的　　　　距離叫作振動(dòng)的振幅。振動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)的范圍是振幅的　　　　。?
2.周期(T)和頻率(f)
注意:不管以哪個(gè)位置作為研究起點(diǎn),做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體完成一次全振動(dòng)的時(shí)間總是相同的。
3.相位(1)概念:簡諧運(yùn)動(dòng)位移x的一般函數(shù)表達(dá)式可寫為x=Asin(ωt+φ)。 x與t之間的函數(shù)關(guān)系物理學(xué)中把 　　　　叫作相位。?(2)意義:描述做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體在各個(gè)時(shí)刻所處的不同狀態(tài)。(3)初相位(或初相):t=　　　　時(shí)的相位,即表達(dá)式中的φ。?
二、簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式簡諧運(yùn)動(dòng)中的位移(x)與時(shí)間(t)關(guān)系的表達(dá)式為x=　　　　　　　　,其中x表示質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻相對(duì)于平衡位置的位移。A代表簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅,T表示簡諧運(yùn)動(dòng)的周期,φ0表示初相位。?
情境鏈接如圖所示,用兩根勁度系數(shù)不同的彈簧和兩個(gè)相同的小鋼球制成彈簧振子,將小鋼球同時(shí)向下拉伸不同的距離釋放后,兩個(gè)小鋼球運(yùn)動(dòng)情況有何不同?如何描述簡諧運(yùn)動(dòng)的這種特性呢?
提示 兩個(gè)小鋼球的運(yùn)動(dòng)范圍、振動(dòng)快慢等不同;可以通過振幅、周期來描述。
教材拓展教材P37“做一做——測量小球振動(dòng)的周期”中,以小球到達(dá)哪個(gè)位置為開始計(jì)時(shí)的位置較好?實(shí)驗(yàn)中為什么采取“測量多次全振動(dòng)的時(shí)間求周期”的做法?
提示 以小球到達(dá)平衡位置為開始計(jì)時(shí)的位置較好,因?yàn)槠胶馕恢貌蛔?小球到達(dá)最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的位置變化。小球的振動(dòng)周期較小,測量1次的偶然誤差較大,測量多次求周期可以減小偶然誤差。
易錯(cuò)辨析(1)周期與頻率僅僅是簡諧運(yùn)動(dòng)特有的概念。(　　)(2)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)范圍與它的振幅是相同的。(　　)(3)如果兩個(gè)振動(dòng)存在相位差,則說明它們的振動(dòng)步調(diào)是不一致的。(　　)(4)振動(dòng)物體的周期越小,表示振動(dòng)得越快,物體運(yùn)動(dòng)得越快。(　　)(5)簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式x=Asin(ωt+φ)中,(ωt+φ)表示相位,相位每增加π,意味著物體完成了一次全振動(dòng)。(　　)
描述任何周期性過程都可以用這兩個(gè)概念。
彈簧振子的運(yùn)動(dòng)范圍是振幅的兩倍。
周期是完成1次全振動(dòng)的時(shí)間,它是從整體上反映振動(dòng)的快慢,周期越小,振動(dòng)越快;但物體的運(yùn)動(dòng)快慢是由瞬時(shí)速度決定的,與周期無直接的關(guān)系。
相位每增加2π,物體完成1次全振動(dòng)。
探究點(diǎn)一　描述簡諧運(yùn)動(dòng)的物理量及其關(guān)系的理解
將彈簧上端固定,下端懸吊鋼球,旁邊立一把刻度尺,把鋼球從平衡位置向下拉一段距離A,放手讓其運(yùn)動(dòng)。仔細(xì)觀察鋼球的運(yùn)動(dòng)。(1)鋼球的位移怎么變化?(2)鋼球偏離平衡位置的最大距離改變嗎?
要點(diǎn)提示 (1)鋼球相對(duì)于平衡位置的位移隨時(shí)間時(shí)大時(shí)小,呈周期性變化。(2)不變。
1.對(duì)全振動(dòng)的理解(1)振動(dòng)過程:如圖所示,從O點(diǎn)開始,一次全振動(dòng)的完整過程為O→A→O→A'→O;從A點(diǎn)開始,一次全振動(dòng)的完整過程為A→O→A'→O→A。(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同。(3)時(shí)間特征:歷時(shí)一個(gè)周期。(4)路程特征:振幅的4倍。
2.簡諧運(yùn)動(dòng)中振幅和幾個(gè)物理量的關(guān)系(1)振幅與位移的關(guān)系①在同一簡諧運(yùn)動(dòng)中振幅是不變的,而位移卻時(shí)刻變化。②振幅是標(biāo)量,位移是矢量,其方向是由平衡位置指向振動(dòng)物體所在位置。③振幅在數(shù)值上等于位移的最大值。(2)振幅與路程的關(guān)系①振動(dòng)物體在一個(gè)周期內(nèi)的路程一定為四個(gè)振幅。②在半個(gè)周期內(nèi)的路程一定為兩個(gè)振幅。③振動(dòng)物體在 T內(nèi)的路程可能等于一個(gè)振幅,可能大于一個(gè)振幅,還可能小于一個(gè)振幅。④只有當(dāng) T的初始時(shí)刻振動(dòng)物體在平衡位置或最大位移處, T內(nèi)的路程才等于一個(gè)振幅。
3.振幅與周期的關(guān)系在簡諧運(yùn)動(dòng)中,一個(gè)確定的振動(dòng)系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的,與振幅無關(guān),振幅越大,振動(dòng)過程中的最大位移越大,但周期為定值。特別提示　振幅大,振動(dòng)物體的位移不一定大,但其最大位移一定大。
【例1】 一個(gè)做簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),它的振幅是4 cm,頻率是2.5 Hz,該質(zhì)點(diǎn)從平衡位置開始經(jīng)過2.5 s后,位移的大小和經(jīng)過的路程為(　　)A.4 cm,10 cmB.4 cm,100 cmC.0,24 cmD.0,100 cm
方法技巧　計(jì)算位移時(shí)一定注意,不管從哪個(gè)地方開始振動(dòng),位移為0的位置是平衡位置;路程是運(yùn)動(dòng)軌跡的長度,隨著時(shí)間的增加,路程在不斷增大。
對(duì)點(diǎn)演練1.(多選)(2023海南嘉積中學(xué)高二期中)如圖所示,一個(gè)輕質(zhì)彈簧下端掛一質(zhì)量為m的小球,小球靜止時(shí),輕質(zhì)彈簧的伸長量為x1,現(xiàn)將小球向下拉動(dòng)x2后由靜止釋放,并開始計(jì)時(shí),小球在豎直方向做簡諧運(yùn)動(dòng),周期為T,重力加速度大小為g。下列說法正確的是(　　)A.輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為B.釋放瞬間,小球的加速度大小為C.小球運(yùn)動(dòng)的振幅為x2-x1D. 時(shí)間內(nèi),小球通過的路程為2x2
探究點(diǎn)二　對(duì)簡諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式的理解
有兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng): ,它們的振幅之比是多少?頻率各是多少?
要點(diǎn)提示 它們的振幅分別為3a和9a,振幅之比為1∶3;頻率分別為2b和4b。
做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體位移x隨時(shí)間t變化的表達(dá)式為x=Asin(ωt+φ)。1.式中x表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)平衡位置的位移;t表示振動(dòng)的時(shí)間。2.式中(ωt+φ)表示相位,描述做周期性運(yùn)動(dòng)的物體在各個(gè)不同時(shí)刻所處的不同狀態(tài),是描述不同振動(dòng)的振動(dòng)步調(diào)的物理量。它是一個(gè)隨時(shí)間變化的量,相當(dāng)于一個(gè)角度,相位每增加2π,意味著物體完成了一次全振動(dòng)。3.式中φ表示t=0時(shí)簡諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所處的狀態(tài),稱為初相位或初相。
4.相位差:即某一時(shí)刻兩個(gè)振動(dòng)的相位之差。(1)兩個(gè)具有相同ω的簡諧運(yùn)動(dòng),設(shè)其初相位分別為φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。(2)①當(dāng)Δφ=0時(shí),兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)步調(diào)一致,稱為同相;②當(dāng)Δφ=π時(shí),兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)步調(diào)完全相反,稱為反相;③當(dāng)Δφ=φ2-φ1>0但Δφ≠π時(shí),質(zhì)點(diǎn)2相位比質(zhì)點(diǎn)1超前Δφ,或質(zhì)點(diǎn)1的相位比質(zhì)點(diǎn)2落后Δφ。
A.振幅是矢量,A的振幅是6 m,B的振幅是10 mB.周期是標(biāo)量,A、B周期相等,都為100 sC.A振動(dòng)的頻率fA等于B振動(dòng)的頻率fBD.A的相位始終超前B的相位
方法技巧　簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式(1)簡諧運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的關(guān)系也可用余弦函數(shù)表示成 ,同一振動(dòng)用不同函數(shù)表示時(shí)相位不同,而且相位是隨時(shí)間變化的一個(gè)變量。(2)比較相位或計(jì)算相位差時(shí),要用同種函數(shù)來表示振動(dòng)方程,否則就會(huì)出錯(cuò)。
對(duì)點(diǎn)演練2.一質(zhì)點(diǎn)沿水平方向的振動(dòng)方程為x=10sin(5πt+π)cm,取水平向右為位移的正方向,則在t=0.25 s時(shí),下列說法正確的是(　　)A.質(zhì)點(diǎn)在平衡位置的右方,水平向左運(yùn)動(dòng)B.質(zhì)點(diǎn)在平衡位置的右方,水平向右運(yùn)動(dòng)C.質(zhì)點(diǎn)在平衡位置的左方,水平向右運(yùn)動(dòng)D.質(zhì)點(diǎn)在平衡位置的左方,水平向左運(yùn)動(dòng)
探究點(diǎn)三　簡諧運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱性
如圖所示,彈簧振子在A、B間以O(shè)為平衡位置做簡諧運(yùn)動(dòng),周期為T,C、D兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱。(1)物體經(jīng)過C、D兩點(diǎn)時(shí)的位移有什么特點(diǎn)?(2)物體經(jīng)過C、D兩點(diǎn)時(shí)的速度、加速度有什么特點(diǎn)?(3)物體經(jīng)C點(diǎn)開始,再過T、2T時(shí)間,物體的位置、速度有何變化?
要點(diǎn)提示 (1)C、D兩點(diǎn)的位移大小相等、方向相反。(2)經(jīng)過C、D兩點(diǎn)時(shí)速度大小相等,加速度大小相等、方向相反。(3)回到C點(diǎn),速度不變。
1.對(duì)稱性(1)瞬時(shí)量的對(duì)稱性:各物理量關(guān)于平衡位置對(duì)稱。以水平彈簧振子為例,物體通過關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn),位移、速度、加速度、動(dòng)量大小相等,動(dòng)能、勢(shì)能、機(jī)械能相等。(2)過程量的對(duì)稱性:①振動(dòng)物體來回通過相同的兩點(diǎn)間的時(shí)間相等,如tBC=tCB;②物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對(duì)稱的等長的兩線段的時(shí)間相等,如tBC=tB'C',如圖所示。
2.周期性(1)若t2-t1=nT,則t1、t2兩時(shí)刻振動(dòng)物體在同一位置,運(yùn)動(dòng)情況相同。(2)若t2-t1=nT+ T,則t1、t2兩時(shí)刻,描述運(yùn)動(dòng)的物理量(x,F,a,v)均大小相等,方向相反。(3)若t2-t1=nT+ T或t2-t1=nT+ T,則當(dāng)t1時(shí)刻物體到達(dá)最大位移處時(shí),t2時(shí)刻物體到達(dá)平衡位置;當(dāng)t1時(shí)刻物體在平衡位置時(shí),t2時(shí)刻物體到達(dá)最大位移處;若t1時(shí)刻物體在其他位置,t2時(shí)刻物體到達(dá)何處就要視具體情況而定。
【例3】 如圖所示,一個(gè)做簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),先后以同樣的速度通過相距10 cm的A、B兩點(diǎn),歷時(shí)0.5 s,過B點(diǎn)后再經(jīng)過t=0.5 s,質(zhì)點(diǎn)以大小相等、方向相反的速度再次通過B點(diǎn),O為AB的中點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)從離開O點(diǎn)到再次回到O點(diǎn)歷時(shí)(　　)A.0.5 sB.1.0 sC.2.0 sD.4.0 s
解析 根據(jù)題意,由振動(dòng)的對(duì)稱性可知,AB的中點(diǎn)(O點(diǎn))為平衡位置,A、B兩點(diǎn)對(duì)稱分布在O點(diǎn)兩側(cè)。質(zhì)點(diǎn)從平衡位置O點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的時(shí)間tOB= ×0.5 s=0.25 s。質(zhì)點(diǎn)從B點(diǎn)向右到達(dá)右方極端位置(D點(diǎn))的時(shí)間tBD= ×0.5 s=0.25 s。所以質(zhì)點(diǎn)從離開O點(diǎn)到再次回到O點(diǎn)的時(shí)間t=2tOD=2×(0.25+0.25) s=1.0 s,B正確。
對(duì)點(diǎn)演練3.(2023湖北鄂州高二階段訓(xùn)練)一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng),先后以相同的速度依次通過A、B兩點(diǎn),歷時(shí)1 s;質(zhì)點(diǎn)通過B點(diǎn)后再經(jīng)過1 s又第二次通過B點(diǎn)。在這2 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)通過的總路程為12 cm,則質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期和振幅分別是(　　)A.3 s,6 cmB.4 s,6 cmC.4 s,9 cmD.2 s,8 cm
解析 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程如圖所示,由對(duì)稱性可知,周期T=2 s×2=4 s,質(zhì)點(diǎn)半個(gè)周期內(nèi)通過的路程為12 cm,則振幅A= =6 cm,B正確。
1.(簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像)如圖所示,一個(gè)彈簧振子沿x軸做簡諧運(yùn)動(dòng),其平衡位置在x軸坐標(biāo)原點(diǎn)O處。從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí),經(jīng)過四分之一周期,物體具有沿x軸正方向的最大速度,圖中能正確反映該彈簧振子的位移x與時(shí)間t關(guān)系的圖像是(　　)
解析 物體具有沿x軸正方向的最大速度,一定運(yùn)動(dòng)到平衡位置,向x軸正方向運(yùn)動(dòng),因此在0時(shí)刻,該物體一定位于負(fù)的最大位移處,故選B。
2.(簡諧運(yùn)動(dòng)的圖像、表達(dá)式)(2023江蘇南通學(xué)情檢測)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以O(shè)點(diǎn)為平衡位置,在A、B間做簡諧運(yùn)動(dòng),如圖甲所示,它的振動(dòng)圖像如圖乙所示,設(shè)向右為正方向,下列說法正確的是(　　)A.該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x=0.05sin 2.5πt mB.0.2 s末質(zhì)點(diǎn)的速度方向向右C.0.2~0.3 s質(zhì)點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)D.0.7 s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置在O與B之間
解析 由題圖乙得質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅為0.05 m,周期T=0.8 s,故=2.5π rad/s,該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x=0.05sin(2.5πt+φ) m,且當(dāng)t=0時(shí),x=0.05 m,代入可得φ= ,該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x=0.05sin m,故A錯(cuò)誤;根據(jù)振動(dòng)圖像得0.2 s末質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過平衡位置向負(fù)的最大位移處振動(dòng),所以此時(shí)速度方向從O指向A,方向向左,故B錯(cuò)誤;0.2~0.3 s質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向負(fù)的最大位移處振動(dòng),質(zhì)點(diǎn)做減速運(yùn)動(dòng),故C錯(cuò)誤;0.7 s質(zhì)點(diǎn)在平衡位置和正的最大位移處之間,即在O與B之間,故D正確。
3.(簡諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性)(2023江蘇蘇州高二期中)彈簧振子做簡諧運(yùn)動(dòng),若從平衡位置O開始計(jì)時(shí),經(jīng)過4 s小球第一次經(jīng)過P點(diǎn),又經(jīng)過了1 s,小球第二次經(jīng)過P點(diǎn),則該簡諧運(yùn)動(dòng)的周期可能是(　　)A.5 sB.6 sC.14 sD.16 s
4.(簡諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式)一物體沿x軸做簡諧運(yùn)動(dòng),振幅為8 cm,頻率為0.5 Hz,在t=0時(shí)位移是4 cm,且向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng),試寫出用正弦函數(shù)表示的振動(dòng)方程。

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2 簡諧運(yùn)動(dòng)的描述

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