【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.借助長方體,在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義,了解四個基本事實和一個定理.2.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理.
知識梳理·歸納1.四個基本事實基本事實1:過不在__________上的三個點,有且只有一個平面.符號:A,B,C三點________?存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事實2:如果一條直線上的________在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).符號:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?_____.基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們______________過該點的公共直線.符號:P∈α,且P∈β?α∩β=l,且_____.基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線______.符號:a∥b,b∥c?_____.
2.基本事實的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線____一點,有且只有一個平面.推論2:經(jīng)過兩條______直線,有且只有一個平面.推論3:經(jīng)過兩條______直線,有且只有一個平面.
3.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
微點撥 (1)直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.(2)兩條直線沒有公共點分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.
4.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別__________,那么這兩個角相等或______.5.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任意一點O分別作直線a'∥a,b'∥b,把a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:______.
常用結(jié)論 1.證明點共線與線共點都需用到基本事實3.2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時,容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補角.
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.(　 　)(2)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.(　 　)(3)兩兩相交的三條直線共面.(　 　)(4)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線.(　 　)提示:(1)中的兩個平面可能相交;(2)正確;(3)中的三條直線相交于一點時可能不共面;(4)中的兩條直線可能是平行直線.
2.(忽略直線不在平面內(nèi)而致誤)若直線l不平行于平面α,且l?α,則(　　)A.α內(nèi)的所有直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)的直線與l都相交【解析】選B.由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系,因而只有選項B是正確的.
3.(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則(　　)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°
4.(必修二P134例1變形式)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件　　　　　　時,四邊形EFGH為菱形;?(2)當(dāng)AC,BD滿足條件　　　　　　　　　時,四邊形EFGH為正方形.?
AC=BD且AC⊥BD
考點一基本事實的應(yīng)用[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,F,E四點共面;
【證明】(1)如圖所示,連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD確定一個平面,即D,B,F,E四點共面.
[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(2)若A1C交平面DBFE于R點,則P,Q,R三點共線;
【證明】(2)在正方體AC1中,設(shè)A1,C,C1三點確定的平面為α,平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α與β的公共點.同理,P是α與β的公共點,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,則R∈PQ,故P,Q,R三點共線.
[例1]已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(3)DE,BF,CC1三線交于一點.
【證明】(3)因為EF∥BD且EF

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