基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)
1.知道振幅、周期和頻率的概念,了解固有周期和固有頻率。(物理觀念)2.掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的物理意義和應(yīng)用。(科學(xué)思維)3.掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的公式,了解相位的概念。(物理觀念)
一、振動(dòng)特征的描述1.振幅(1)定義:振動(dòng)物體離開　　　　　　　　的最大距離。?(2)物理意義:表示　　　　　　　　的物理量,如聲音大小由發(fā)聲體振動(dòng)的振幅決定,振幅越大,發(fā)出的聲音越大。?(3)矢標(biāo)性:振幅是標(biāo)量。2.全振動(dòng)振動(dòng)物體從某個(gè)狀態(tài)經(jīng)過一段時(shí)間重新回到　　　　　　　　(速度、位移不變),我們就說物體完成了一次全振動(dòng)。?
3.周期和頻率(1)周期:物體完成一次　　　　　　所經(jīng)歷的時(shí)間。?(2)頻率:在一段時(shí)間內(nèi),物體完成全振動(dòng)的　　　　與這段　　　　之比。單位是　　　　,符號(hào)為　　　。?(3)固有周期(或固有頻率):物體僅在回復(fù)力作用下振動(dòng)的周期(或頻率),稱為固有周期(或固有頻率)。與振幅的大小　　　　,只由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。?(4)物理意義:周期和頻率都是表示物體振動(dòng)　　　　的物理量,周期越短,頻率越　　,表明物體振動(dòng)越　　。?(5)周期T與頻率f的關(guān)系:T=　　　　。?
二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移圖像(振動(dòng)圖像)
三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移公式(1)若用x表示振動(dòng)物體相對(duì)于平衡位置的位移,t表示振動(dòng)時(shí)間,A表示振幅,ω表示角速度(或圓頻率),則簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移公式一般為x=　　　　。?(2)圓頻率ω與周期T(或頻率f)的關(guān)系:ω=　　　=　　　　。?(3)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)位移公式的另一種形式:x=Asin t。
易錯(cuò)辨析判一判1.周期與頻率僅僅是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特有的概念。(　　)2.振幅隨時(shí)間做周期性變化。(　　)3.物體兩次通過平衡位置的時(shí)間差稱為周期。(　　)4.振動(dòng)圖像上可以表示出振幅和周期。(　　)5.振動(dòng)圖像是彈簧振子的運(yùn)動(dòng)軌跡。(　　)
描述任何周期性過程都可以用這兩個(gè)概念。
振動(dòng)圖像是彈簧振子相對(duì)平衡位置的位移隨時(shí)間變化的圖像,不是運(yùn)動(dòng)軌跡。
即學(xué)即用練一練彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置在B、C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),BC相距10 cm,某時(shí)刻彈簧振子處于B點(diǎn),經(jīng)過0.2 s,彈簧振子首次到達(dá)C點(diǎn)。則彈簧振子的振幅A=　　　　 cm;彈簧振子的周期T=　　　　 s,頻率f=　　　　 Hz。?
解析 根據(jù)振幅的定義,有2A=BC=10 cm,所以A=5 cm。從B首次到C的時(shí)間為周期的一半,因此T=2t=0.4 s;再根據(jù)周期和頻率的關(guān)系可得f= =2.5 Hz。
探究一　描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量及其關(guān)系的理解
將彈簧上端固定,下端懸吊鋼球,旁邊立一刻度尺,把鋼球從平衡位置向下拉一段距離A,放手讓其運(yùn)動(dòng),忽略空氣阻力。仔細(xì)觀察鋼球的運(yùn)動(dòng)。
(1)鋼球的位移怎么變化?(2)鋼球偏離平衡位置的最大距離改變嗎?
要點(diǎn)提示 (1)鋼球相對(duì)于平衡位置的位移隨時(shí)間時(shí)大時(shí)小,呈周期性變化。(2)不變。
1.對(duì)全振動(dòng)的理解(1)振動(dòng)過程:如圖所示,從O點(diǎn)開始,一次全振動(dòng)的完整過程為O→A→O→A'→O;從A點(diǎn)開始,一次全振動(dòng)的完整過程為A→O→A'→O→A。
(2)物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同時(shí)與初始狀態(tài)相同。(3)時(shí)間特征:歷時(shí)一個(gè)周期。(4)路程特征:振幅的4倍。
2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中振幅與幾個(gè)物理量的關(guān)系(1)振幅與位移的關(guān)系①在同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中振幅是不變的,而位移卻時(shí)刻變化。②振幅是標(biāo)量,位移是矢量,其方向是由平衡位置指向振動(dòng)物體所在位置。③振幅在數(shù)值上等于位移的最大值。
(2)振幅與路程的關(guān)系①振動(dòng)物體在一個(gè)周期內(nèi)的路程一定為四個(gè)振幅。②振動(dòng)物體在半個(gè)周期內(nèi)的路程一定為兩個(gè)振幅。③振動(dòng)物體在 T內(nèi)的路程可能等于一個(gè)振幅,可能大于一個(gè)振幅,還可能小于一個(gè)振幅。④只有當(dāng) T的初始時(shí)刻振動(dòng)物體在平衡位置或最大位移處, T內(nèi)的路程才等于一個(gè)振幅。
3.振幅與周期的關(guān)系在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中,一個(gè)確定的振動(dòng)系統(tǒng)的周期(或頻率)是固定的,與振幅無關(guān),振幅越大,振動(dòng)過程中的最大位移越大,但周期為定值。閃光語錄　振幅大,振動(dòng)物體的位移不一定大,但其最大位移一定大。
例題1　一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn),它的振幅是4 cm,頻率是2.5 Hz,該質(zhì)點(diǎn)從平衡位置開始經(jīng)過2.5 s后,位移的大小和經(jīng)過的路程為(　　)A.4 cm,10 cmB.4 cm,100 cmC.0,24 cmD.0,100 cm
規(guī)律方法　做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的路程s與振幅A的關(guān)系(1)物體無論從何位置開始計(jì)時(shí),經(jīng)過t=nT(n為正整數(shù),T為周期)內(nèi)的路程s=4nA。(2)物體從平衡位置或最大位移處開始計(jì)時(shí),經(jīng)t= (n為正整數(shù),T為周期)內(nèi)的路程s=nA。
針對(duì)訓(xùn)練1周期為2 s的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),在30 s內(nèi)通過的路程是60 cm,則在此時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過平衡位置　　　　次,物體的振幅為　　　　 cm。?
解析 30 s內(nèi)物體全振動(dòng)的次數(shù)為30÷2=15,物體完成一次全振動(dòng)經(jīng)過軌跡上每點(diǎn)的位置兩次(除最大位移外),有15×2=30,而每次全振動(dòng)物體通過的路程為4個(gè)振幅,有15×4A=60 cm,得A=1 cm。
探究二　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像和位移公式
一做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像如圖所示。
(1)通過圖像可以得到哪些物理量?(2)能否用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)表達(dá)式表示x與t的變化關(guān)系?
要點(diǎn)提示 (1)根據(jù)圖像可以直接得出振幅、周期、振動(dòng)物體在各個(gè)時(shí)刻的位移等。(2)能。可以得到表達(dá)式為x=2sin t(cm)。
一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)圖像1.形狀:正弦曲線。2.物理意義:表示振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻偏離平衡位置的位移,是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律。3.獲取信息(1)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位移的大小和方向。如圖甲所示,質(zhì)點(diǎn)在t1、t2時(shí)刻的位移分別為x1和-x2。
(2)任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向:看下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置,如圖乙中A點(diǎn),下一時(shí)刻離平衡位置更遠(yuǎn),故A點(diǎn)此刻向上振動(dòng)。
(3)判斷某段時(shí)間內(nèi)位移、速度、加速度的變化情況:先判斷質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)方向,從而確定各物理量的變化。如圖甲所示,質(zhì)點(diǎn)在t1時(shí)刻到t0時(shí)刻這段時(shí)間內(nèi),離平衡位置的位移變小,故質(zhì)點(diǎn)正向平衡位置運(yùn)動(dòng),速度增大,位移和加速度都變小。(4)根據(jù)圖像信息寫出位移表達(dá)式。閃光語錄　彈簧振子的軌跡是一條線段,振動(dòng)圖像是正弦曲線。
二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式x=Asin(ωt+φ0)1.理解:(1)x表示振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移。(2)A表示振幅,描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)強(qiáng)弱。(3)ω表示圓頻率,它與周期、頻率的關(guān)系為ω= =2πf?？梢姦?、T、f描述的都是振動(dòng)的快慢。(4)φ0稱為初相位。2.獲取信息(1)從表達(dá)式中可得知振幅A、周期T、頻率f、初相位φ0。(2)若已知t,則x的大小和方向可求。(3)根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移公式可以畫出振動(dòng)圖像。
三、兩種描述方法的比較1.振動(dòng)圖像直觀形象地描述了振動(dòng)物體的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律,而位移公式是通過函數(shù)式的形式反映位移變化規(guī)律。2.圖像和公式對(duì)同一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述是一致的。二者之間可以相互轉(zhuǎn)化,即根據(jù)圖像(或公式)求出(或畫出)公式(或圖像)。
例題2　下圖為A、B兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移—時(shí)間圖像。
請(qǐng)根據(jù)圖像寫出:(1)A的振幅是　　　　 cm,周期是　　　　 s;B的振幅是　　　　 cm,周期是　　　　 s。?(2)寫出這兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式。(3)求在t=0.05 s時(shí)A質(zhì)點(diǎn)的位移。
解析 (1)由題圖知,A的振幅是0.5 cm,周期是0.4 s;B的振幅是0.2 cm,周期是0.8 s。
針對(duì)訓(xùn)練2某質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x=5sin(2.5πt+ )cm,畫出該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖像。
解析 由題意知,振幅A=5 cm,周期 。當(dāng)t=0時(shí),x=5 cm,由此可作出圖像如圖所示。
探究三　簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性、周期性
如圖所示,物體在A、B之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),O點(diǎn)為平衡位置,C、D兩點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱,周期為T。(1)物體經(jīng)過C、D兩點(diǎn)時(shí)的位移有什么特點(diǎn)?(2)物體經(jīng)過C、D兩點(diǎn)時(shí)的速度、加速度有什么特點(diǎn)?(3)物體從C點(diǎn)開始,再過T、2T時(shí)間,物體的位置、速度有何變化?
要點(diǎn)提示 (1)C、D兩點(diǎn)的位移大小相等、方向相反。(2)經(jīng)過C、D兩點(diǎn)時(shí)速度大小相等,加速度大小相等、方向相反。(3)回到C點(diǎn),速度不變。
1.對(duì)稱性對(duì)稱性是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在相對(duì)于平衡位置對(duì)稱的位置上回復(fù)力、位移、加速度都等值反向,速率、動(dòng)能與勢(shì)能都分別相等,振動(dòng)物體通過平衡位置兩側(cè)的兩段對(duì)稱路徑上的時(shí)間相等,物體通過平衡位置一側(cè)的一段路徑的往返時(shí)間也相等。
2.周期性簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng),按其周期性可作如下判斷:(1)若t2-t1=nT(n=1,2,3,…),則t1、t2兩時(shí)刻振動(dòng)物體在同一位置,運(yùn)動(dòng)情況完全相同。(2)若t2-t1=nT+ =(2n+1) (n=0,1,2,…),則t1、t2兩時(shí)刻描述運(yùn)動(dòng)的物理量(x、F、a、v)大小均相等、方向相反(或均為零)。閃光語錄　把握住簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性和周期性是解決簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)問題的重要手段。
例題3　質(zhì)量為m1和m2兩物塊用輕彈簧相連,將它們豎立在水平面上,如圖所示?，F(xiàn)在用豎直向下的壓力壓m1,使它們處于靜止?fàn)顟B(tài)。突然撤去壓力,當(dāng)m1上升到最高點(diǎn)時(shí),m2對(duì)地壓力恰好為零。則系統(tǒng)靜止時(shí)豎直向下壓力大小等于多少?
答案 (m1+m2)g
規(guī)律方法　應(yīng)用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性、周期性特征求解問題的思路首先要確定對(duì)稱點(diǎn),認(rèn)識(shí)到在對(duì)稱點(diǎn)時(shí)速度大小相等、加速度大小相等、回復(fù)力大小相等,最后根據(jù)題目要求來確定所要求的物理量;同時(shí)要注意物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期性,避免漏解。
1.一次全振動(dòng)的過程,就是振動(dòng)的物體(　　)A.從任意位置出發(fā)又回到這個(gè)位置B.從一側(cè)最大偏移位置運(yùn)動(dòng)到另一側(cè)最大偏移位置C.從某一位置出發(fā)又以同一運(yùn)動(dòng)方向回到此位置D.從平衡位置出發(fā)又回到平衡位置
解析 在機(jī)械振動(dòng)中,物體連續(xù)兩次以完全相同的速度(包括大小、方向)經(jīng)過同一位置所用的時(shí)間是一個(gè)周期,所以一次全振動(dòng)的過程,就是振動(dòng)的物體從某一位置出發(fā)又以同一運(yùn)動(dòng)方向回到此位置,C正確,A、B、D錯(cuò)誤。
2.在1 min內(nèi)甲振動(dòng)30次,乙振動(dòng)75次,則(　　)A.甲的周期為0.5 s,乙的周期為1.25 sB.甲的周期為0.8 s,乙的周期為2 sC.甲的頻率為0.5 Hz,乙的頻率為1.25 HzD.甲的頻率為0.5 Hz,乙的頻率為0.8 Hz
3.(多選)一做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的振動(dòng)圖像如圖所示,下列說法正確的是(　　)
A.振動(dòng)周期是2×10-2 sB.第2個(gè)10-2 s內(nèi)物體的位移變化量是-10 cmC.物體的振動(dòng)頻率為25 HzD.物體的振幅是10 cm
解析 周期是完成一次全振動(dòng)所用的時(shí)間,所以周期是4×10-2 s,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;又f= ,所以f=25 Hz,則選項(xiàng)C正確;振動(dòng)物體離開平衡位置的最大距離表示振幅,所以振幅A=10 cm,則選項(xiàng)D正確;第2個(gè)10-2 s內(nèi)的初位置是10 cm,末位置是0,位移變化量x=x2-x1=-10 cm,選項(xiàng)B正確。
4.(2023福建龍巖高二期末)有一彈簧振子在水平方向上的C、D之間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),已知C、D間的距離為20 cm,彈簧振子在3 s內(nèi)完成了15次全振動(dòng)。若從某時(shí)刻振子經(jīng)過平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)(t=0),經(jīng)過 周期振子有正向最大加速度。
(1)寫出彈簧振子的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系式。(2)在圖中作出該彈簧振子的位移—時(shí)間圖像。(至少一周期)

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