重慶第二外國語學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上半期模擬數(shù)學(xué)試卷時間：120分鐘    滿分：150分一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.1. 與平行的一個向量的坐標(biāo)是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】若向量與向量平行，則，逐一驗(yàn)證選項即可.【詳解】解：若向量與向量平行，則，，則設(shè)向量，則與符號相同，與符號相反，所以可知A，B，D不成立，選項C：若，則，，，故C正確.故選：C.2. 圓的圓心到直線的距離為（    ）A.  B. 2 C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】圓心坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式可知，故選：A.3. 在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)．，，，則下列向量中與相等的向量是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的法則，對向量進(jìn)行表示即可．【詳解】平行六面體中，故選：A．4. ，，若，則實(shí)數(shù)值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解．【詳解】，又，，解得．故選：A．5. 若圓與圓外切，則（    ）A. 9 B. 19 C. 21 D. ﹣11【答案】A【解析】【分析】利用圓心距等于半徑之和求解.【詳解】由題意可知圓的圓心為，半徑為，圓的半徑為，半徑為，則，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用圓與圓的位置關(guān)系求參，較簡單. 解答圓與圓的位置關(guān)系時，要靈活運(yùn)用圓心距與半徑的和差關(guān)系.6. “”是“直線：與直線：平行”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先求出“直線：與直線：平行”的充要條件,再判斷即可.【詳解】由直線：與直線：平行得，，解得.∴“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C.7. 直線經(jīng)過點(diǎn)和以，為端點(diǎn)的線段相交，直線斜率的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，求出，再結(jié)合圖象即可求解．【詳解】∵，，圖象如圖所示：  由圖可知，直線的斜率滿足或，故直線的斜率的取值范圍為．故選：D．8. 已知，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】令M為AC的中點(diǎn)，以M為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出所求夾角的余弦值.【詳解】令M為AC的中點(diǎn)，連接MB，MA1，由題意知△ABC是等邊三角形，所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC，因?yàn)槠矫?/span>A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM?平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1，因?yàn)?/span>A1M?平面A1ACC1，所以BM⊥A1M，所以AC，BM，A1M兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AA1＝AC＝AB＝2，則A(1，0，0)，B(0，，0)，A1(0，0，)，C1(－2，0，)，所以＝(－3，0，)，＝(0，，－)，所以cos〈，〉＝＝－，故異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為.故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.9. 下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（    ）A. 若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則∥；B. 若非零向量，，滿足，，則有∥；C. 若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點(diǎn)共面；D. 若，，是空間的一組基底，則向量，，也是空間一組基底；【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理，能作為基底的向量一定是不共面的向量，由此分別分析判斷即可【詳解】對于A，若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則可得向量，是共線向量，即∥，所以A正確，對于B，若非零向量，，滿足，，則向量與不能確定，可能平行，所以B錯誤，對于C，若，，是空間的一組基底，且，則由空間向量基本定理可得，，，四點(diǎn)共面，所以C正確，對于D，因?yàn)?/span>，，是空間的一組基底，所以對于空間中的任意一個向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使，所以向量，，也是空間一組基底，所以D正確，故選：ACD10. 下列說法正確的是（    ）A 直線必過定點(diǎn)B. 過點(diǎn)作圓的切線，切線方程為C. 經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D. 直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)直線系的方程求解頂點(diǎn)即可判斷A；結(jié)合點(diǎn)在圓上求解切線判斷B；分和討論判斷C；直接求解直線在坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷D.【詳解】解：對于A選項，，故直線過與的交點(diǎn)，所以，聯(lián)立得，即直線必過定點(diǎn)，故正確；對于B選項，點(diǎn)在上，圓心為，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故正確；對于C選項，經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角時，直線方程為，當(dāng)時，直線方程為，故錯誤；對于D選項，令得，令得，所以直線在x軸上的截距為，在y軸上的截距為，故錯誤.故選：AB11. 已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接，，則（    ）A. 當(dāng)四邊形為正方形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 B. 的取值范圍為C. 當(dāng)為等邊三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 D. 直線過定點(diǎn)【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用表示出切線長判斷選項A，B，D；求出直線AB的方程判斷D作答.【詳解】依題意，，則，當(dāng)點(diǎn)時，，因此，顯然四邊形不是正方形，A不正確；因當(dāng)點(diǎn)時，，B不正確；當(dāng)點(diǎn)時，，在中，，即有，又，因此為等邊三角形，此時直線斜率為1，有，由垂足的唯一性知，當(dāng)為等邊三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，C正確；設(shè)，顯然點(diǎn)A，B在以OP為直徑的圓上，又點(diǎn)A，B在圓上，于是得直線AB的方程為：，即，直線過定點(diǎn)，D正確.故選：CD12. 如圖所示，在矩形中，，E為上一動點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起至，在平面內(nèi)作，G為垂足．設(shè)，則下列說法正確的是（    ）A. 若平面，則B. 若平面，則C. 若平面平面，且，則D. 若平面平面，且，則【答案】AC【解析】【分析】對四個選項一一驗(yàn)證：對于A：由平面得到，在中，解三角形即可求得；對于B：由平面得到， ，在中解三角形即可求得；對于C：作于H，可以證明平面，得到，在等腰直角三角形中，可以計算；對于D：作，垂足為H，可以判斷出C，H，G三點(diǎn)共線，證明出，利用，可以求出t.【詳解】對于A，若平面，則，在中，，則，是三角形的高，則所以A正確；對于B，若平面，則有，則，在中，，即，解得，所以B錯誤；對于C，若平面平面，作，垂足為H，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，從而，又，所以平面，從而，因?yàn)?/span>，所以在等腰直角三角形中，，所以在等腰直角三角形中，，所以C正確；對于D，若平面平面，平面平面，又，故平面，所以，作，垂足為H，從而有平面，從而，從而有C，H，G三點(diǎn)共線，則，又，故，又，所以，故，因?yàn)?/span>，所以，所以D錯誤.故選：AC．【點(diǎn)睛】(1)立體幾何中的翻折（展開）問題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開）過程中的不變量；(2)一般位置關(guān)系的證明用判定定理.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 直線的傾斜角的大小是____________.【答案】##【解析】【分析】由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得，再求傾斜角即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線的方程為：可得，又，所以，故答案為：.14. 已知向量，，，且，，則＝__________________.【答案】【解析】【分析】由已知利用向量平行的條件列式求解，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得，可得答案．【詳解】，且，存在實(shí)數(shù)，使得，即，，解得，，又，且，，即，．故答案為：．15. 在正方體中，棱與平面所成角的余弦值為__________．【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方體的邊長為1，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的公式代入即可得出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方體的邊長為1，，則，設(shè)平面，，則，所以，棱與平面所成角為，所以，則.故答案為：.16. 點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，直線與圓分別相切于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn) P的坐標(biāo)為___________時， 切線段 的長度最短；四邊形面積的最小值為___________.【答案】    ①.     ②. ##【解析】【分析】由，當(dāng)最短時的長度最短，求出直線的方程與聯(lián)立可得解得坐標(biāo)；由四邊形，當(dāng)最短時最小，可得的最小值.【詳解】由得圓心，半徑圓，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)最短時的長度最短，由圓心做直線的垂線，垂足為，此時最短，所以直線的斜率為，方程為，由解得，即.四邊形，所以當(dāng)最短時最小，由圓心到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：；.四、解答題：本題共6個小題，17題10分，其余各題均為12分，共70分.應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3).（1）求BC邊所在直線的一般方程；（2）求BC邊的垂直平分線DE所在直線的一般方程.【答案】（1）x＋2y－4＝0    （2）2x－y＋2＝0【解析】【分析】（1）利用直線的兩點(diǎn)式方程可得答案；（2）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到D的坐標(biāo)，利用直線BC與直線DE垂直得DE的斜率，再利用直線點(diǎn)斜式方程可得答案.【小問1詳解】因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2，1)和C(－2，3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為＝，即x＋2y－4＝0.【小問2詳解】設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則，，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，2)，由（1）知，直線BC的斜率，則BC的垂直平分線DE的斜率，由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.18. 如圖，在正方體中， E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算求解 .【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法 如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長，易證三線交于一點(diǎn)P．因，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以．【整體點(diǎn)評】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.19. 直線與圓：相交于兩點(diǎn).（1）求弦長；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到直線的距離，結(jié)合勾股定理求出弦長的一半，進(jìn)而得出弦長；（2）切線的斜率不存在，易知方程為；當(dāng)切線斜率存在，設(shè)切線為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到直線的距離等于半徑，列出方程，解出k，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.【小問1詳解】由題意知，圓心，半徑，所以圓心C到直線的距離為，所以，所以；【小問2詳解】當(dāng)切線的斜率不存在時，因?yàn)檫^點(diǎn)，其方程為，圓心到直線的距離為，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線為，即，圓心，半徑，，解得．切線方程為，即．故切線方程為或．20. 已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與圓有兩個不同的交點(diǎn)，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，圓心坐標(biāo)代入直線方程，解出三個參數(shù)，即可求出圓的方程；（2）根據(jù)條件設(shè)出直線的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程，將韋達(dá)定理的表達(dá)式代入，解出的值，分別判斷是否滿足，從而得出直線方程.【小問1詳解】設(shè)所求圓的方程為，則由題可得：，解得： 故所求圓C方程為.【小問2詳解】由題設(shè)，可知直線的方程為.代入方程，整理得，設(shè)，則，，由題設(shè)可得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn) 不滿足   滿足 所以的方程為.21. 如圖，在四棱錐中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且.（1）求證：CD⊥平面PAD；（2）求二面角余弦值.【答案】（1）證明見解析；    （2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件證明即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過A作，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AM，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)軸建立坐標(biāo)系，借助空間向量計算作答.【小問1詳解】在四棱錐中，平面，而平面，則，因，，平面，所以平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過A作交BC于點(diǎn)M，由(1)知，兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意，，則，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，顯然平面的一個法向量，于是得，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值.22. 已知圓心在第一象限，半徑為的圓與軸相切，且與軸正半軸交于，兩點(diǎn)（在左側(cè)），（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)任作一條直線與圓相交于，兩點(diǎn)．①證明：為定值；②求的最小值．【答案】（1）；（2）①，證明見解析，②【解析】【分析】（1）首先，得到，，，再根據(jù)即可得到答案.（2）①首先根據(jù)（1）得到，，設(shè)，再分別計算即可；②根據(jù)得到，即可得到答案.【詳解】（1）設(shè)，由題知：，，，所以，解得，所以圓.（2）由（1）知：，，所以，，設(shè)，，同理，所以.②因?yàn)?/span>，所以.所以的最小值為.

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