考點(diǎn)一　平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及應(yīng)用
考點(diǎn)二　與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
考點(diǎn)三　平拋運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問題
平拋運(yùn)動(dòng)1.定義：將物體以一定的初速度沿 方向拋出，物體只在 作用下的運(yùn)動(dòng).2.性質(zhì)：平拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的 曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是 .3.研究方法：化曲為直(1)水平方向： 運(yùn)動(dòng)；(2)豎直方向： 運(yùn)動(dòng).
4.基本規(guī)律如圖，以拋出點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以初速度v0方向(水平方向)為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向.
1.平拋運(yùn)動(dòng)的加速度方向與速度方向總垂直.(　　)2.相等時(shí)間內(nèi)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體速度變化量相同.(　　)3.相等時(shí)間內(nèi)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體速度大小變化相同.(　　)
1.平拋運(yùn)動(dòng)物體的速度變化量因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示.
2.兩個(gè)重要推論(1)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻(任意位置處)，有tan θ＝2tan α.(如圖所示)推導(dǎo)：
(2)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過水平位移的中點(diǎn)，如圖所示，即xB＝
例1　(多選)如圖所示，x軸在水平地面上，y軸沿豎直方向.圖中畫出了從y軸上不同位置沿x軸正方向水平拋出的三個(gè)小球a、b和c的運(yùn)動(dòng)軌跡.小球a從(0,2L)處拋出，落在(2L,0)處；小球b、c從(0，L)處拋出，分別落在(2L,0)和(L,0)處.不計(jì)空氣阻力，下列說法正確的是A.b和c運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同B.a的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是b的兩倍C.a和b加速度相同D.b的初速度是c的兩倍
由于a和b都做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向只受重力，故a和b加速度相同，C正確；b、c的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，b的水平位移是c的水平位移的兩倍，則b的初速度是c的初速度的兩倍，D正確.
例2　(2020·全國(guó)卷Ⅱ·16)如圖，在摩托車越野賽途中的水平路段前方有一個(gè)坑，該坑沿摩托車前進(jìn)方向的水平寬度為3h，其左邊緣a點(diǎn)比右邊緣b點(diǎn)高0.5h.若摩托車經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E1，它會(huì)落到坑內(nèi)c點(diǎn).c與a的水平距離和高度差均為h；若經(jīng)過a點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E2，該摩托車恰能越過坑到達(dá)b點(diǎn). 等于A.20 B.18 C.9.0 D.3.0
與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
例3　如圖所示，兩個(gè)高度相同的斜面，傾角分別為30°和60°，小球A、B分別由斜面頂端以相同大小的水平速度v0拋出，若兩球均落在斜面上，不計(jì)空氣阻力，則A、B兩球平拋運(yùn)動(dòng)過程A.飛行的時(shí)間之比為1∶3B.水平位移大小之比為1∶9C.豎直下落高度之比為1∶3D.落至斜面時(shí)速度大小之比為1∶3
考向1　與斜面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
例4　如圖所示，從傾角為θ的足夠長(zhǎng)的斜面頂端P以速度v0拋出一個(gè)小球，落在斜面上某處Q點(diǎn)，小球落在斜面上的速度與斜面的夾角為α，若把初速度變?yōu)?v0，小球仍落在斜面上，則以下說法正確的是A.夾角α將變大B.夾角α與初速度大小無關(guān)C.小球在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變D.PQ間距是原來間距的3倍
末速度與水平方向夾角的正切值tan β＝ ＝2tan θ，可知速度方向與水平方向夾角正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，因?yàn)槲灰婆c水平方向夾角不變，則末速度與水平方向夾角不變，由幾何關(guān)系可知α不變，與初速度大小無關(guān)，A錯(cuò)誤，B正確.
例5　(多選)如圖所示，傾角為30°的斜面體固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度處有一小球以水平速度v0拋出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力.下列說法正確的是
例6　如圖所示，B為豎直圓軌道的左端點(diǎn)，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為α.一小球在圓軌道左側(cè)的A點(diǎn)以速度v0平拋，恰好沿B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓軌道.已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則A、B之間的水平距離為
考向2　與圓弧面有關(guān)的平拋運(yùn)動(dòng)
例7　如圖所示，科考隊(duì)員站在半徑為10 m的半圓形隕石坑(直徑水平)邊，沿水平方向向坑中拋出一石子(視為質(zhì)點(diǎn))，石子在坑中的落點(diǎn)P與圓心O的連線與水平方向的夾角為37°，已知石子的拋出點(diǎn)在半圓形隕石坑左端的正上方，且到半圓形隕石坑左端的高度為1.2 m.取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不計(jì)空氣阻力.則石子拋出時(shí)的速度大小為A.9 m/s B.12 m/sC.15 m/s D.18 m/s
平拋運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問題
1.平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問題有兩種常見情形：(1)物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物體的速度方向恰好達(dá)到某一方向.2.解題技巧：在題中找出有關(guān)臨界問題的關(guān)鍵字，如“恰好不出界”、“剛好飛過壕溝”、“速度方向恰好與斜面平行”、“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的位移規(guī)律或速度規(guī)律進(jìn)行解題.
例8　如圖所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6 m，豎直墻的厚度d ＝0.4 m，某人在距離墻壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 處的 P點(diǎn)，將可視為質(zhì)點(diǎn)的小物件以垂直于墻壁的速度v水平拋出，要求小物件能直接穿過窗口并落在水平地面上，不計(jì)空氣阻力，g＝10 m/s2.則可以實(shí)現(xiàn)上述要求的速度大小是A.2 m/s B.4 m/sC.8 m/s D.10 m/s
考向1　平拋運(yùn)動(dòng)的臨界問題
小物件做平拋運(yùn)動(dòng)，恰好擦著窗子上沿右側(cè)墻邊緣穿過時(shí)速度v最大.
代入數(shù)據(jù)解得：vmax＝7 m/s，小物件恰好擦著窗口下沿左側(cè)墻邊緣穿過時(shí)速度v最小，
代入數(shù)據(jù)解得：vmin＝3 m/s，故v的取值范圍是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤.
例9　某科技比賽中，參賽者設(shè)計(jì)了一個(gè)軌道模型，如圖所示.模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高點(diǎn)距離水平地面2 m，右端出口水平.現(xiàn)讓小球在最高點(diǎn)由靜止釋放，忽略阻力作用，為使小球飛得最遠(yuǎn)，右端出口距離桌面的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為A.0 B.0.1 mC.0.2 m D.0.3 m
考向2　平拋運(yùn)動(dòng)的極值問題
1.定義：將物體以初速度v0 或斜向下方拋出，物體只在 作用下的運(yùn)動(dòng).2.性質(zhì)：斜拋運(yùn)動(dòng)是加速度為g的 曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是 .3.研究方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解(1)水平方向： 直線運(yùn)動(dòng)；(2)豎直方向： 直線運(yùn)動(dòng).
4.基本規(guī)律以斜拋運(yùn)動(dòng)的拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.初速度可以分解為v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ.在水平方向，物體的位移和速度分別為x＝v0xt＝(v0cs θ)t ①vx＝v0x＝v0cs θ ②在豎直方向，物體的位移和速度分別為
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt ④
(1)斜拋運(yùn)動(dòng)中的極值
物體落回與拋出點(diǎn)同一高度時(shí)，有y＝0，
當(dāng)θ＝45°時(shí)，sin 2θ最大，射程最大.所以對(duì)于給定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上拋出時(shí)，射程最大.(2)逆向思維法處理斜拋問題對(duì)斜上拋運(yùn)動(dòng)從拋出點(diǎn)到最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可逆過程分析，看成平拋運(yùn)動(dòng)，分析完整的斜上拋運(yùn)動(dòng)，還可根據(jù)對(duì)稱性求解某些問題.
例10　某同學(xué)在練習(xí)投籃時(shí)將籃球從同一位置斜向上拋出，其中有兩次籃球垂直撞在豎直放置的籃板上，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，不計(jì)空氣阻力，關(guān)于這兩次籃球從拋出到撞擊籃板的過程A.兩次在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等B.兩次拋出時(shí)的速度相等C.第1次拋出時(shí)速度的水平分量小D.第2次拋出時(shí)速度的豎直分量大
將籃球的運(yùn)動(dòng)反向處理，即為平拋運(yùn)動(dòng).由題圖可知，第2次運(yùn)動(dòng)過程中的高度較小，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間較短，故A錯(cuò)誤.平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向上是自由落體運(yùn)動(dòng)，第2次運(yùn)動(dòng)過程中的高度較小，故第2次拋出時(shí)速度的豎直分量較小，故D錯(cuò)誤.平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向是勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平射程相等，由x＝v0t可知，第2次拋出時(shí)水平分速度較大，第1次拋出時(shí)水平分速度較小，故C正確.水平分速度第2次大，豎直分速度第1次大，根據(jù)速度的合成可知，兩次拋出時(shí)的速度大小關(guān)系不能確定，故B錯(cuò)誤.
例11　(2020·山東卷·16)單板滑雪U形池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場(chǎng)地可以簡(jiǎn)化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°.某次練習(xí)過程中，運(yùn)動(dòng)員以vM＝10 m/s的速度從軌道邊緣上的M點(diǎn)沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α＝72.8°，騰空后沿軌道邊緣的N點(diǎn)進(jìn)入軌道.圖乙為騰空過程左視圖.該運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cs 72.8°＝0.30.求：(1)運(yùn)動(dòng)員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；
在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)垂直AD方向的分速度為v1，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律得v1＝vMsin 72.8° ①設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)垂直AD方向的分加速度為a1，由牛頓第二定律得mgcs 17.2°＝ma1 ②
聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)得d＝4.8 m ④
(2)M、N之間的距離L.
在M點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分速度為v2，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律得v2＝vMcs 72.8° ⑤設(shè)運(yùn)動(dòng)員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分加速度為a2，由牛頓第二定律得mgsin 17.2°＝ma2 ⑥
聯(lián)立①②⑤⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得L＝12 m ⑨
1.如圖，拋球游戲中，某人將小球水平拋向地面的小桶，結(jié)果球落在小桶的前方.不計(jì)空氣阻力，為了把小球拋進(jìn)小桶中，則原地再次水平拋球時(shí)，他可以A.增大拋出點(diǎn)高度，同時(shí)增大初速度B.減小拋出點(diǎn)高度，同時(shí)減小初速度C.保持拋出點(diǎn)高度不變，增大初速度D.保持初速度不變，增大拋出點(diǎn)高度
減小拋出點(diǎn)高度，同時(shí)減小初速度，則水平位移x減小，可能會(huì)拋進(jìn)小桶中，故B正確.
保持拋出點(diǎn)高度不變，增大初速度，則水平位移x增大，不會(huì)拋進(jìn)小桶中，故C錯(cuò)誤.保持初速度不變，增大拋出點(diǎn)高度，則水平位移x增大，不會(huì)拋進(jìn)小桶中，D錯(cuò)誤.
2.(2021·浙江1月選考·9)某一滑雪運(yùn)動(dòng)員從滑道滑出并在空中翻轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)多次曝光得到的照片如圖所示，每次曝光的時(shí)間間隔相等.若運(yùn)動(dòng)員的重心軌跡與同速度不計(jì)阻力的斜拋小球軌跡重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D處于同一水平高度.下列說法正確的是A.相鄰位置運(yùn)動(dòng)員重心的速度變化相同B.運(yùn)動(dòng)員在A、D位置時(shí)重心的速度相同C.運(yùn)動(dòng)員從A到B和從C到D的時(shí)間相同D.運(yùn)動(dòng)員重心位置的最高點(diǎn)位于B和C中間
由于運(yùn)動(dòng)員的重心軌跡與同速度不計(jì)阻力的斜拋小球軌跡重合，故可以利用斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析，根據(jù)Δv＝gΔt(其中Δt為曝光的時(shí)間間隔)知，相鄰位置運(yùn)動(dòng)員重心速度變化相同，所以A項(xiàng)正確；A、D位置速度大小相等，但方向不同，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；A到B為5個(gè)時(shí)間間隔，而C到D為6個(gè)時(shí)間間隔，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)斜拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，當(dāng)A、D處于同一水平高度時(shí)，從A點(diǎn)上升到最高點(diǎn)的時(shí)間與從最高點(diǎn)下降到D點(diǎn)的時(shí)間相等，所以C點(diǎn)為軌跡的最高點(diǎn)，D項(xiàng)錯(cuò)誤.
3.(2021·江蘇省1月適應(yīng)性考試·5)某生態(tài)公園的人造瀑布景觀如圖所示，水流從高處水平流出槽道，恰好落入步道邊的游泳池中.現(xiàn)制作一個(gè)為實(shí)際尺寸 的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度應(yīng)為實(shí)際的
4.如圖，斜面上a、b、c三點(diǎn)等距，小球從a點(diǎn)正上方O點(diǎn)拋出，做初速度為v0的平拋運(yùn)動(dòng)，恰落在b點(diǎn).若小球初速度變?yōu)関，其落點(diǎn)位于c，則A.v0

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