1.會(huì)證明相似三角形判定定理；（重點(diǎn)）2.運(yùn)用相似三角形的判定定理解決相關(guān)問(wèn)題.（難點(diǎn)）
問(wèn)題：相似三角形的判定方法有哪些？
① 兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.② 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似.③ 三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.
證明相似三角形的判定定理
在上兩節(jié)中，我們探索了三角形相似的條件，稍候我們將對(duì)它們進(jìn)行證明．
定理1：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
已知：如圖，在 △ABC 和△A'B'C' 中，∠A = ∠A'，∠B =∠B'. 求證：△ABC ∽△A'B'C'．
∠1=∠B，∠2 =∠C， 過(guò)點(diǎn) D 作 AC 的平行線,交 BC 于點(diǎn) F,則∴∴∵ DE∥BC, DF∥AC,∴ 四邊形 DFCE 是平行四邊形．∴ DE = CF.∴ ∴
證明：在 △ABC 的邊 AB（或它的延長(zhǎng)線）上截取AD =A'B'，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，交 AC 于點(diǎn)E，則
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C，∴ △ADE ∽ △ABC.∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B'，∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C.
如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
證明：在 △A′B′C′ 的邊 A′B′ 上截取點(diǎn)D，使 A′D = AB．過(guò)點(diǎn) D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于點(diǎn) E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求證：△ABC∽△A′B′C′.
定理2:兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似.
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A，∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.
已知：如圖，在△ABC 和△A'B'C' 中， 求證：△ABC ∽ △A'B'C' .
證明:在線段 AB (或延長(zhǎng)線) 上截取 AD=A′B′，
過(guò)點(diǎn) D 作 DE∥BC 交AC于點(diǎn) E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′， △A′B′C′ ∽△ABC.
相似三角形判定定理的運(yùn)用
例1：已知:如圖,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A , ∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC = AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4.
例2 如圖，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，當(dāng) AB 的長(zhǎng)為 時(shí)，△ACB 與△ADC相似．
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種情況：(1) 當(dāng) Rt△ABC ∽ Rt△ACD 時(shí)，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3；
(2) 當(dāng) Rt△ACB ∽ Rt△CDA 時(shí)，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= ．∴ 當(dāng) AB 的長(zhǎng)為 3 或 時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似．
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，依據(jù)下列各組條件判定這兩個(gè)三角形是否相似.(1) ∠A=35°，∠B′=55°： ；(2) AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8： ；(3) AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15： .
1.如下圖，在大小為4×4的正方形網(wǎng)格中，是相似三角形的是（ ）
2.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求AD的長(zhǎng).
解: ∵ AB=6，BC=4，AC=5，CD = ∴ 又∠B =∠ACD, ∴△ABC∽△DCA， ∴ ∴AD=
相似三角形判定定理的證明

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)電子課本

5 相似三角形判定定理的證明

版本： 北師大版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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